摘 要： 作者以實(shí)例結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，介紹了雙臨界問題的教學(xué)方法。
　　關(guān)鍵詞： 彈簧 接觸彈力 摩擦力 雙臨界問題
　　
　　一個(gè)物理問題中，往往會(huì)涉及幾個(gè)物理過程，不同的物理過程，遵從不同的物理規(guī)律。物理過程有先有后，在前一個(gè)物理過程與后一個(gè)物理過程之間，必然存在這樣一個(gè)狀態(tài)——臨界狀態(tài)：此前為一個(gè)物理過程，此后是另一個(gè)物理過程，所以臨界狀態(tài)是從一個(gè)物理現(xiàn)象(狀態(tài)、過程)變化為另一個(gè)物理現(xiàn)象(狀態(tài)、過程)時(shí)所出現(xiàn)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。
　　而雙臨界問題，是指有兩個(gè)或兩個(gè)以上的臨界狀態(tài)存在，這些臨界狀態(tài)要么存在某種特殊關(guān)聯(lián)，要么在產(chǎn)生順序上存在先后性，正是這種關(guān)聯(lián)或先后性加大了雙臨界問題的難度。一般情況下，雙臨界問題由繩、彈簧、接觸彈力、摩擦力等要素組成，對(duì)這些要素相關(guān)的力的特點(diǎn)必須非常熟悉，才能正確分析雙臨界問題。同時(shí)，還要善于使用窮舉法、假設(shè)法等方法進(jìn)行邏輯推理。我在此對(duì)幾種要素的組合模型進(jìn)行了分析。
　　一、彈簧和接觸彈力的雙臨界
　　例1.如圖1所示，小車沿水平面做直線運(yùn)動(dòng)，小車內(nèi)光滑底面上有一物塊被壓縮的彈簧壓向左壁，小車向左加速運(yùn)動(dòng)。物塊質(zhì)量為1kg，彈簧原長16cm，小車內(nèi)底面長12cm，彈簧勁度系數(shù)為2N/cm，（1）若小車向左加速度6m/s，則物塊受到車左壁給的彈力N和彈簧的彈力N的大小如何？（2）若小車向左加速度10m/s，則物塊受到車左壁給的彈力N和彈簧的彈力N的大小如何？
　　圖1
　　這里的接觸彈力臨界是指物塊和小車左壁的接觸與分離，而彈簧的臨界是指彈簧長度變和不變的臨界，彈簧和接觸彈力雙臨界的特點(diǎn)是：（1）只要物塊和小車左壁接觸，那么彈簧的長度必然不變，彈簧的形變量不變，這就意味著彈簧彈力不變，變化的只是物塊和小車左壁的彈力。（2）只要物塊和小車左壁的分離，物塊和小車左壁的彈力總為零，彈簧的長度必然改變，從而彈簧的形變量改變，這就意味著彈簧彈力發(fā)生變化。
　　不難看出，彈簧和接觸彈力的臨界產(chǎn)生了特殊的關(guān)聯(lián)，使這兩個(gè)臨界有一個(gè)共同的臨界點(diǎn)：物塊和小車左壁接觸，但彈力為零，彈簧長度不變。對(duì)物塊進(jìn)行受力分析，如圖2所示。N-N=ma ①式，令，N=0，N=k(x-x)=2×(16-12)=8(N) 代入①式，得臨界加速度a=8m/s。
　　圖2
　?。?）若小車向左加速度6m/s，小于臨界加速度8m/s，此時(shí)彈簧彈力不變N=8N，由①式得N=N-ma=8-a ②式，注意，這是一個(gè)差式表達(dá)式。當(dāng)a≤8m/s，N≥0，N=8-a=8-6=2N。
　?。?）當(dāng)a＞8m/s，由②式N＜0得，這說明N的方向與圖2中的方向相反，這是違背彈力方向的規(guī)則的，是不可能的。因此，此時(shí)的N是不存在的，這意味著物塊和小車左壁已經(jīng)分離了，彈簧必然繼續(xù)被壓縮，彈簧彈力發(fā)生變化。令N=0，則N=ma=1×10=10N。
　　二、彈簧和摩擦力的雙臨界
　　例2.如圖3所示，在水平面上質(zhì)量為1kg的物體A拴在一被水平拉伸的彈簧的一端，彈簧的另一端固定在小車上。當(dāng)它們都處于靜止時(shí)，彈簧對(duì)物塊的彈力大小為3N。物體A與小車間的動(dòng)摩擦因素為μ=0.5，試求：（1）若小車以a=1m/s的加速度水平向右穩(wěn)定地做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A受到的摩擦力和彈簧彈力。（2）若小車以a=5m/s的加速度水平向右穩(wěn)定地做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A受到的摩擦力和彈簧彈力。（3）若小車以a=10m/s的加速度水平向右穩(wěn)定地做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A受到的摩擦力和彈簧彈力。
