摘 要： 線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題是高考考試范圍之一的知識(shí)，也是學(xué)生往后學(xué)習(xí)優(yōu)化問(wèn)題的基礎(chǔ)，然而現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教學(xué)中多數(shù)僅僅注重講解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的解題方法，而不重視學(xué)生對(duì)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的理解。本文作者采用幾何畫(huà)板輔助教學(xué)，展示尋找線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題最優(yōu)解的過(guò)程，以及解題過(guò)程，使學(xué)生對(duì)線(xiàn)性規(guī)劃理解更深刻。
　　關(guān)鍵詞： 線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題 幾何畫(huà)板 最優(yōu)解 解題過(guò)程
　　
　　數(shù)學(xué)既是演繹科學(xué)，又是一門(mén)實(shí)驗(yàn)性科學(xué)。數(shù)學(xué)作為培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的重要工具已得到廣泛的共識(shí)，然而在應(yīng)試環(huán)境下培養(yǎng)學(xué)生的思維能力更多的只是停留在解題能力上。而線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，作為高考考試范圍之一的知識(shí)，內(nèi)容簡(jiǎn)單且解題思路單一，因此容易被忽略，在教學(xué)時(shí)僅僅根據(jù)考試要求教會(huì)學(xué)生解題思路即可。在題海戰(zhàn)術(shù)下，學(xué)生對(duì)解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的方法了如指掌，卻未必能了解其解決方法的原理，不能為大學(xué)學(xué)習(xí)最優(yōu)化問(wèn)題打好基礎(chǔ)。因此，應(yīng)該改變線(xiàn)性規(guī)劃課程的教學(xué)方法，注重于學(xué)生對(duì)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，即注重于向?qū)W生展示線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題最優(yōu)解的選取過(guò)程。而要展示尋找線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題最優(yōu)解這一動(dòng)態(tài)過(guò)程需要借助多媒體工具，其中《幾何畫(huà)板》是便利又實(shí)用的工具。
　　如何在線(xiàn)性規(guī)劃課程教學(xué)中應(yīng)用幾何畫(huà)板？在以實(shí)際問(wèn)題引入簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的相關(guān)概念后，向?qū)W生講述例題，例題的講述并是不直接教授學(xué)生如何解題，而是向?qū)W生展示如何在可行域中尋求最優(yōu)解的過(guò)程。這樣可以使學(xué)生深入了解最優(yōu)解的概念，再利用幾何畫(huà)板向?qū)W生展示線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的解題方法。我在此以一題例題進(jìn)行說(shuō)明。
　　例題：（廣東2008，第4題，5分）
　　一、展示尋找最優(yōu)解的過(guò)程
　　此例題中，不等式組為線(xiàn)性約束條件，滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。z=3x+2y叫做目標(biāo)函數(shù)，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的可行解是這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解。因此，在尋找到最優(yōu)解，即尋找可行域中使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值的解。
　　如圖過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線(xiàn)交BC于O點(diǎn)，作線(xiàn)段BO上的點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)作BC的垂線(xiàn)段PQ，作PQ上的點(diǎn)M，度量點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，計(jì)算3作線(xiàn)段OC上的點(diǎn)S，過(guò)S作OC的垂線(xiàn)段SR，作SR上的點(diǎn)N，度量點(diǎn)N的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，計(jì)算3。利用動(dòng)畫(huà)按鈕，使得P點(diǎn)在線(xiàn)段BC內(nèi)移動(dòng)，M點(diǎn)在線(xiàn)段PQ內(nèi)移動(dòng)；使得S點(diǎn)在線(xiàn)段OC內(nèi)移動(dòng)，N點(diǎn)在線(xiàn)段RS內(nèi)移動(dòng)；觀(guān)察的數(shù)值，當(dāng)M點(diǎn)和N點(diǎn)分別取遍線(xiàn)段DO兩邊的可行解時(shí)，則可帶領(lǐng)學(xué)生一起找到最優(yōu)解在點(diǎn)D取得。
　　二、展示線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的解題過(guò)程
　　要解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，即要找到使得目標(biāo)函數(shù)即z取得最大值的可行解。我們?nèi)绾斡^(guān)察z是否為最大值？z在圖中該如何表示？將z=3x+2y變形為y這是斜率為，在y軸上的截距的直線(xiàn)。當(dāng)z變換時(shí)，則可以得到一組互相平行的直線(xiàn)，由于這些直線(xiàn)的斜率是確定的，因此只要給定一個(gè)點(diǎn)，截距可以由一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)唯一確定，可以看到直線(xiàn)y=-x+與表示不等式組的區(qū)域的交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足不等式組，且當(dāng)截距大時(shí)，z取得最大值。因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線(xiàn)y=x+與表示不等式組的區(qū)域有公共點(diǎn)時(shí)，在區(qū)域內(nèi)找到一個(gè)點(diǎn)，使得直線(xiàn)經(jīng)過(guò)此點(diǎn)時(shí)截距最大，則此點(diǎn)為最優(yōu)解。因此，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將直線(xiàn)y平移，找到一個(gè)交點(diǎn)使得直線(xiàn)通過(guò)此交點(diǎn)時(shí)z最大。以下用幾何畫(huà)板展示平移過(guò)程，以及觀(guān)察的結(jié)果。
　　當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)，觀(guān)察可得z達(dá)到最大值，若繼續(xù)向右上平移，則直線(xiàn)與可行域無(wú)交點(diǎn)，即無(wú)可行解。因此，D點(diǎn)的坐標(biāo)為滿(mǎn)足約束條件的最優(yōu)解。
　　由此可以展示此問(wèn)題的解題過(guò)程，使學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)思考問(wèn)題，使問(wèn)題的解決思路更清晰明了。學(xué)生由此可以深入理解解題的原理和思想，而非死記硬背解題的套路和方法。更能為學(xué)生未來(lái)的深入學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，可以讓學(xué)生在課堂中更深入地理解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，掌握最優(yōu)解等相關(guān)概念，發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文