摘要：放縮法是不等式證明的一種重要思想. 本文主要討論了在放縮過(guò)程中思路受阻時(shí)的四種應(yīng)對(duì)策略：拆分放縮，修正放縮量，進(jìn)行適度調(diào)整；適度限項(xiàng)放縮，糾正偏差；把握整體，進(jìn)行適度放縮；轉(zhuǎn)化視角，改變途徑，進(jìn)行有效放縮.通過(guò)對(duì)四種策略的探討，加深對(duì)放縮法的理解，更進(jìn)一步地掌握放縮法的精髓，提高解決問(wèn)題的能力.
　　關(guān)鍵詞：放縮；想法；適度
　　
　　放縮法是不等式證明的一種重要思想，學(xué)生解題時(shí)，常常因?yàn)楦鞣N原因?qū)е滤悸肥茏? 在放縮過(guò)程中，要么放得過(guò)大，要么縮得過(guò)小，差之毫厘，謬之千里，如何放縮達(dá)到預(yù)證目標(biāo)是問(wèn)題最大的難點(diǎn). 探討采取何種策略、從何處切入、如何進(jìn)行適度的調(diào)整，對(duì)于提高學(xué)生的解題能力十分重要.本文就此做一些探索.
　　
　　拆分放縮，修正放縮量，進(jìn)行適度調(diào)整
　　放縮量的多少直接影響我們能否達(dá)到預(yù)證目標(biāo)，因此應(yīng)如何控制放縮量呢？應(yīng)該按照一定的規(guī)律和需求，調(diào)整“間距”，使放縮的量精細(xì)化，即將放大過(guò)頭的量砍去，縮小過(guò)多的量補(bǔ)上，把握好火候.
　　例1 證明不等式<.
　　想法一怎么放縮？而且放縮后要可以求和.
　　回到題目中觀察，利用<=－，不等式可化為<－+－+…+－=－<.
　　想法二 思路正確，結(jié)果是放得過(guò)大了.什么原因？實(shí)際上原來(lái)的分母（2k+3）2=4k2+12k+9被縮小成（2k+1）（2k+3）=4k2+8k+3，分母縮小太多——分母縮小了4k+6.
　　想法三 能不能滿足既放大、又裂項(xiàng)的要求，而且不能放大得太多？有了?。?k+3）2>（2k+2）（2k+4），這樣分母只縮小數(shù)量1.
　　于是<==－，問(wèn)題得以解決.
　　
　　適度限項(xiàng)放縮，糾正偏差
　　若每一項(xiàng)都放大或縮小一點(diǎn)點(diǎn)，累積起來(lái)就會(huì)放大或縮小很多，這將導(dǎo)致放縮結(jié)果出現(xiàn)偏差. 適度減少放縮的項(xiàng)，保留更多的項(xiàng)不被放縮，可以糾正偏差，逐步逼近預(yù)證目標(biāo).
　　例2 在數(shù)列｛an｝，｛bn｝中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列（n∈N*）.
　?。á瘢┣骯2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)｛an｝，｛bn｝的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
　?。á颍┳C明：++…+<．
　　第1題解答過(guò)程略，得到a=n（n+1），bn=（n+1）2，下面證明第2題.
　　想法一 如果
　　===2－，那么，裂項(xiàng)成功，但不能相消.因?yàn)榱殉鰜?lái)是2－+－+－+…+－，此時(shí)分母間隔1，不行；若間隔等于2，則可以相消.
　　想法二
　　==<=－. 此時(shí)，左邊為－+－+…+－<，放過(guò)頭了. 有沒(méi)有調(diào)整的辦法？有！放大的過(guò)程往后移一點(diǎn).越是前面的項(xiàng)，放大時(shí)增大得越多. 原來(lái)的第一項(xiàng)從放大后成為. 鑒于這個(gè)道理，調(diào)整的辦法可以從第二項(xiàng)開始放.于是 +－+－+…+－=+－<+=.
　　啟示 從方法上來(lái)說(shuō)，放縮過(guò)頭可以進(jìn)行如下調(diào)整：一，使分母不要放得太過(guò)；二，放的過(guò)程適當(dāng)后移. 于是想法就產(chǎn)生了——過(guò)頭是可以調(diào)整的.
　　
　　把握整體，進(jìn)行適度放縮
　　整體放縮，不僅能減少放縮的項(xiàng)數(shù)，還可以有效地調(diào)整放縮量的精確度，減少誤差. 因此放縮的過(guò)程中要有強(qiáng)烈的目標(biāo)意識(shí)和方向意識(shí)，圍繞目標(biāo)進(jìn)行聚焦式嘗試.
　　例3 已知｛an｝，an≥0，a1=0，a+an+1-1=a（n∈N*）． 記
　　Sn=a1+a2+…+an，Tn=++…+. 求證：當(dāng)n∈N*時(shí)，（Ⅰ）ann－2；（Ⅲ）Tn<3.
　　第1、2小題略. 由（Ⅰ）得到數(shù)列是單調(diào)遞增的. 下證第3小題.
　　想法 該怎么放縮？運(yùn)用等差、等比、裂項(xiàng)、錯(cuò)位、倒序等方法中的哪一個(gè)進(jìn)行求和？注意到分母的項(xiàng)數(shù)一點(diǎn)點(diǎn)多起來(lái)，且每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)值一點(diǎn)點(diǎn)大起來(lái)，故可以運(yùn)用等比數(shù)列進(jìn)行放縮：
　　1+++…+<1+++…+==<==<3.
　　
　　轉(zhuǎn)化視角，改變途徑，進(jìn)行有效放縮
　　有時(shí)放縮很難控制，思維容易陷入困境，此時(shí)不妨審時(shí)度勢(shì)，轉(zhuǎn)化視角，變換思維的角度，改變放縮的途徑和手段，利用數(shù)列的單調(diào)性等方法進(jìn)行放縮，往往能收到柳暗花明之奇效.
　　例4 在數(shù)列｛an｝中，a1=6，an+1=an+1，在數(shù)列｛bn｝中，點(diǎn)（n，bn）在過(guò)點(diǎn)A（0，1）的直線l上，若l上兩點(diǎn)B，C滿足=（1，2）.
　?。á瘢┣髷?shù)列｛an｝，｛bn｝的通項(xiàng)公式；
　　（Ⅱ）對(duì)任意正整數(shù)n，不等式－≤0恒成立，求正數(shù)a的取值范圍.
　　想法第1小題解答過(guò)程略，得到an=n+5，bn=2n+1；以下對(duì)第2小題進(jìn)行求解.
　　對(duì)已知不等式變形得到a≤，要使不等式恒成立，只需要a小于等于的最小值.
　　設(shè)g（n）=，由于=>1，故｛g（n）｝單調(diào)遞增，則g（n）min=g（1）=，所以a∈0，.
　　啟示 如果只有方法的話，學(xué)生只會(huì)對(duì)號(hào)入座.對(duì)得上號(hào)的會(huì)做；對(duì)不上號(hào)的就不會(huì)做. 于是在很多情況下，學(xué)生聽得懂，做不來(lái). 這需要教師認(rèn)真剖析問(wèn)題的根源在哪里，思考應(yīng)如何解決. 只有讓學(xué)生學(xué)會(huì)自己抓住問(wèn)題的本質(zhì)，找準(zhǔn)問(wèn)題的切入點(diǎn)，在整體的高度上審時(shí)度勢(shì)，圍繞目標(biāo)進(jìn)行積極的探索嘗試，深度思考構(gòu)建，學(xué)生的解題能力才能得到有效地提高.