摘 要： 本文對(duì)解題過(guò)程中的問(wèn)題進(jìn)行了整理、梳理、匯總和研析，總結(jié)出學(xué)生易出現(xiàn)錯(cuò)誤解答的原因：錯(cuò)誤理解公差的取值而漏解，不能正確理解等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)用等差數(shù)列前幾項(xiàng)和的性質(zhì)。
　　關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué) 等差數(shù)列 易錯(cuò)點(diǎn)
　　
　　等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)學(xué)科數(shù)列章節(jié)知識(shí)體系的重要組成部分，是初中數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)數(shù)知識(shí)體系內(nèi)容的有效升華，是一類特殊的數(shù)列。等差數(shù)列知識(shí)以其自身所具有的性質(zhì)，在人們?nèi)粘Ｉ钪杏兄羁潭謴V泛的應(yīng)用。我通過(guò)對(duì)等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、等差中項(xiàng)概念、等差數(shù)列性質(zhì)、等差數(shù)列判定方法，以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的等差數(shù)列的性質(zhì)等知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在等差數(shù)列相關(guān)問(wèn)題解答過(guò)程中，存在著這樣或那樣的問(wèn)題。我在教學(xué)過(guò)程中，對(duì)學(xué)生解題過(guò)程中的問(wèn)題進(jìn)行了認(rèn)真的整理、梳理、匯總和研析，原因主要有以下方面。
　　一、錯(cuò)誤理解公差的取值而漏解
　　學(xué)生作為學(xué)習(xí)知識(shí)的主體，在等差數(shù)列概念、性質(zhì)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，由于受思維能力水平局限性的影響（在等差數(shù)列中公差的取值可能為正值、負(fù)值或0），在解題時(shí)往往會(huì)主觀地認(rèn)為公差大于0而造成漏解。在教學(xué)活動(dòng)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生正確而全面地理解概念及其性質(zhì)，從而運(yùn)用全面的思維理念，進(jìn)行問(wèn)題的有效解答。
　　例題：已知b是a，c的等差中項(xiàng)，且lg（a+1），lg（b-1），lg（c-1）成等差數(shù)列，且a+b+c=15，求a、b、c的值.
　　某一學(xué)生解題過(guò)程如下：
　　解：∵2b=a+c， a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
　　設(shè)等差數(shù)列a，b，c的公差為d，則a=5-d，c=5+d.
　　∵2lg（b-1）=lg（a+1）+lg（c-1），
　　∴2lg4=lg（5-d+1）+lg（5+d-1）=lg［25-（d-1）］.
　　∴16=25-（d-1）∴（d-1）=9，∴d-1=3，d=4.∴a，b，c依次為1，5，9.
　　通過(guò)對(duì)等差數(shù)列公差的概念和取值方法等內(nèi)容的分析，發(fā)現(xiàn)該解答過(guò)程中，在解（d-1）=9時(shí)，開(kāi)平方得d-1=3，僅取了算術(shù)平方根是錯(cuò)誤的。應(yīng)該注意到在解題過(guò)程中，遇到求某數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)一般應(yīng)求出兩個(gè)值，再根據(jù)題設(shè)條件來(lái)決定取舍，如果僅取算術(shù)平方根，那么往往會(huì)發(fā)生漏解的現(xiàn)象。因此，正確的解答過(guò)程如下。
　　解：∵2b=a+c，a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
　　設(shè)等差數(shù)列a，b，c的公差為d，則a=5-d，c=5+d.
　　∵2lg（b-1）=lg（a+1）+lg（c-1），∴2lg4=lg（6-d）+lg（4+d），
　　∴16=（6-d）（4+d），
　　∴d=4或-2，∴a，b，c的值依次是1，5，9或7，5，3.
