摘 要： 函數(shù)極值推動微積分發(fā)展的重要動力之一，在科學(xué)技術(shù)和社會生活的各個領(lǐng)域中，充滿了函數(shù)極值問題。極值問題是微積分產(chǎn)生和發(fā)展的重要動力之一。諸如成本最小、距離最短、時間最短等問題，都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值問題。根據(jù)職業(yè)院校學(xué)生的特點，結(jié)合自己的教學(xué)實踐，本文作者僅針對一元函數(shù)展開分析，就如何求解函數(shù)的極值點問題進(jìn)行初步的探討。
　　關(guān)鍵詞： 函數(shù)極值點 函數(shù)極值 一元函數(shù) MATLAB
　　
　　函數(shù)極值是推動微積分發(fā)展的重要動力之一，在科學(xué)技術(shù)和社會生活的各個領(lǐng)域中，充滿了函數(shù)極值問題.極值問題是微積分產(chǎn)生和發(fā)展的重要動力之一.諸如能量最小、最佳擬合、最短路徑、時間最短等問題，都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值問題.確切地說，這里討論的只是“局域極值”問題，“全域最小”問題要復(fù)雜得多。至今沒有一個“系統(tǒng)性”的方法可求解一般的“全域最小”問題.對于一元、二元函數(shù)，可以作圖觀察，利用函數(shù)單調(diào)性，等等，但更多元的函數(shù)，就很難利用這些方法.因此，根據(jù)職業(yè)學(xué)校學(xué)生的特點，結(jié)合自己的教學(xué)實踐，我僅針對一元函數(shù)展開分析，就如何求解函數(shù)的極值點問題進(jìn)行初步的探討.
　　一、利用一階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值的第一充分條件列表求函數(shù)的極值點
　　定理1（極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)y=f（x）在x的一個領(lǐng)域內(nèi)可微（在x處可以不可微，但必須連續(xù)），若當(dāng)x在該鄰域內(nèi)由小于x連續(xù)地變?yōu)榇笥趚時，其導(dǎo)數(shù)f′（x）改變符號，則f（x）為函數(shù)的極值.x為函數(shù)的極值點，并且
　　（1）若導(dǎo)數(shù)f′（x）由正值變?yōu)樨?fù)值，則x為函數(shù)的極大值點；
　?。?）若導(dǎo)數(shù)f′（x）由負(fù)值變?yōu)檎?，則x為函數(shù)的極小值點；
　?。?）若導(dǎo)數(shù)f′（x）不變號，則x不是函數(shù)的極值點.
　　運用該定理求函數(shù)極值點的一般步驟是：
　?。?）確定函數(shù)定義域并找出所給函數(shù)的駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點；
　　（2）考察上述點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號，確定極值點；
　　（3）求出極值點處的函數(shù)值，得到極值.
　　例1.求f（x）=（x-1）x的極值
　　解：函數(shù)定義域為（-∞，+∞），
　　尋求駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點.因為
　　f′（x）=x+（x-1）?x=?
　　令f′（x）=0，得x=；當(dāng)x=0，f′（x）不存在.
　　列表判別得：
　　所以，x=0是極大值點，其極大值為f（0）=0；
　　x=是極小值點，其極小值為f（）=-0.33.
　　二、利用二階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值的第二充分條件列表求函數(shù)的極值點
　　定理2（極值的第二充分條件）：設(shè)函數(shù)y=f（x）在x處的二階導(dǎo)數(shù)存在，若f′（x）=0，且f″（x）≠0，則x為函數(shù)的極值點，f（x）為函數(shù)的極值，并且
　?。?）當(dāng)f″（x）>0時，則x為函數(shù)的極小值點，f（x）為函數(shù)的極小值；
　?。?）當(dāng)f″（x）<0時，則x為函數(shù)的極大值點，f（x）為函數(shù)的極大值.
　　運用該定理求函數(shù)極值點的一般步驟是：
　?。?）確定函數(shù)定義域，并找出所給函數(shù)的全部駐點；
　　（2）考察函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在駐點處的符號，確定極值點.
　　例2.求f（x）=x-2x-5的極值
　　解：函數(shù)定義域為（-∞，+∞）.
　　因為f′（x）=4x-4x=4x（x+1）（x-1），
　　所以由f′（x）=0可得該函數(shù)的三個駐點：x=-1，0，1.
