白占武，陳坤

（華北電力大學 數理系，河北 保定 071003）

?？?普朗克方程的求解與噪聲誘導相變

白占武，陳坤

（華北電力大學 數理系，河北 保定 071003）

考慮內部時間導數Ornstein-Uhlenbeck（OU）噪聲激勵的一個布朗粒子在周期場中運動的零維系統，用?？?普朗克方程的等價系統方法和一種改進的等價系統判據得到近似解析解.以此討論了噪聲誘導相變問題和勢形狀對相變的影響，得到如下結論：新判據改進了近似解析解的精度；相變主要決定于周期場勢壘的高度而不敏感于勢的形狀.

時間導數OU噪聲；?？?普朗克方程；近似解析解；殘余；噪聲誘導相變

朗之萬方程、福克-普朗克方程［1-2］構成了布朗運動研究的基礎.近年來，反常擴散現象引起人們的極大關注，系統長時間的動力學行為取決于噪聲功率譜的低頻分布，因此當熱噪聲的低頻被濾掉，導致系統的有效摩擦消失，自由粒子會呈現熱擴散的極限情形：彈道擴散.彈道擴散是反常擴散的一種特殊情形，正是因為時間導數噪聲具有低頻消失有效阻尼為零的特點，它能夠產生彈道擴散和各態(tài)歷經性的破壞［3］.由于對?？?普朗克方程求解的困難，大多數情形下需要求近似解析解或數值解.等價非線性系統方法［4-8］是一種有效的方法，但仍有較大的誤差.

研究隨機力對非平衡相變的影響，特別是研究由噪聲誘導的非平衡相變現象，是非線性系統隨機理論的一個重要課題.相變不僅發(fā)生在一些特殊模型，還可以發(fā)生在有乘性噪聲誘導下的晶格模型、雙轉子模型、雙穩(wěn)態(tài)模型、染料激光等［8-11］.非平衡相變絕大多數由乘性噪聲誘導［8-10，12-13］或者乘性噪聲與加性噪聲同時誘導［13］，特殊情形下加性噪聲也可誘導一階相變［14］.通常研究非平衡相變的方法是平均場方法［15］.文獻［16］研究了一個由內部導數OU噪聲誘導的零維布朗粒子系統，通過將等價系統方法推廣到福克-普朗克方程，得出了相應的福克-普朗克方程的近似解析解，并得到了零維布朗粒子存在從非各態(tài)歷經到各態(tài)歷經相變的結論.但近似解析解還有較大的誤差.本文通過改進等價系統的判據，提高結果的精度，并且研究了勢的形狀對非平衡相變的影響.

1 系統的描述

周期場中一個布朗粒子的運動方程為

這里的V（x）＝u0（1-cos（x））是一維周期勢，V′（x）為其導數.Γ（t）是通常的OU噪聲，Γ·（t）為其時間導數且滿足

這里D＝mηkBT為噪聲強度，τ為關聯時間，kB為玻耳茲曼常數，T為環(huán)境的溫度，m為布朗粒子的質量，η為粘滯系數.

2 ?？似绽士朔匠碳捌浣平馕鼋?/h2>

由于此類方程求解相當困難，人們發(fā)展了多種近似解析方法，其中等價系統方法是一種普遍應用的方法.它的基本思想是尋找一個與原系統統計意義上相近但可解的等價朗之萬方程，來代替原系統.為了討論周期場中零維布朗粒子經受一個時間導數噪聲的情形，文獻［16］的做法是尋找一個與此系統福克 -普朗克方程相近的?？?-普朗克方程而非與原系統近似的朗之萬方程.目的是讓等價系統包含記憶核函數項，以便使等價系統包含原系統更多的“信息”.為了能夠精確地求解并包含記憶項，將朗之萬方程中的記憶項對應的算子分出一部分包含在等價系統中.

3 判據的改進

在等價系統方法中有2個要素，一是讓等價系統盡量逼近原系統，一是選擇合適的等價判據.文獻［16］所用的判據相當于殘余?？似绽士怂惴姆稊底钚?殘余項FPρ0是一個漲落量，類比于統計物理，大小可用其平方平均來衡量.殘余項的平方平均最小可作為為判據，即系數c1，c2，c3，c4的值由函數

可得到參數c1，c2，c3，c4，進一步可得速度的分布密度函數ρ0（v），結果示于圖1，其中η＝1，T＝1，τ＝1，上方實線為理論結果，下方實線為文獻［16］結果，虛線為數值模擬的結果.