　　二、不能正確理解等差數(shù)列的性質(zhì)而出現(xiàn)解題錯(cuò)誤
　　在等差數(shù)列{a}中，如果m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，則a+a=a+a.但在解答相類似的問(wèn)題過(guò)程中，學(xué)生一般會(huì)錯(cuò)誤地將該結(jié)果總結(jié)為a=a+a.這就要求教師在進(jìn)行這一問(wèn)題教學(xué)過(guò)程中，在進(jìn)行問(wèn)題練習(xí)的基礎(chǔ)上，還要注意有效引導(dǎo)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的性質(zhì)內(nèi)容進(jìn)行正確理解，找到進(jìn)行等差數(shù)列解答的兩種最基本和最廣泛的性質(zhì)：（1）若m+n=p+q（m，n，p，q∈N），一定有a+a=a+a（反之亦然）；（2）若（m+n）/2=p（m，n，p∈N），則一定有a+a=2a.從而使學(xué)生能夠熟記并靈活運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的正確運(yùn)用。
　　例題：設(shè){a}是等差數(shù)列，a=q，a=p（p≠q），試求a.
　　學(xué)生由于對(duì)等差數(shù)列的性質(zhì)不能正確地理解，進(jìn)行了如下解答：
　　∵設(shè){a}是等差數(shù)列，∴a=a+a=p+q.
　　這時(shí)，我引導(dǎo)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行復(fù)習(xí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了上述解題過(guò)程錯(cuò)誤.紛紛說(shuō)出正確解題過(guò)程為：
　　解：∵a=a+（p-1）d，a=a+（q-1）d，∴a+（p-1）d=q，a+（q-1）d=p，
　　組成方程組，得出：（p-q）d=q-p.
　　∵p≠q，∴d=-1.代入方程中，有a+（p-1）（-1）=q，
　　∴a=p+q-1，故a=0.
　　為使學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的性質(zhì)有準(zhǔn)確和熟練的掌握和運(yùn)用，我在進(jìn)行上述問(wèn)題訓(xùn)練活動(dòng)后，還向?qū)W生布置了“已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為25，它們的平方和為165，求這5個(gè)數(shù).”等凸顯等差數(shù)列性質(zhì)有效運(yùn)用的綜合性問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)行有效訓(xùn)練，為學(xué)生提供進(jìn)行問(wèn)題解答的時(shí)機(jī)，從而為正確高效解答類似問(wèn)題提供經(jīng)驗(yàn)和方法基礎(chǔ)。
　　三、錯(cuò)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
　　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)作為等差數(shù)列章節(jié)性質(zhì)內(nèi)容的重要部分，是學(xué)生掌握等差數(shù)列知識(shí)內(nèi)涵，正確解答等差數(shù)列問(wèn)題的重要手段和途徑，但由于學(xué)生在解答等差數(shù)列{a}的前m項(xiàng)和S的過(guò)程中，往往由于思維慣性，經(jīng)常將S，S-S，S-S成等差數(shù)列，誤認(rèn)為S，S，S成等差數(shù)列而導(dǎo)致解題出錯(cuò)。如在講解“等差數(shù)列{a}中，S=10，S=30，求S.”問(wèn)題時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生在進(jìn)行這一問(wèn)題解答過(guò)程中，有意提醒學(xué)生，要注意解答該類問(wèn)題過(guò)程中，要切實(shí)避免“S，S-S，S-S成等差數(shù)列，誤認(rèn)為S，S，S成等差數(shù)列”情況的發(fā)生。學(xué)生在教師的提醒和引導(dǎo)下，通過(guò)結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)解答方法，得出以下解題過(guò)程：
　　解：由條件得S=10，S-S=20，由性質(zhì)得S-S=30，從而S=60.
