摘 要： 對(duì)曲線的方程在參數(shù)方程形式、極坐標(biāo)方程形式、向量方程形式等不同形式下，證明了曲線弧長(zhǎng)公式的一致性，即都統(tǒng)一于公式s=?蘩|′（t）|dt.
　　關(guān)鍵詞： 曲線 弧長(zhǎng) 導(dǎo)數(shù)
　　
　　1.引言
　　在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，曲線的弧長(zhǎng)是很重要的一部分內(nèi)容，但對(duì)于曲線在不同的方程形式下，其弧長(zhǎng)的計(jì)算公式也有所不同，這些公式有沒(méi)有聯(lián)系呢？這就是本文要回答的問(wèn)題.
　　在參考文獻(xiàn)［1］、［2］中，得出了平面曲線弧由參數(shù)方程
　　x=φ（t）y=?準(zhǔn)（t） （α≤t≤β）（1.1）
　　給出時(shí)，曲線弧長(zhǎng)s的計(jì)算公式為
　　s=?蘩dt（1.2）
　　這里要求φ（t）、?準(zhǔn)（t）在［α，β］上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).
　　對(duì)于空間曲線，若其曲線弧由參數(shù)方程
　　x=x（t）y=y（t）z=z（t） （α≤t≤β）（1.3）
　　給出時(shí)，曲線弧長(zhǎng)s的計(jì)算公式為
　　s=?蘩dt（1.4）
　　這里也要求x（t）、y（t）、z（t）在［α，β］上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).
　　當(dāng)曲線弧由直角坐標(biāo)方程
　　y=f（x）（a≤x≤b）（1.5）
　　給出時(shí)，曲線弧長(zhǎng)s的計(jì)算公式為
　　s=?蘩dx（1.6）
　　這里要求f（x）在［a，b］上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).
　　當(dāng)曲線弧由極坐標(biāo)方程
　　ρ=ρ（θ）（α≤θ≤β）（1.7）
　　給出時(shí)，曲線弧長(zhǎng)s的計(jì)算公式為
　　s=?蘩dθ（1.8）
　　這里要求ρ（θ）在［α，β］上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì).
　　2.公式的統(tǒng)一性
　　定理：引言中的公式（1.2）、（1.4）、（1.6）、（1.8）統(tǒng)一于公式s=?蘩|′（t）|dt.
　　公式s=?蘩|′（t）|dt參見文獻(xiàn)［3］.證明：（1）證明公式（1.2）統(tǒng)一于公式s=?蘩|′（t）|dt
　　把曲線的參數(shù)方程改寫為向量方程形式(t)={φ（t），?準(zhǔn)（t）}（α≤t≤β）
　　則′（t）={φ′（t），?準(zhǔn)′（t）}，|′（t）|=
　　所以s=?蘩|′（t）|dt=?蘩dt
　　（2）證明公式（1.4）統(tǒng)一于公式s=?蘩|′（t）|dt
　　同樣把曲線的參數(shù)方程改寫為向量方程形式（t）={x（t），y（t），z（t）}（α≤t≤β）.
　　則′（t）={x′（t），y′（t），z′（t）}，|′（t）|=
　　所以s=?蘩|′（t）|dt=?蘩dt
　?。?）證明公式（1.6）統(tǒng)一于公式s=?蘩|′（t）|dt
　　把直角坐標(biāo)方程y=f（x）（a≤x≤b）改寫為（t）={t，f（t）}（a≤x≤b）
　　則′（t）={1，f′（t）}，|′（t）|=
　　所以s=?蘩|′（t）|dt=?蘩dt
　　這里只要把變量t看著（1.5）中的x即可.
　?。?）證明公式（1.8）統(tǒng)一于公式s=?蘩|′（t）|dt
　　把曲線的極坐標(biāo)方程改寫為向量方程
　?。╰）={ρ（t）cost，ρ（t）sint}（α≤t≤β）
　　則′（t）={ρ′（t）cost-ρ（t）sint，ρ′（t）sint+ρ（t）cost}
　　所以|′（t）|=
　　 =
　　這里只要把變量t看著（1.7）中的θ即可.
　　定理證畢.
　　另外我們還可以證明文獻(xiàn)［3］中的曲面曲線弧長(zhǎng)公式s=?蘩dt也統(tǒng)一于公式s=?蘩|′（t）|dt.
　　這里的E=?，F(xiàn)=?，G=?，即E，F(xiàn)，G是曲面的第一類基本量.
　　證明：對(duì)于曲面曲線= ［u（t），v（t）］，有=+，所以|′（t）|=?=（+）?（+）=?（）+2? +?（）=E（）+2F +G（）
　　所以s=?蘩|′（t）|dt=?蘩dt
　　證畢.
　　在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，可以把相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容同樣起來(lái)，比如在上面關(guān)于曲線弧長(zhǎng)公式的教學(xué)中，可以把不同類型的公式合在一起統(tǒng)一于一個(gè)公式，這樣既便于學(xué)生記憶也便于學(xué)生總結(jié)歸納，在教學(xué)中能收到良好的效果.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　?。?］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）［M］.第三版.北京：高等教育出版社，2009:247-250.
　?。?］梅向明等.微分幾何［M］.第四版.北京：高等教育出版社，2008:23-80.
　　
　　基金項(xiàng)目：宿州學(xué)院教研項(xiàng)目（szxyjyxm201021）