摘 要： 本文作者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，介紹了復(fù)合電場中曲線極值的研究。
　　關(guān)鍵詞： 復(fù)合電場 曲線 極值
　　
　　運(yùn)動的合成與分解是研究復(fù)雜運(yùn)動的重要方法，在研究比較復(fù)雜的運(yùn)動時，常常采用分解的方法，將運(yùn)動看做是兩個或幾個比較簡單的運(yùn)動組成的，使問題容易得到解決。在應(yīng)用分解的方法時注意運(yùn)動的獨(dú)立性原理，這是物體運(yùn)動的一個重要特性，即一個物體同時參與幾個運(yùn)動，各個運(yùn)動都可看做是獨(dú)立進(jìn)行的，它們互不影響。
　　微元法是分析連續(xù)過程積累的一種重要方法，其精髓就是把確定的研究對象分割為無限多個無限小的部分，然后抽取其中一部分加以研究，從而認(rèn)識整體或全過程的性質(zhì)和規(guī)律。這實(shí)質(zhì)上是從復(fù)合到單一，從單一到復(fù)合的分析與綜合思維方法。
　　在高中專題復(fù)習(xí)中常遇到復(fù)合場的極值問題的求解，如最遠(yuǎn)距離，磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值，等等，通常均可利用分解的方法和微元法來加以分析和探究。
　　例1：在空間有相互垂直的勻強(qiáng)電場E和勻強(qiáng)磁場B，一電子從原點(diǎn)釋放，求電子在y軸方向前進(jìn)的最大距離。（不計(jì)電子所受重力，已知電子電荷為e，質(zhì)量為m）
　　分析：對電子在任一位置的受力進(jìn)行分析，電子受到豎直向上的電場力eE及與速度垂直的洛倫茲力Bev。將電子的速度分解為水平方向的速度v和v豎直方向的速度，同時將洛倫茲力也分解為水平方向的作用力和豎直方向的作用力。而水平方向的洛倫茲力是由于豎直方向的速度產(chǎn)生的，豎直方向的洛倫茲力是由于水平方向的速度產(chǎn)生的。因此水平方向的洛倫茲力為Bev，而豎直方向的洛倫茲力為Bev。
　　由牛頓第二定律得：eE-Bev=ma；Bev=ma。
　　因此由微元法得：Bev△t=ma△t。故有∑Bev△t=∑ma△t。
　　設(shè)電子到達(dá)最高點(diǎn)時的速度為v，即Bey=mv=mv。全過程中只有電場力做功，根據(jù)動能定理得：eEy=mv。由以上各式得：y=。
　　點(diǎn)評：很多學(xué)生看到本題，第一感覺是無從下手，題目求解的是位移極值，而速度包括兩個方向的速度分量都是變量，顯然不能使用常規(guī)的位移公式求解，到此似乎已走投無路。然而根據(jù)綜合電場力和洛倫茲力的受力特征，不難發(fā)現(xiàn)兩個方向都有牛頓第二定律的表達(dá)式，把ma表達(dá)成m，那么利用v△t的微元累積獲得y，至此思路迅速柳暗花明。
　　例2：空間勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小為E、方向沿著y軸負(fù)方向，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直xOy平面指向紙內(nèi)。有一質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的粒子（不計(jì)重力），從O點(diǎn)出發(fā)開始計(jì)時，沿x軸正方向以初速度v=射入場區(qū)。求：
　?、賻щ娏Ｗ幽軌虻竭_(dá)離軸最遠(yuǎn)的距離。
　?、趶拈_始到t=的時間內(nèi)，粒子沿x軸運(yùn)動的距離。
　?、墼趖=時刻撤去電場，粒子在以后的運(yùn)動中，還受到與速度大小成正比、方向相反的阻力作用，即f=kv（k為已知常數(shù)）。則電場撤去后粒子還能發(fā)生的位移大小。
　　分析：帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動可看成是兩個分運(yùn)動的合運(yùn)動，一個是沿x軸正方向以速度v做勻速直線運(yùn)動；一個是在xOy平面內(nèi)受洛倫茲力作用以速率做勻速圓周運(yùn)動。由
