摘 要： 微分方程模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決各種問(wèn)題最成功最精彩的篇章，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，選擇微分方程模型作為范例教學(xué)具有極其重要的意義。本文列舉了兩個(gè)適合于教學(xué)的微分方程數(shù)學(xué)模型。
　　關(guān)鍵詞： 微分方程模型 范例教學(xué) 高等數(shù)學(xué)
　　
　　1.引言
　　微分方程是一類(lèi)應(yīng)用十分廣泛而且最常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型，其建模方法在數(shù)學(xué)模型課程的教學(xué)中占有極其重要的地位.具體體現(xiàn)在三個(gè)方面：是機(jī)理分析建模方法的最佳體現(xiàn)；是微積分應(yīng)用的最好范例；是物理定律最精確的定量描述.
　　微分方程模型作為連接物質(zhì)科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)與數(shù)學(xué)科學(xué)的主要橋梁，作為一類(lèi)描述物體運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不僅擁有用數(shù)學(xué)方法研究實(shí)際問(wèn)題的悠久歷史，而且在如今的社會(huì)實(shí)踐中繼續(xù)保持著進(jìn)一步發(fā)展的活力，所以無(wú)論數(shù)學(xué)模型教材的版本如何改編、內(nèi)容如何選取、講授者如何增刪，其作為一類(lèi)重要的應(yīng)用廣泛的基本模型在數(shù)學(xué)模型課程或者數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中都是不可或缺的，是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決各種問(wèn)題最成功最精彩的篇章，選擇微分方程模型作為范例教學(xué)具有極其重要的意義.
　　2.適合于教學(xué)的微分方程數(shù)學(xué)模型
　　問(wèn)題1：她在古墓中躺了多久？長(zhǎng)沙馬王堆一號(hào)墓于1972年8月出土，當(dāng)一號(hào)墓被打開(kāi)，一位形體完整，全身潤(rùn)澤的女尸，以其不老容顏出現(xiàn)在人們的面前時(shí)，一切焦點(diǎn)都集中到了她的身上，她是誰(shuí)？她在古墓中到底躺了多少年？
　　解：我們利用墓中發(fā)現(xiàn)的用于防潮防腐的木炭確定馬王堆一號(hào)墓的年代.
　　設(shè)N（t）表示時(shí)刻的原子數(shù)，則表示單位時(shí)間內(nèi)原子的蛻變數(shù)，并且它與N成正比，即=-λN（λ為衰變常熟），λ為一正常數(shù)，自然λ越大，物質(zhì)蛻變得越快，設(shè)N（0）=N，解微分方程，得N=Ne.
　　已知開(kāi)墓時(shí)測(cè)得木炭中碳-14的平均原子蛻變數(shù)N′（t）=29.78次/min，新木炭的平均原子蛻變數(shù)N′（0）=38.37次/min，C的半衰期T=5568年.由上式，樣品C目前的蛻變率N′（t）∶N′（t）=-λNe，而原來(lái)的蛻變率是N′（0）=-λN，因此=e（λ=），從而t=ln=ln，將數(shù)據(jù)代入上式，得
　　t=ln=2036年.
　　這樣就估計(jì)出馬王堆一號(hào)墓的大致年代是2000年前（西漢末年）.
　　問(wèn)題2：他是嫌疑犯嗎？受害者的尸體于晚上7：30被發(fā)現(xiàn)。法醫(yī)于晚上8：20趕到兇案現(xiàn)場(chǎng)，測(cè)得尸體溫度為32.6度；一小時(shí)后，當(dāng)尸體即將被抬走時(shí)，測(cè)得尸體溫度為31.4度.室溫在幾小時(shí)內(nèi)始終保持在21.1度.此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱(chēng)自己是無(wú)罪的，并有證人說(shuō)：“下午張某一直在辦公室上班，5：00時(shí)打了一個(gè)電話，打完電話后就離開(kāi)了辦公室.”從張某的辦公室到受害者家（兇案現(xiàn)場(chǎng)）步行需5分鐘.現(xiàn)在的問(wèn)題是：張某不再兇案現(xiàn)場(chǎng)的證言能否使他被排除在嫌疑犯之外？
　　解：設(shè)T（t）表示t時(shí)刻尸體的溫度，并記晚8：20為t=0，則
　　T（0）=32.6℃，T（1）=31.4℃
　　假設(shè)受害者死亡時(shí)體溫是正常的，即T=37℃.要確定受害者死亡時(shí)間（兇犯的作案時(shí)間），也就是求T（t）=37℃的時(shí)刻t.
　　假設(shè)尸體溫度的變化率服從牛頓冷卻定律，即尸體溫度的變化率正比于尸體溫度與室溫的差，即
　　=-k（T-21.1）（1）
　　其中方程右端的負(fù)號(hào)是因?yàn)楫?dāng)T-21.1＞0時(shí)，要T降低，故＜0；反之，當(dāng)T-21.1＜0時(shí)，T要升高，故＞0.
　　方程（1）是一個(gè)可分離變量的微分方程.求解該微分方程，易得
　　T=21.1+11.5e
　　當(dāng)T（t）=37℃時(shí)，有21.1+11.5e，得
　　e=≈1.38，于是t≈≈-2.95
　　由于2.95小時(shí)≈2小時(shí)57分，因此t=8：20-2小時(shí)57分=5：23，即作案時(shí)間大約在下午5:23.因此張某不能被排除在嫌疑犯之外.
　　3.結(jié)語(yǔ)
　　把真實(shí)的現(xiàn)實(shí)生活事例作為高等數(shù)學(xué)的教學(xué)案例，可以大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，把高等數(shù)學(xué)這門(mén)枯燥乏味、了無(wú)生趣的課程變成了生動(dòng)活潑的寓教于樂(lè)、樂(lè)有所學(xué)的一門(mén)課程.這就是范例教學(xué)的魅力，它改變著我們的課堂教學(xué)，改變著與之相關(guān)的各方參與者，而微分方程模型在范例教學(xué)中起到了不可替代的作用.
　　
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