　　總之，新課程教學(xué)目標(biāo)的提出，為高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展提出了明確的要求，同時(shí)，通過(guò)對(duì)歷年高考試卷命題知識(shí)點(diǎn)的分析，數(shù)列內(nèi)容在整個(gè)試卷總分的比重較大，考查的內(nèi)容中包含了等差數(shù)列的知識(shí)要點(diǎn)及其性質(zhì)內(nèi)容，有效地考查了學(xué)生邏輯思維推理能力、運(yùn)算能力，以及運(yùn)用數(shù)列中的知識(shí)和方法分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。因此，在等差數(shù)列知識(shí)教學(xué)中，教師要善于尋找規(guī)律，找出學(xué)生解題錯(cuò)誤所在，實(shí)行“針對(duì)性”、“實(shí)效性”的解題活動(dòng)，幫助學(xué)生改正解題中的錯(cuò)誤方法，實(shí)現(xiàn)學(xué)生良好思維習(xí)慣和學(xué)習(xí)能力的有效形成。
　　摘 要： 本文對(duì)解題過(guò)程中的問(wèn)題進(jìn)行了整理、梳理、匯總和研析，總結(jié)出學(xué)生易出現(xiàn)錯(cuò)誤解答的原因：錯(cuò)誤理解公差的取值而漏解，不能正確理解等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)用等差數(shù)列前幾項(xiàng)和的性質(zhì)。
　　關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué) 等差數(shù)列 易錯(cuò)點(diǎn)
　　
　　等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)學(xué)科數(shù)列章節(jié)知識(shí)體系的重要組成部分，是初中數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)數(shù)知識(shí)體系內(nèi)容的有效升華，是一類特殊的數(shù)列。等差數(shù)列知識(shí)以其自身所具有的性質(zhì)，在人們?nèi)粘Ｉ钪杏兄羁潭謴V泛的應(yīng)用。我通過(guò)對(duì)等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、等差中項(xiàng)概念、等差數(shù)列性質(zhì)、等差數(shù)列判定方法，以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的等差數(shù)列的性質(zhì)等知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在等差數(shù)列相關(guān)問(wèn)題解答過(guò)程中，存在著這樣或那樣的問(wèn)題。我在教學(xué)過(guò)程中，對(duì)學(xué)生解題過(guò)程中的問(wèn)題進(jìn)行了認(rèn)真的整理、梳理、匯總和研析，原因主要有以下方面。
　　一、錯(cuò)誤理解公差的取值而漏解
　　學(xué)生作為學(xué)習(xí)知識(shí)的主體，在等差數(shù)列概念、性質(zhì)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，由于受思維能力水平局限性的影響（在等差數(shù)列中公差的取值可能為正值、負(fù)值或0），在解題時(shí)往往會(huì)主觀地認(rèn)為公差大于0而造成漏解。在教學(xué)活動(dòng)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生正確而全面地理解概念及其性質(zhì)，從而運(yùn)用全面的思維理念，進(jìn)行問(wèn)題的有效解答。
　　例題：已知b是a，c的等差中項(xiàng)，且lg（a+1），lg（b-1），lg（c-1）成等差數(shù)列，且a+b+c=15，求a、b、c的值.
　　
　　某一學(xué)生解題過(guò)程如下：
　　解：∵2b=a+c， a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
　　設(shè)等差數(shù)列a，b，c的公差為d，則a=5-d，c=5+d.
　　∵2lg（b-1）=lg（a+1）+lg（c-1），
　　∴2lg4=lg（5-d+1）+lg（5+d-1）=lg［25-（d-1）］.
　　∴16=25-（d-1）∴（d-1）=9，∴d-1=3，d=4.∴a，b，c依次為1，5，9.
　　通過(guò)對(duì)等差數(shù)列公差的概念和取值方法等內(nèi)容的分析，發(fā)現(xiàn)該解答過(guò)程中，在解（d-1）=9時(shí)，開(kāi)平方得d-1=3，僅取了算術(shù)平方根是錯(cuò)誤的。應(yīng)該注意到在解題過(guò)程中，遇到求某數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)一般應(yīng)求出兩個(gè)值，再根據(jù)題設(shè)條件來(lái)決定取舍，如果僅取算術(shù)平方根，那么往往會(huì)發(fā)生漏解的現(xiàn)象。因此，正確的解答過(guò)程如下。
　　解：∵2b=a+c，a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
　　設(shè)等差數(shù)列a，b，c的公差為d，則a=5-d，c=5+d.
　　∵2lg（b-1）=lg（a+1）+lg（c-1），∴2lg4=lg（6-d）+lg（4+d），
　　∴16=（6-d）（4+d），
　　∴d=4或-2，∴a，b，c的值依次是1，5，9或7，5，3.