圖1 約化幾率密度ρ0（v）作為速度v的函數Fig.1 Reduced probability densityρ0（v）as a function of v

與原判據［16］相比，幾率密度的近似解析解與數值結果更好相符.由圖1可知當勢參數u0＝0.6，u0＝0.5，u0＝0.4時，ρ0（v）幾乎沒有變化，當u0≈0.3時，ρ0（v）的解析結果和數值模擬結果都發(fā)生了定性的變化.如果取方均速率，〈v2〉為序參量，這種變化可以從方均速率〈v2〉隨u0的變化曲線更清楚地看到（圖2），其中實線為理論結果，中間虛線為數值模擬的結果，上方虛線為文獻［16］的結果.

由圖2可見理論結果與數值模擬結果定性一致，精度較文獻［16］有改進，解析與數值模擬結果最大相對誤差為8.8%，由圖可清晰地觀察到有相變發(fā)生.近似解析解對相變點的計算與數值模擬相符合.當勢壘較高時，布朗粒子感受到的勢近似為簡諧勢，粒子運動是各態(tài)歷經的；當勢壘很低時，粒子的運動是漸進自由的，此時布朗粒子初始能量的耗散和環(huán)境對布朗粒子的熱化都是不完全的，布朗粒子對初態(tài)有記憶，運動是非各態(tài)歷經性的.結果表明，隨著勢壘高度的降低，布朗粒子由各態(tài)歷經到非各態(tài)歷經的轉變是一種相變.

圖2 速率平方平均〈v2〉隨u0的變化Fig.2 Mean square velocity〈v2〉as a function of u0

圖3 u0＝0.6時速度幾率密度隨速度v的變化曲線Fig.3 Velocity probability density as a function of vfor u0 ＝0.6

應用上述判據研究了勢的形狀對約化幾率密度ρ（v）的影響，結果如圖3所示，其中，B線為原勢，C線是勢周期增大1倍情形，D線為三角形周期勢.三角形周期勢為（1個周期）

由圖3可知當勢的變化平緩以后，幾率密度隨速度的變化曲線在v＝0處的變化最大，相對于原勢最大相對變化為1.1%，方均速率〈v2〉的值最大相對變化為0.2%.可見，勢的形狀對速度的幾率密度函數影響很小，這是由于勢只以某種平均的形式影響速度的分布.上述結果表明序參量〈v2〉及相變點主要決定于勢壘的高度，而不敏感于勢的形狀.

4 結論

導數OU噪聲激勵的一個布朗粒子在周期場中的運動可由一個高維的?？?-普朗克方程來描述，利用福克 -普朗克方程的等價系統方法可以得到原系統的近似解析解.以殘余項平方的平均最小為判據確定其中的參數.與以前結果相比，此判據改進了結果的精度.以此近似解析解和判據為基礎，討論了零維布朗粒子在周期勢場中的噪聲誘導相變問題.在一定的噪聲強度下，當勢壘高度變化時，布朗粒子的運動存在各態(tài)歷經到非各態(tài)歷經的相變.近似解析解能夠比較準確地給出相變點.筆者還討論了速度的概率密度與勢形狀的關系.速度的概率密度以及方均速率隨勢的形狀沒有明顯的變化，這表明相變對勢阱的形狀不敏感，序參量主要由勢壘高度決定.

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Solution of the Fokker-Planck Equation and Noise-induced Phase Transition

BAI Zhan-wu，CHEN Kun
（Department of Mathematics and Physics，North China Electric Power University，Baoding 071003，China）

We study a zero-dimensional system of Brownian particles which move in a periodic potential and subject to an internal time derivative Ornstein-Uhlenbeck（OU）noise.we use the equivalent system method to get the approximate analytical solution.Then，we discuss the noise-induced phase transition problem and the affect of the potential shape，obtain the following conclusions：The new criteria improves the accuracy of the approximate analytical solution；phase transition mainly depends on the height of the potential barrier but insensitive to the shape of the potential.

time derivative ornstein-uhlenbeck noise；Fokker-Planck equation；approximate analytical solution；residue；noise-induced phase transition

O 414.2

A

1000-1565（2011）05-0475-05

2011-01-10

國家自然科學基金資助項目（10647129）

白占武（1962-），男，河北保定人，華北電力大學教授，主要從事非平衡統計研究.

E-mail：baizhanwu＠126.com

孟素蘭）