摘 要： 本文用具體例子闡述了近世代數(shù)與其他數(shù)學課程的相互滲透與應用。
　　關鍵詞： 近世代數(shù) 高等代數(shù) 幾何 分析課程 結合與應用
　　
　　近世代數(shù)這門課程具有極高的抽象性，在一定程度上，這門課程中的很多概念是從一些具體的數(shù)學模型中抽象出的一般結構.另外，每一次抽象回到具體，能夠化解一些具體問題，甚至能解決一些以前不能解決的問題.Galois理論解決方程根的問題就是非常典型的一個例子.并且，近世代數(shù)與其他課程相結合，具有極大的工具作用.本文就一些具體問題，用具體例子闡述近世代數(shù)與其他數(shù)學課程的相互滲透與應用.
　　一、近世代數(shù)與高等代數(shù)
　　近世代數(shù)是高等代數(shù)的后續(xù)課程，近世代數(shù)中的很多一般理論都建立在高等代數(shù)的一些具體的群、環(huán)上，例如，置換群、n階矩陣環(huán)、數(shù)域p上的多項式環(huán)是高等代數(shù)提供的一些具體的代數(shù)結構，這都是我們熟知的.并且這些結構還可以驗證近世代數(shù)中的一些結論，下面就是一個具體例子：
　　用矩陣環(huán)驗證環(huán)論中的一個結論，若M，N是環(huán)R的子環(huán)，M+N未必是R的子環(huán).
　　設R為一個數(shù)域F上2的全矩陣環(huán)，設
　　0 x0 0∈M，00y 0∈N，
　　0 x0 0＋00y 0＝0xy0?埸M+N，不封閉，自然不能構成子環(huán).
　　二、近世代數(shù)與幾何
　　1.近世代數(shù)也是一些幾何模型的抽象，群的定義引入就用了很多的幾何對稱圖形［４］［５］.
　　2.近世代數(shù)的一些思想可以通過具體的幾何圖像得以直觀地解釋，比如陪集的分類思想，見下例：
　　={x∈Ｒ|x=2kπ+r， k∈Ｚ}，（0≦r<2π）是群Ｒ關于子群H的包含r的一個陪集.對于一個給定的r（0≦r<2π），凡是可以寫成2kπ+r的數(shù)都在中，它們是實數(shù)軸上相距2k的所有的點組成的點集.
　　3.復平面上的每個點對應一個復數(shù)，以下我們把復平面上的點z稱為復數(shù)z.
　　以原點為圓心，正實數(shù)r為半徑畫圓可以得到無窮多個同心圓C（r∈R）.如下圖：
　　C=｛z∈C｜｜z｜=r｝， （r∈R）是非零復數(shù)集合的子集，具有性質(zhì)：
　　1）C=C；
　　2）當r≠t時，C∩C是空集；
　　3）單位圓周C的任意兩個復數(shù)的乘積還在C中，非單位圓周C沒有這個性質(zhì)；
　　4）以原點為起點作射線l與各同心圓相交，交點l∩C=z（r∈R）.所得的復數(shù)的幅角都相同，只是模不等.設幅角為θ，z=Re=Rz，則σ：z→z是C到C的雙射；
　　5）以C為元素組成的集合S，即S=﹛C| r∈R﹜.規(guī)定φ：C→r，則φ是S到r到R的雙射.
　　用近世代數(shù)的觀點解釋是：
　?、賃=C={z∈C||z|=1}，（U， ?莓）是（C，?莓）的子群，并且是正規(guī)子群；
　?、贑=RU={Rz∈C||z|=1}，C是C關于子群U的包含r的陪集；
　　③C等于所有不同陪集的并，C=（rU）；
　　④不同陪集的交是空集，（tU）∩（rU）=?準（t≠r）；
　　⑤每個陪集rU與U之間存在雙射σ：re→e;
　?、抟耘慵癁樵亟M成的集合S是C關于正規(guī)子群U的商集，即C/U=｛rU|r∈R｝=｛C|r∈R｝=S.rU中任一個數(shù)都可以代表rU，記=rU==……；
　　⑦規(guī)定C/U的代數(shù)運算.=，則（C/U，?莓）是群；
　?、郈/U到R的雙射Φ:→r〔即5）中的映射φ：C→r〕保持運算
　　φ﹙?莓﹚=φ﹙﹚=r?t=φ﹙﹚?φ﹙﹚
　　φ是商群（C/U，?莓）到群﹙R，?莓﹚的同構映射，于是C/UR.
　　另外比較典型的一例是二面體群.此例也可以說明“用幾何圖形，充分說明群是由對稱抽象得到的結果”，但因為有諸多文獻闡述幾何對稱與群的關系，通過此例也只是可以再次看到對稱與群的關系的內(nèi)在聯(lián)系，所以本文不準備再贅述這種聯(lián)系，主要是用此例說明：近世代數(shù)中生成子，生成關系與群這幾個概念，以及群的本質(zhì)結構，可以在幾何圖形中得到最好的詮釋.首先來看二面體群G：如果F是平面上正n邊形，令T為繞中心轉(zhuǎn)，S為對于某一對稱軸的鏡面反射，我們可以證明由2n個元素組成的集合G={T，T，…，T，ST，ST，…ST}是一個群（其中，T=I，ST=TS，S=I）.
　　根據(jù)群的定義，直接驗證可知G是一個群，但這個群可以用另外一種方式表達，即從生成的本質(zhì)上來予以表達.我們從G的幾何構成上很容易看到，G是由生成T，S并且符合生成關系T=I，ST=TS，S=I，所以G是由二元素生成的自由群的商群，G=（T，S）/N，其中N是由T，STST，S生成的正規(guī)子群.
　　三、近世代數(shù)與分析課程
　　綜合利用近世代數(shù)和分析課程以及其他數(shù)學知識，可以解決一些比較困難，甚至表明看起來無法解決的一些問題.
　　例1.抽象代數(shù)、數(shù)學分析與組合數(shù)學的綜合應用［６］［７］［８］.
　　設a，a，…，a是正整數(shù)序列，則至少存在k和l， 1≤k≤l≤m，使得和a+a+…+a是m的倍數(shù).
　　分析：1.正整數(shù)序列除每個數(shù)是正整數(shù)外，沒有其他特征.而結論似乎也只有和這個數(shù)有點聯(lián)系.
　　2.分析結論，a+a+…+a是m的倍數(shù)其實就是a+a+…+a≡0（mod m），而m的剩余類共有m類，在分類思想下，對并無任何規(guī)律的正整數(shù)序列a，a，…，a似乎有所控制.
　　3. 繼續(xù)分析結論，a+a+…+a，即是數(shù)學分析中的和差S-S，這樣結論就是要S，S這“兩只鴿子”符合關系S-S≡0（mod m），或者說S≡S（mod m）.
　　4. 正整數(shù)序列a，a，…，a雖然無任何規(guī)律，但由于正整數(shù)的特點：有S　　證：設S=a， S≡r（mod m ）0≤r≤m-1，（h = 1， 2， …， m）.
　　若存在l， S≡0（mod m ）則命題成立．否則，l≤r≤m-1．但h = 1， 2， …， m．
　　由鴿籠原理，存在r=r， 從而S=S，不妨設 h ＞k．則：
　　S-S=a+a+…+a≡0 （mod m ）.
　　
　　參考文獻：
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　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”