一九○○年，在巴黎召開的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上，希爾伯特（David Hilbert，1862—1943）做了題為《數(shù)學(xué)問題》的演講，提出了二十三個他認為會對二十世紀數(shù)學(xué)發(fā)展起重大作用的問題，這就是著名的希爾伯特的二十三個問題。時至今日，一百一十年已經(jīng)過去了。這二十三個問題有些被徹底解決了，有些得到了部分地解決，還有幾個則沒有解決。無論如何，這些問題對最近一百多年的數(shù)學(xué)研究確實是起了極大的推動作用，為了解決其中的某些問題，甚至發(fā)展出了一些新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域或分支。在尋求解決這些問題的過程中，那些做出過重要貢獻的人被數(shù)學(xué)界譽為“榮譽班”成員。關(guān)于他們有不少有意思的故事，有悲劇，也有喜劇。而提出這二十三個問題的希爾伯特更是數(shù)學(xué)界的一代大宗師，應(yīng)該算是這個“榮譽班”當之無愧的班主任吧。他的學(xué)生之一、諾貝爾物理學(xué)獎獲得者勞厄（Max von Laue，1879—1960）在回憶他時說：“在我的記憶中，這個人可能是我所見過的最偉大的天才。”
　　希爾伯特出生的哥尼斯堡（Knigsberg）是拓撲學(xué)的發(fā)祥地，著名的“七橋問題”中的七座橋就在那兒。哥尼斯堡也是大哲學(xué)家康德的故鄉(xiāng)，在那里長大的孩子們（尤其是男孩）可以說都是浸泡在康德的思想里成長起來的。每年四月二十二日（康德的生日），康德長眠的地窟會對公眾開放，希爾伯特的酷愛哲學(xué)的母親總會帶他去向這位偉大的哲學(xué)家致敬。也許正是由于這種哲學(xué)上的熏陶，使他一生對數(shù)學(xué)體系本身的完備性、相容性、確定性等基本問題情有獨鐘。
　　希爾伯特八歲才上學(xué)，比一般孩子晚了兩年。他上的是頗負盛名的馮檢基（Friedrichskolleg）書院。在他之前一百四十年，康德就在那里讀書。在這所既傳統(tǒng)又保守的名校里，最受重視的是拉丁文和希臘文，數(shù)學(xué)次之，根本不教授其他科學(xué)課程。因而記憶力并不出眾的希爾伯特沒有太大的用武之地，表現(xiàn)平平，基本上處在疲于應(yīng)付的狀態(tài)。數(shù)學(xué)對他來說毫不費力，可他也沒花多少精力在上面。按他自己的話說，“在學(xué)校里，我沒怎么在數(shù)學(xué)上下功夫，因為我知道以后會有機會去鉆研它”。直到中學(xué)的最后一年，希爾伯特轉(zhuǎn)學(xué)去了非常注重數(shù)學(xué)和科學(xué)的威廉（Wilhelm）書院，他才如魚得水，各科成績突飛猛進。尤其是數(shù)學(xué)，他不但獲得了最高的分數(shù)，還被破格免去了口試。畢業(yè)時得到的評語是：“對于數(shù)學(xué)，他總是表現(xiàn)出濃厚的興趣和深刻的理解：他以令人激賞的方式掌握了學(xué)校里教授的所有科目，并且能將其以令人信服和富有創(chuàng)造性的方式加以應(yīng)用?！?br/>　　中學(xué)畢業(yè)后，希爾伯特進了哥尼斯堡大學(xué)。這所大學(xué)以自由著稱，教授想教什么就教什么，學(xué)生想學(xué)什么就學(xué)什么，沒有任何限制。甚至每門課上完后連考試都沒有，只在畢業(yè)時需要通過考試。希爾伯特沒有按照父親的愿望去學(xué)法律（他父親是法官），而是選擇了數(shù)學(xué)。那時德國的大學(xué)允許學(xué)生到其他學(xué)校去游學(xué)，希爾伯特曾到著名的洪堡大學(xué)就讀過一學(xué)期。但他沒有像大多數(shù)學(xué)生那樣，繼續(xù)前行去當時的學(xué)術(shù)中心柏林，而是返回了哥尼斯堡。