　　圖3
　　從上一問題我們可以看出，有彈簧存在的臨界問題的特點(diǎn)是：物體不（相對(duì)）動(dòng)，彈簧彈力不變；物體（相對(duì)）動(dòng)，彈簧彈力變化。與摩擦力臨界相結(jié)合后，其與摩擦力臨界的關(guān)聯(lián)是：（1）物體不（相對(duì)）動(dòng)，彈簧彈力不變，靜摩擦力變化，但必須小于最大靜摩擦力。（2）物體（相對(duì)）動(dòng)，彈簧彈力變，靜摩擦力不變，等于最大靜摩擦力。
　　設(shè)摩擦力的方向水平向左，受力圖如圖4所示，F(xiàn)-F=ma ①式，令F=3N，有F=3-a，由于-μF≤F≤μF，解得-2m/s≤a≤8m/s，當(dāng)F=0，解得a=3m/s。
　　圖4
　　（1）當(dāng)-2m/s≤a＜3m/s時(shí)，F(xiàn)≥0，彈簧彈力不變，F(xiàn)=3N，靜摩擦力大小變化，方向水平向左。由①式代入數(shù)據(jù)得：F=4N。
　　（2）當(dāng)3m/sa＜a≤8m/s時(shí)，F(xiàn)＜0，彈簧彈力不變，F(xiàn)=3N，靜摩擦力大小變化，方向水平向右。由①式代入數(shù)據(jù)得：F=-2N。
　　（3）當(dāng)a＞8m/s時(shí)，F(xiàn)＜-5N，其大小超過了最大靜摩擦力，物體將相對(duì)小車滑動(dòng)，使摩擦力保持為最大值不變，方向水平向右；彈簧將繼續(xù)被拉伸，彈簧彈力增加，F(xiàn)=F+ma=-5+a=5N，靜摩擦力大小不變?yōu)镕=5N。
　　三、摩擦力和摩擦力的雙臨界
　　例3.如圖5所示，質(zhì)量M=1kg的木板靜止在粗糙的水平地面上，木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，在木板的左端放置一個(gè)質(zhì)量m=1kg、大小可以忽略的鐵塊，鐵塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，取g=10m/s，若在鐵塊上的右端施加一個(gè)大小從零開始連續(xù)增加的水平向右的力F，通過分析和計(jì)算后，試判斷是鐵塊與木板間先滑動(dòng)，還是木板與地面間先滑動(dòng)？
　　摩擦力和摩擦力的雙臨界問題關(guān)鍵是分析判斷哪一個(gè)接觸面先滑動(dòng)。面對(duì)本題所涉及的問題，應(yīng)用窮舉法分析，不外乎兩種情況。
　　圖5
　?。?）設(shè)鐵塊與木板間先滑動(dòng)
　　不難求得，鐵塊與木板間的最大靜摩擦力為4N，木板和地面間的最大靜摩擦力為2N。鐵塊與木板間先滑動(dòng)的話，木板必然不動(dòng)，鐵塊右端施加的水平向右的力F至少應(yīng)當(dāng)?shù)扔阼F塊與木板間的最大靜摩擦力為4N?？墒牵F塊與木板間的摩擦力為4N，已經(jīng)超過了木板和地面間的最大靜摩擦力為2N，木板不可能不動(dòng)。故而，這種情況不可行。
　　（2）設(shè)木板與地面間先滑動(dòng)
　　木板與地面間先滑動(dòng)的話，鐵塊與木板間必相對(duì)靜止，也即鐵塊和木板一起運(yùn)動(dòng)，可看做整體，而木板和地面間的最大靜摩擦力為2N，水平拉力至少為2N。由于水平拉力為2N時(shí)，系統(tǒng)勻速運(yùn)動(dòng)，鐵塊和木板間的摩擦力也為2N，小于最大值4N，是可行的。
　　現(xiàn)在，結(jié)論是木板與地面間先滑動(dòng)，而鐵塊與木板間后滑動(dòng)?？磥磉@種先假設(shè)后分析的方法是解決這種問題的有效方法。
　　四、繩與繩的雙臨界
　　例4.如圖6所示，兩根線系著同一小球，兩根線的另一端連接于豎直軸上的A、B兩點(diǎn)，其中AC長度為l=2m。今使小球繞豎直軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)而使兩線均被拉直，分別與桿夾30°和45°角，則轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω的取值范圍應(yīng)如何?