　　因為f″（x）=12x-4，
　　所以有f″（-1）=8>0;f″（0）=-4<0;f″（1）=8>0;
　　故由定理2可知x=-1，x=1為極小值點，x=0為極大值點.
　　由上述定理1和定理2可知，極值的這兩個充分條件在處理極值問題時各有獨到之處，定理1充分利用了函數(shù)單調(diào)性的特點，從函數(shù)圖形來研究函數(shù)的極值，容易被讀者接受，但是求解過程過于繁瑣；定理2充分運用二階導(dǎo)數(shù)，計算起來比定理1簡捷，容易運算，很多時候，我們選擇用定理2來求解函數(shù)的極值點，但定理2讀者不容易理解和記憶.因此在將這兩個充分條件教授給學(xué)生時，要注意將這兩個定理本身的內(nèi)容解釋清楚.
　　同時，大家可以看到，從理論上講，假如函數(shù)y=f（x）“光滑”，那么它的極值點可以根據(jù)定理1和定理2確定，于是求y=f（x）的極值問題就轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的零點問題.顯然，這種方法只能處理完全“光滑”的函數(shù).
　　現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循“以應(yīng)用為目的，理論知識以必需、夠用為度”原則，淡化概念，注重應(yīng)用.因此，在教學(xué)過程中可以將新的解決方法例如計算機軟件引入課堂，引導(dǎo)學(xué)生運用現(xiàn)代信息技術(shù)手段解決問題.
　　三、利用MATLAB中的fminbnd程序，求解一元函數(shù)極值問題
　　因為y=f（x）的極小值問題等價于y=-f（x）的極大值問題，所以MATLAB的Toolbox函數(shù)中只有處理極小值的指令.鑒于此，我在這里只討論極小值問題.
　　Fminbnd指令具體如下：
　　X=fminbnd（fun，x1，x2）*求函數(shù)在區(qū)間（x1，x2）中極小值的指令最簡格式；
　?。踴，fval，exitflag，output］=fminbnd（fun，x1，x2，options，P1，P2，…）
　　*求函數(shù)在區(qū)間（x1，x2）中極小值的指令最簡格式；
　?。壅f明］
　　Fun表示被解函數(shù). x1，x2分別表示被研究區(qū)間的左、右邊界.
　　X，fval分別表示所求的極小值點坐標(biāo)和函數(shù)值.
　　調(diào)用Fminbnd指令，求解函數(shù)極值的一般步驟：
　?。?）將別解函數(shù)構(gòu)造成一個內(nèi)聯(lián)函數(shù)對象y=inline（′（fun′，′x′）;
　?。?）x1=區(qū)間左邊界；x2=區(qū)間右邊界;
　　（3）直接調(diào)用指令［x，fval，exitflag，output］=fminbnd（y，x1，x2）.
　　現(xiàn)在我們來重新求解例1.
　　程序如下：
　　y=inline（′（x-1）*x^（2/3）′，′x′）;
　　x1=-inf;
　　x2=+inf;
　?。踴，fval，exitflag，output］=fminbnd（y，x1，x2）
　　結(jié)果輸出
　　x=0.4000
　　fval=-0.3257
　　exitflag=1
　　output=iterations：30
　　funcCount：33
　　algorithm：′golden section search，parabolic interpolation′
　　我認(rèn)為，以上三種求解函數(shù)的極值點問題的方法，各有優(yōu)勢與獨到之處，教師在教學(xué)過程中不應(yīng)拘泥于單一的解題思路，而要引導(dǎo)學(xué)生開拓思維、積極思考，結(jié)合自身的特點進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，使自己與學(xué)生在探究學(xué)習(xí)的過程中共同成長，在幫助學(xué)生培養(yǎng)思維能力的同時，讓學(xué)生學(xué)會運用適當(dāng)?shù)姆椒ǚ治鰡栴}和解決問題，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　?。?］盛祥耀.高等數(shù)學(xué).高等教育出版社［M］，2001.
　　［2］鄒楊.Mathematica軟件在經(jīng)濟函數(shù)最值中的運用.科技信息（學(xué)術(shù)研究），2008，（14）.
　?。?］葉子祥.經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)［M］.高等教育出版社，2003.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文