一八八二年，具有數(shù)學(xué)神童之稱的閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864—1909）也回到哥尼斯堡，兩人志趣相投，從此結(jié)為終生的摯友。這個閔可夫斯基后來教過愛因斯坦數(shù)學(xué)，盡管他對愛因斯坦的數(shù)學(xué)才能評價很低，他引入的四維時空（閔可夫斯基空間）概念卻為相對論的后續(xù)發(fā)展奠定了關(guān)鍵的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。一八八四年，二十四歲的赫爾維茨（Adolf Hurwitz，1859—1919）來到哥尼斯堡大學(xué)當助理教授，他對希爾伯特的影響極大，可以說是他真正的老師。有相當長的一段時間，每天下午五點整，赫爾維茨、希爾伯特和閔可夫斯基三人都要聚在一起，散步到一棵蘋果樹下。以希爾伯特自己的說法，“在無休止的散步中，我們?nèi)褙炞⒂诋敃r的各種數(shù)學(xué)問題，交流我們對這些問題的最新理解、想法和研究計劃。同時形成了永久的友誼”。
　　與閔可夫斯基和赫爾維茨相比，希爾伯特應(yīng)該算是大器晚成的那種（當然不是以我們今天的標準）。閔可夫斯基十八歲還在上大學(xué)時就贏得了國際知名度很高的巴黎科學(xué)院科學(xué)數(shù)學(xué)大獎賽的大獎（一八八三年）。赫爾維茨則年紀輕輕就已經(jīng)發(fā)表了多篇重量級的數(shù)學(xué)論文，并獲得了令人羨慕的職位。
　　希爾伯特之所以后來在許多領(lǐng)域里取得了重大成果，與他做學(xué)問的方法密切相關(guān)。一般人開始研究一個新課題時，通常是以前人的結(jié)果為起點接著往前走。希爾伯特卻不是這樣，他總是要從問題的起源開始，將它的來龍去脈徹底梳理一遍。這往往能讓他站在新的制高點上，從與前人不同的角度重新審視問題，發(fā)現(xiàn)意想不到的新方法來攻克難題。一個典型的例子就是在他剛出道時解決的不變量理論中的戈爾丹問題。戈爾丹（Paul Gordan，1837—1912）在一八六八年使用構(gòu)造性方法給出了二元型系統(tǒng)的證明。此后二十年間，很多數(shù)學(xué)家花了大量的時間想將其推廣到更多元的系統(tǒng)，都以失敗告終。希爾伯特仔細分析了戈爾丹問題，斷定沿著老路走下去是沒有希望的。他于是從一個全新的視角重新審視這個問題，在一八八八年利用反證法一舉給出了任意多元系統(tǒng)的證明。
　　到一九○○年，希爾伯特已經(jīng)成為可以和龐加萊（Henri Poincaré，1854—1912）比肩的頂尖數(shù)學(xué)家了。第二屆國際數(shù)學(xué)家大會邀請他做一個專題演講，題目自選。希爾伯特認為，如果能歸納出對新世紀的數(shù)學(xué)發(fā)展具有重要影響的一批問題將會比僅僅講一個他自己的研究成果更有意義。為此，他寫信征求了閔可夫斯基和赫爾維茨的意見，并在其后多次與他們通信商定問題的取舍。應(yīng)該說在最后確定的這二十三個問題中，也有閔可夫斯基和赫爾維茨不少的心血。
　　由于時間限制，希爾伯特在大會上只來得及講了二十三個問題中的十個，其余的十三個被列在會議的通報中。這些問題大體上可以分成四大類：數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問題及特定數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ)問題、數(shù)論問題、代數(shù)與幾何問題，以及數(shù)學(xué)分析問題。
　　巴黎數(shù)學(xué)家大會之后，這二十三個問題成了二十世紀數(shù)學(xué)界的指路燈。希爾伯特所在的哥廷根大學(xué)則被很多人視為數(shù)學(xué)的圣地，成百名青年學(xué)生從世界各地云集到那里。在鼎盛時期（第一次世界大戰(zhàn)為這一時期畫上了句號），希爾伯特講課時經(jīng)常連走道上和窗戶外都站著學(xué)生。他的很多學(xué)生和助手后來都成為數(shù)學(xué)界或物理學(xué)界的重要人物，說他桃李滿天下一點也不為過。