　　我們?nèi)杂酶F舉法，兩根繩的松緊狀態(tài)組合共有四種情況：
　　圖6
　?。?）繩AC、BC皆松弛。
　　直接排除。
　?。?）繩AC松弛，繩BC繃緊。
　　從幾何關(guān)系上，不難發(fā)現(xiàn)，這種情況下，繩BC與豎直方向的夾角一定大于45°。
　?。?）繩BC松弛，繩AC繃緊。
　　同樣從幾何關(guān)系上看，在這種情況下，繩AC與豎直方向的夾角一定小于30°。
　?。?）繩AC、BC皆繃緊。
　　從幾何關(guān)系上看，繩BC與豎直方向的夾角一定等于45°，繩AC與豎直方向的夾角一定等于30°。
　　而使兩線均被拉直，分別與桿夾30°和45°角的臨界狀態(tài)就是：（1）繩BC拉直，但拉力為零，繩AC繃緊；（2）繩AC拉直，但拉力為零，繩BC繃緊。根據(jù)這兩個(gè)臨界狀態(tài)，就可以解出角速度ω的上下限。
　　五、繩和摩擦力的雙臨界
　　例5.如圖7所示，V形細(xì)桿AOB能繞其對(duì)稱軸OO′轉(zhuǎn)到，OO′沿豎直方向，V形桿的兩臂與轉(zhuǎn)軸間的夾角均為α=45°。兩質(zhì)量均為m=0.1kg的小環(huán)，分別套在V形桿的兩臂上，并用長為l=1.2m、能承受最大拉力F=4.5N的輕質(zhì)細(xì)線連結(jié)，環(huán)與臂間的最大靜摩擦力等于兩者間彈力的0.2倍。當(dāng)桿以角速度ω轉(zhuǎn)到時(shí)，細(xì)線始終處于水平狀態(tài)，取g=10m/s。（1）求桿轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω的最小值；（2）將桿的角速度從（1）問中求得的最小值開始緩慢增大，直到細(xì)線斷裂，寫出此過程中細(xì)線拉力隨角速度變化的函數(shù)關(guān)系式。
　　
　　圖7
　　這里，困惑學(xué)生的問題是：繩的彈力是可變的，桿對(duì)小環(huán)的摩擦力也是可變的，兩者的變化有關(guān)系么？繩松緊的臨界與摩擦力的臨界又有著怎樣的關(guān)聯(lián)？
　　仍用窮舉法么？這里不需要。我們回顧一下，如何判斷彈力的有無呢？移物法。將細(xì)線去掉，觀察小環(huán)是否會(huì)相對(duì)桿向上移動(dòng)。如會(huì)，則繩繃緊，繩中有彈力，如不會(huì)，則不移繩，而是移去小環(huán)，由于是輕繩，重力不計(jì)，故繩也不動(dòng)，繩中必?zé)o彈力。
　　簡而言之，移去繩，小環(huán)相對(duì)桿向上移動(dòng)，則繩中有彈力，摩擦力必為最大靜摩擦力，方向沿桿向下。移去繩，小環(huán)相對(duì)桿靜止，繩中必?zé)o彈力。此時(shí)，只剩下摩擦力的臨界問題。
　　按角速度從小到大的順序，
　　①在角速度很小時(shí)，移去繩，小環(huán)沿桿下移，促使繩間距變短，形成正反饋，小環(huán)將不斷下移。
　　②如果增大角速度，移去繩，小環(huán)剛好不下移，靜摩擦力沿桿向上，為最大靜摩擦力。這是題目第一問的臨界條件。
　?、墼僭龃蠼撬俣龋迫ダK，小環(huán)剛好不沿桿上滑，靜摩擦力沿桿向下，為最大靜摩擦力。從此開始，繩中產(chǎn)生彈力。這是題中第二問的臨界條件之一。
　　④如果角速度更大，移去繩，小環(huán)必沿桿上滑，故繩中必有彈力，摩擦力將保持為最大靜摩擦力，方向沿桿向下。繩中彈力會(huì)隨角速度的增加二增加，直至達(dá)到繩斷裂的臨界點(diǎn)：F=4.5N。
　　六、繩、摩擦力和摩擦力的多臨界