　　Bqv=qE?圯v=，v=v-v=。
　　①設(shè)帶電粒子以速v在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑為R。
　　由Bqv=m?圯R==。
　?、趶拈_始到t=的時間內(nèi)，粒子沿軸運(yùn)動的距離s=vt=。
　　③帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期T=，當(dāng)t==T時，帶電粒子恰好回到x軸處，分運(yùn)動的速度v與v的方向相同，此時帶電粒子的速度仍為v，方向沿x軸正方向。撤去電場后，洛倫茲力與阻力始終垂直。設(shè)某瞬時的速度為v，加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律：
　　=ma，
　　即a=。
　　取微小時間△t，速度變化量為：
　　△v=a△t=△t=v△t，
　　即v△t=。
　　則電場撤去后粒子還能發(fā)生的位移大?。?br/>　　s=∑v△t=∑。
　　點(diǎn)評：本題巧妙地把v=分解成兩份的水平分速度，一份實(shí)現(xiàn)了豎直方向的受力平衡，即水平方向做勻速直線運(yùn)動；而另一份則用于完成勻速圓周運(yùn)動，兩個方向的分運(yùn)動互相獨(dú)立。
　　例３：兩塊面積很大、互相平行又相距較近的帶電金屬板，相距為d，兩板間的電勢差為U。同時，在這兩板間還有方向與均強(qiáng)電場正交而垂直紙面向外的均強(qiáng)磁場。一束電子通過左側(cè)帶負(fù)電的板上的小孔，沿垂直于金屬板的方向射入。為使該電子束不碰到右側(cè)帶正電的板，問所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度至少要多大？
　　解析：在電場力和洛倫茲力的作用下，進(jìn)入兩板間的電子，初速度為零。設(shè)想此時電子具有沿豎直方向的速度正負(fù)，合為零，正速度所引起的洛倫茲力正好與電子在兩板間所受的電場力相平衡。
　　照此設(shè)想，電子在其后的運(yùn)動過程中將受三個力，這三個力所相應(yīng)的加速度引起電子速度的改變。它和原來電子向下運(yùn)動的速度的合成正是一種勻速率圓周運(yùn)動模式，而電子向上運(yùn)動這個分速度沒有改變，也就是說它所引起的洛倫茲力的電場力始終保持平衡。于是，電子的運(yùn)動結(jié)合起來，可視為是一個速率為v的向上運(yùn)動和一個速率為v的勻速圓周運(yùn)動的合成。
　　點(diǎn)評：本題同樣有多種分析解法，巧妙地利用洛倫茲力不做功的特點(diǎn)，并采用牛頓第二定律在y方向進(jìn)行微元累積，從而獲得相對應(yīng)的臨界條件；也可巧妙地將粒子的運(yùn)動分解成在同一平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動與勻速直線運(yùn)動的合成，在y方向引入+v和-v，使電子受到+v引起的洛倫茲力與板間的電場力相平衡，即向上勻速直線運(yùn)動，而-v實(shí)現(xiàn)豎直平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動，即巧妙地運(yùn)用了運(yùn)動的合成與分解知識來處理該復(fù)雜的運(yùn)動過程。
　　以上幾道例題都是帶電粒子在復(fù)合場中做曲線運(yùn)動的典型例題。從中我們不難發(fā)現(xiàn)，對于曲線運(yùn)動，一般采用分解的方法處理問題。而利用運(yùn)動的分解和微元法求曲線運(yùn)動中的最值問題，正是這類題型的亮點(diǎn)和難點(diǎn)，也充分考查了學(xué)生綜合分析能力、邏輯推理能力、探索能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)某绦蛩伎寄芰Γ约蔼?dú)創(chuàng)能力，是一類綜合性很強(qiáng)的試題，值得老師和學(xué)生認(rèn)真研究和思考，從而達(dá)到舉一反三的目的。