　　一九五○年，美國數(shù)學(xué)學(xué)會要求當時最有影響的數(shù)學(xué)家之一韋爾（Hermann Weyl，1885—1955）總結(jié)一下過去五十年數(shù)學(xué)的進展，韋爾寫道，要不是因為“巴黎問題”所用術(shù)語太過專業(yè)，則只需直接將已經(jīng)解決和部分解決的希爾伯特問題開列下來就已經(jīng)可以完成任務(wù)了?！埃ㄏ柌貑栴}）就是數(shù)學(xué)家們經(jīng)常用來衡量自己進展的進度表。”圍繞希爾伯特問題的解決，有很多故事可以拿出來細細品味，比如有關(guān)希爾伯特第二問題、第八問題、第十三問題等。
　　希爾伯特第二問題
　　希爾伯特第二問題是關(guān)于“公理系統(tǒng)相容性的問題”（即判定一個公理系統(tǒng)內(nèi)的所有命題是彼此相容無矛盾的），希爾伯特希望能以嚴格的方式來證明任意公理系統(tǒng)內(nèi)命題的相容性。公理系統(tǒng)的一個簡單例子，是我們上中學(xué)時都學(xué)過的歐氏幾何學(xué)，歐幾里得列出了十條公理，所有別的幾何定理都可以從這些公理出發(fā)推導(dǎo)出來。
　　解決希爾伯特第二問題的，是被譽為亞里士多德之后最偉大的邏輯學(xué)家的哥德爾（Kurt Godel，1906—1978）。除了希爾伯特第二問題，哥德爾對希爾伯特第一問題的解決也起了關(guān)鍵性的作用，若不是他的興趣突然莫名其妙地轉(zhuǎn)移了，第一問題很可能也會成為他的囊中物。
　　
　　哥德爾出生在摩拉維亞省的布爾諾（當時屬奧匈帝國，現(xiàn)屬捷克）。他天資聰穎，只用了四年時間就完成了一般需要八年的初等教育。一九一八年上高中后，他幾乎門門功課都得最高分，而唯一沒拿到最高分的課竟是數(shù)學(xué)！在進入維也納大學(xué)之初，他是準備搞物理的。后來他的導(dǎo)師、數(shù)學(xué)家哈恩（Hans Hahn，1879—1934）介紹他加入了當時非常有名的Vienna Circle（一個以探討數(shù)學(xué)和物理學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)為目標的、由科學(xué)家和哲學(xué)家組成的小團體），使他的興趣一下子從物理學(xué)轉(zhuǎn)向了邏輯學(xué)。
　　一九三○年二月，哥德爾獲得博士學(xué)位，他的博士論文是證明數(shù)理邏輯中最基本的形式系統(tǒng)——謂詞演算（又稱一階邏輯）的完備性和相容性。這一年稍后，他證明了他的最著名的兩個關(guān)于公理系統(tǒng)的不完備性定理（發(fā)表于一九三一年三月）。哥德爾的論證與古希臘哲學(xué)家埃庇米尼得斯（Epimenides，公元前六世紀）的克里特悖論（身為克里特人的埃庇米尼得斯宣稱“所有的克里特人都是騙子”）有點類似。其大意是說，對于任何一個公理系統(tǒng)，必定存在一個用形式語言表述的語句（statement）無法用形式語言的推理來證實或證偽，即這個語句是不確定的，因而只能靠增加一個新的公理來對付它。換句話說，為了堵住公理系統(tǒng)的一個漏洞，就需要引入新的公理，而新公理的引入又導(dǎo)致新漏洞的出現(xiàn)——魚總是比網(wǎng)大！正是這個不完備性定理從完全出乎預(yù)料的、相反的方向解決了希爾伯特第二問題。比較準確的說法可能應(yīng)該是：不完備性定理證明了公理系統(tǒng)相容性的不可證明（也就是說，希爾伯特想要的，是根本不可能被證明的）。這個消息剛剛傳到希爾伯特那里時，他的最初反應(yīng)是難以置信，甚至還有些憤怒。后來在他的助手伯內(nèi)斯（Paul Bernays）的說服之下，他仔細研究了哥德爾的證明，很快意識到其正確性和重要性。當時希爾伯特正在哥廷根大學(xué)講授一門關(guān)于公理系統(tǒng)的課，看了哥德爾的論文后，他馬上把剩余課程全部取消了。