　　例6.如圖8所示，水平轉(zhuǎn)盤可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，盤上疊放著質(zhì)量均為1kg的A、B兩個(gè)物塊，B物塊用長為0.25m的細(xì)線與固定在轉(zhuǎn)盤中心處的力傳感器相連，兩個(gè)物塊和傳感器的大小均可不計(jì)。細(xì)線能承受的最大拉力為8N。A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.4，B與轉(zhuǎn)盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1，且可認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。轉(zhuǎn)盤靜止時(shí)，細(xì)線剛好伸直，試分析當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度從零開始緩慢增加后，將會(huì)出項(xiàng)怎樣的物理現(xiàn)象（g取10m/s）。
　　需要我們解決的問題是：當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度從零開始緩慢增加，是繩先斷還是A、B間先相對(duì)滑動(dòng)，還是B與轉(zhuǎn)盤間先相對(duì)滑動(dòng)？
　　圖8
　?。?）令繩不存在，假設(shè)A、B間先相對(duì)滑動(dòng)，B與轉(zhuǎn)盤間不相對(duì)滑動(dòng)（也可以先假設(shè)B與轉(zhuǎn)盤間先相對(duì)滑動(dòng)，而A、B間不相對(duì)滑動(dòng)），那么f=4N，對(duì)A的受力圖如圖9所示。f=mωr，代入數(shù)據(jù)解得ω=4rad/s。
　　圖9 圖10
　?。?）令繩不存在，假設(shè)B與轉(zhuǎn)盤間先相對(duì)滑動(dòng)，而A、B間不相對(duì)滑動(dòng)，那么AB兩物體作為整體的受力如圖10所示。那么f=2N，f=(m+m)ωr，代入數(shù)據(jù)解得ω=2rad/s。
　　比較ω、ω，ω＜ω，當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度從零開始緩慢增加到ω=2rad/s，B與轉(zhuǎn)盤間將先相對(duì)滑動(dòng)，在此之前繩中未出現(xiàn)彈力。在轉(zhuǎn)盤的角速度超過2rad/s后，由于B與轉(zhuǎn)盤間一旦要產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)，繩將產(chǎn)生阻止相對(duì)滑動(dòng)的彈力，從此彈力便存在了，而B與轉(zhuǎn)盤間的摩擦力保持為最大靜摩擦力f=2N，且方向指向圓心。
　　此后，新出現(xiàn)的問題是，是繩先斷還是A、B間先相對(duì)滑動(dòng)？仍然用窮舉法，不外乎兩種情況：①繩先斷②A、B間先相對(duì)滑動(dòng)，上面已經(jīng)討論過②的情況，在ω=4rad/s時(shí)出現(xiàn)。
　　（3）假設(shè)繩先斷，而A、B間相對(duì)靜止。對(duì)AB兩物體作為整體的受力如圖11所示。F+f=(m+m)ωr，代入數(shù)據(jù)解得ω=2rad/s。
　　由于ω＞ω，故A、B間先相對(duì)滑動(dòng)。并且A從B上滑出去。我們立即就想到一個(gè)問題：在A從B上滑出時(shí)，繩中彈力突變?yōu)榱忝?？由于在步驟（2）中，ω的求解其實(shí)只與轉(zhuǎn)盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)有關(guān)，所以只要加速度大于ω＝2rad/s，繩中就存在張力。
　　圖11圖12
　　（4）對(duì)B進(jìn)行受力分析，如圖12所示。F+f′=(m+m)ωr，注意，f′=1N，代入數(shù)據(jù)解得ω=3rad/s。當(dāng)加速度超過這個(gè)數(shù)值后，繩將斷裂，B將飛出去。