　　二、不能正確理解等差數(shù)列的性質(zhì)而出現(xiàn)解題錯(cuò)誤
　　在等差數(shù)列{a}中，如果m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，則a+a=a+a.但在解答相類似的問(wèn)題過(guò)程中，學(xué)生一般會(huì)錯(cuò)誤地將該結(jié)果總結(jié)為a=a+a.這就要求教師在進(jìn)行這一問(wèn)題教學(xué)過(guò)程中，在進(jìn)行問(wèn)題練習(xí)的基礎(chǔ)上，還要注意有效引導(dǎo)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的性質(zhì)內(nèi)容進(jìn)行正確理解，找到進(jìn)行等差數(shù)列解答的兩種最基本和最廣泛的性質(zhì)：（1）若m+n=p+q（m，n，p，q∈N），一定有a+a=a+a（反之亦然）；（2）若（m+n）/2=p（m，n，p∈N），則一定有a+a=2a.從而使學(xué)生能夠熟記并靈活運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的正確運(yùn)用。
　　例題：設(shè){a}是等差數(shù)列，a=q，a=p（p≠q），試求a.
　　學(xué)生由于對(duì)等差數(shù)列的性質(zhì)不能正確地理解，進(jìn)行了如下解答：
　　∵設(shè){a}是等差數(shù)列，∴a=a+a=p+q.
　　這時(shí)，我引導(dǎo)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行復(fù)習(xí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了上述解題過(guò)程錯(cuò)誤.紛紛說(shuō)出正確解題過(guò)程為：
　　解：∵a=a+（p-1）d，a=a+（q-1）d，∴a+（p-1）d=q，a+（q-1）d=p，
　　組成方程組，得出：（p-q）d=q-p.
　　∵p≠q，∴d=-1.代入方程中，有a+（p-1）（-1）=q，
　　∴a=p+q-1，故a=0.
　　為使學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的性質(zhì)有準(zhǔn)確和熟練的掌握和運(yùn)用，我在進(jìn)行上述問(wèn)題訓(xùn)練活動(dòng)后，還向?qū)W生布置了“已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為25，它們的平方和為165，求這5個(gè)數(shù).”等凸顯等差數(shù)列性質(zhì)有效運(yùn)用的綜合性問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)行有效訓(xùn)練，為學(xué)生提供進(jìn)行問(wèn)題解答的時(shí)機(jī)，從而為正確高效解答類似問(wèn)題提供經(jīng)驗(yàn)和方法基礎(chǔ)。
　　三、錯(cuò)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
　　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)作為等差數(shù)列章節(jié)性質(zhì)內(nèi)容的重要部分，是學(xué)生掌握等差數(shù)列知識(shí)內(nèi)涵，正確解答等差數(shù)列問(wèn)題的重要手段和途徑，但由于學(xué)生在解答等差數(shù)列{a}的前m項(xiàng)和S的過(guò)程中，往往由于思維慣性，經(jīng)常將S，S-S，S-S成等差數(shù)列，誤認(rèn)為S，S，S成等差數(shù)列而導(dǎo)致解題出錯(cuò)。如在講解“等差數(shù)列{a}中，S=10，S=30，求S.”問(wèn)題時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生在進(jìn)行這一問(wèn)題解答過(guò)程中，有意提醒學(xué)生，要注意解答該類問(wèn)題過(guò)程中，要切實(shí)避免“S，S-S，S-S成等差數(shù)列，誤認(rèn)為S，S，S成等差數(shù)列”情況的發(fā)生。學(xué)生在教師的提醒和引導(dǎo)下，通過(guò)結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)解答方法，得出以下解題過(guò)程：
　　解：由條件得S=10，S-S=20，由性質(zhì)得S-S=30，從而S=60.
　　總之，新課程教學(xué)目標(biāo)的提出，為高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展提出了明確的要求，同時(shí)，通過(guò)對(duì)歷年高考試卷命題知識(shí)點(diǎn)的分析，數(shù)列內(nèi)容在整個(gè)試卷總分的比重較大，考查的內(nèi)容中包含了等差數(shù)列的知識(shí)要點(diǎn)及其性質(zhì)內(nèi)容，有效地考查了學(xué)生邏輯思維推理能力、運(yùn)算能力，以及運(yùn)用數(shù)列中的知識(shí)和方法分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。因此，在等差數(shù)列知識(shí)教學(xué)中，教師要善于尋找規(guī)律，找出學(xué)生解題錯(cuò)誤所在，實(shí)行“針對(duì)性”、“實(shí)效性”的解題活動(dòng)，幫助學(xué)生改正解題中的錯(cuò)誤方法，實(shí)現(xiàn)學(xué)生良好思維習(xí)慣和學(xué)習(xí)能力的有效形成。
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”