　　哥德爾是數(shù)學(xué)界公認的天才，也是眾所周知的大怪物。他生性怕羞，據(jù)說他第一次講課時整整一節(jié)課全都是面對黑板，沒朝學(xué)生看一眼。有人認為這也許與他那時就已經(jīng)患了某種程度的抑郁癥或狂想癥有關(guān)。早在學(xué)生時代，醫(yī)生就懷疑哥德爾可能患有抑郁癥或精神病，而他的一大樂趣就是與他的一個朋友共同策劃如何誤導(dǎo)醫(yī)生，以使其無法判斷他到底有什么病。也許正是這種諱疾忌醫(yī)的態(tài)度要了他自己的命。到了晚年，他的狂想癥最終發(fā)展到拒絕進食（因為懷疑食物里有毒），以致由于器官功能衰竭而死。
　　哥德爾還有過被誤認為是德國間諜的經(jīng)歷。一九四二年夏天，他到緬因州的濱海小鎮(zhèn)藍山（Blue Hill）度假。那時他正致力于選擇公理的獨立性的研究，為了不受干擾，他總在晚上去海灘邊散步邊思考。散步就散步，卻還要自言自語，而且還用德文。那時第二次世界大戰(zhàn)正打得如火如荼，德國潛艇曾經(jīng)在美國大西洋沿岸出沒過，哥德爾的長相恐怕也有點容易令人起疑。所有這些因素加在一起，讓當?shù)氐木用窈茈y不疑心他是前來接應(yīng)德國潛艇的間諜。當局不時接到舉報電話，好在他們并不糊涂，從未把哥德爾弄到警察局去。
　　作為邏輯學(xué)家，哥德爾一生認死理、愛鉆牛角尖，凡事都以邏輯推理為準，有時候讓人覺得他好像是個不食人間煙火的異類。他為數(shù)不多的朋友之一，對策論的奠基人、經(jīng)濟學(xué)家摩根斯坦（Oskar Morgenstern，1902—1977）講過一個很有趣的故事，頗能反映哥德爾的這一特點。一九四八年四月，哥德爾準備加入美國籍。入籍前必須通過一個例行的簡單考試。他花了極大的精力認真進行準備，尤其深入地鉆研了美國憲法。考試前不久，哥德爾十分興奮地跑來對摩根斯坦說：“我發(fā)現(xiàn)了一個使美國能在邏輯上合法轉(zhuǎn)化為獨裁政權(quán)的可能性?！蹦Ω固巩斎恢啦还芨绲聽柕恼撟C多么精辟，這項發(fā)現(xiàn)對入籍考試來說都是災(zāi)難性的。所以他特別叮囑哥德爾在考試時一定不要提這項新發(fā)現(xiàn)。考試那天，愛因斯坦和摩根斯坦兩人作為證人陪同哥德爾來到移民局。入籍考試通常只允許申請人一人進入移民官的辦公室?？赡苁浅鲇趯垡蛩固沟淖鹬?，移民官把他們?nèi)艘黄鹫埩诉M去。移民官開場說道：“到目前為止，你持有德國國籍……”哥德爾馬上糾正說是奧地利國籍。移民官接著說：“不管怎樣，它是在邪惡的獨裁統(tǒng)治之下……幸運的是，這在美國是不可能發(fā)生的。”這下可捅了馬蜂窩，哥德爾立刻高聲打斷道：“正相反，我知道這是可能發(fā)生的！”摩根斯坦等三人費了九牛二虎之力才總算阻止住他繼續(xù)深入闡述他的重要發(fā)現(xiàn)，讓考試回歸正軌。
　　愛因斯坦與哥德爾交情匪淺，兩人經(jīng)常一起從普林斯頓高等研究所散步回家。一路上他們會討論涵蓋范圍極廣的各種各樣的問題。哥德爾是為數(shù)不多的愿意挑戰(zhàn)愛因斯坦想法的人，比如他曾直言對統(tǒng)一場論抱持懷疑態(tài)度。晚年時，愛因斯坦有一次跟摩根斯坦說，他自己的工作對其本身已經(jīng)沒有多大意義，他之所以仍然每天去研究所，僅僅是為了“能獲得與哥德爾一起散步回家的特權(quán)”。哥德爾也把愛因斯坦視為知己。一九四九年，為慶祝愛因斯坦七十大壽，《在世哲學(xué)家文庫》準備出一本專輯《阿爾伯特·愛因斯坦：哲學(xué)家—科學(xué)家》。主編希歐普（P.A.Schilpp）邀請哥德爾也貢獻一篇文章。哥德爾突發(fā)奇想，決定要為專輯寫一篇關(guān)于廣義相對論的論文，于是重操物理舊業(yè)，開始認真研究廣義相對論。讓人不得不服氣的是，他還真發(fā)現(xiàn)了愛因斯坦場方程的一個不為人知的新解——這個解對應(yīng)于一個“沒有時間的世界”（有興趣的讀者可以去看Palle Yourgrau 的A World Without Time）。