方鐘波，茹海霞

（中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100）

圓環(huán)區(qū)域上帶梯度項(xiàng)的橢圓型方程徑向大解的爆破速率＊

方鐘波，茹海霞

（中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100）

本文研究在圓環(huán)區(qū)域上帶梯度項(xiàng)和完全非線性項(xiàng)的半線性橢圓型方程邊值問(wèn)題徑向大解的爆破速率。在證明一些重要極限的基礎(chǔ)上，與常微分方程分析法相結(jié)合得到了當(dāng)完全非線性項(xiàng)滿足Keller－Osserman條件，梯度項(xiàng)的指數(shù)范圍分別在0～1和大于2時(shí)徑向大解的爆破速率及在加強(qiáng)的條件下大解邊界行為的第二次影響.

橢圓型方程；大解；爆破速率

0 引言

本文考慮圓環(huán)區(qū)域上具有梯度項(xiàng)和完全非線性項(xiàng)的半線性橢圓型方程

當(dāng)方程不帶梯度項(xiàng)時(shí)，早在1916年，L Bieberbach［1］在有界區(qū)域上研究了具有指數(shù)型非線性項(xiàng)的半線性橢圓型邊值問(wèn)題大解的存在唯一性和邊界行為。之后，有關(guān)代數(shù)型非線性項(xiàng)［2］的半線性橢圓型邊值問(wèn)題大解的研究得到了較快發(fā)展且已有豐碩的成果［3－7］。最近，Bandle等在考慮圓環(huán)區(qū)域中具有完全非線性項(xiàng)的半線性橢圓型邊值問(wèn)題時(shí)也得到了徑向大解的存在唯一性及其邊界爆破速率［8－10］。

當(dāng)方程帶梯度項(xiàng)時(shí)，有關(guān)指數(shù)型、代數(shù)型、完全非線性項(xiàng)的半線性橢圓型邊值問(wèn)題在適當(dāng)條件下大解的存在性結(jié)論較完善［11－13］。特別地，文獻(xiàn)［12］利用上下解的方法研究了當(dāng)f（u）為滿足Keller－Osserman條件的源項(xiàng)及梯度項(xiàng)的指數(shù)p滿足1＜p＜2時(shí)大解的存在性及漸近行為。據(jù)文獻(xiàn)所知，當(dāng)Ω為圓環(huán)區(qū)域且非線性梯度項(xiàng)的指數(shù)p滿足0＜p≤1或p＞2時(shí)，其邊值問(wèn)題徑向大解漸近行為的研究還未得到展開(kāi)。

本文主要研究在圓環(huán)區(qū)域中，當(dāng)f（u）滿足Keller－Osserman條件且非線性梯度項(xiàng)的指數(shù)范圍為0＜p≤1或p＞2時(shí)，方程（1）徑向大解的爆破速率以及0＜p≤1范圍內(nèi)邊界行為的第二次影響。具體結(jié)論如下：定理1 設(shè)0＜p≤1或p＞2且條件（f1），（f2）成立，則下面結(jié)論成立。

1）若v（r）是方程（1）在Ω＝｛x｜ρ＜｜x｜＜R｝內(nèi)的一個(gè)徑向解，且滿足那么有

2）若w（r）是方程（1）在Ω＝｛x｜ρ＜｜x｜＜R｝內(nèi)的一個(gè)徑向解，且滿足，那么有

記

則由定理1可知

如果定理1的條件再加強(qiáng)一些，并且當(dāng)非線性梯度項(xiàng)的指數(shù)范圍為0＜p≤1時(shí)，利用（4）～（6）的估計(jì)式即可得到邊界行為的第二次影響。

定理2 設(shè)v（r），w（r）是方程（1）在Ω內(nèi)的解（定義同定理1），f滿足（f1），（f2），（f3）那么當(dāng)0＜p≤1時(shí)，下面結(jié)論成立。

1）設(shè)δ＝R－r，記o（1）是δ→0時(shí)趨向于零的一個(gè)量，則存在常數(shù)c1，使得

2）設(shè)δ＝r－ρ，記o（1）是δ→0時(shí)趨向于0的一個(gè)量，若成立，則存在常數(shù)c2，c3，使得

注2 在定理2考慮邊界行為的第二次影響時(shí)，按照現(xiàn)有的方法，將無(wú)法得到當(dāng)p＞2時(shí)的上界估計(jì)值，故僅考慮了0＜p≤1的情形。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)先介紹2個(gè)引理及命題，在后面證明主要結(jié)論的過(guò)程中起到了關(guān)鍵的作用。

引理1 設(shè)f（t）滿足（f1），（f2），則當(dāng)0＜p≤1或p＞2時(shí)，有

證明 利用反證法。

假設(shè)

由（f2）知，ψ（t）存在，且。故存在1個(gè)遞增序列tk→∞（k→∞），使得當(dāng)β＝μ＋1時(shí)，F(xiàn)（tk）＝

另一方面，由（f1）可知，當(dāng)t＞t0時(shí)F″（t）＞0且F（t）是凸函數(shù)，則當(dāng)t∈［tk，tk＋1］時(shí)，

進(jìn)而得

及

由（9）、（10）、（11）式及ψ（t）存在可知，當(dāng)0＜p≤1或p＞2時(shí)，有

導(dǎo)致矛盾。

由（f1）條件知，對(duì)t＞t0，有

故利用引理1和（12）式，直接得到下面的引理。

引理2 若f滿足（f1），（f2），則當(dāng)0＜p≤1或p＞2時(shí)，有

命題1 若f滿足（f1），（f2），則當(dāng)0＜p≤1或p＞2時(shí)，有

證明 由引理1知

且當(dāng)t→∞時(shí)有

由于F（t0）＝0，故

考慮圓環(huán)區(qū)域Ω＝｛x｜ρ＜｜x｜＜R｝內(nèi)的徑向?qū)ΨQ(chēng)解。為了方便起見(jiàn)，記

則由命題1和洛必達(dá)法則易知

2 主要結(jié)論的證明

定理1的證明 若v（r）是方程（1）在Ω＝｛x｜ρ＜｜x｜＜R｝內(nèi)的一個(gè)徑向解，且滿足，則當(dāng)r∈（ρ，R）時(shí)，v（r）滿足方程

（16）式兩邊同時(shí)乘以v′，且在（r0，r）上積分可得

其中：

當(dāng)r充分接近R時(shí)，有v′（r）＞0。否則，由v（r）＝∞（r→R）知，在R的左鄰域［r1，R）內(nèi)存在一點(diǎn)r2∈［r1，R），滿足v′（r2）＝0且v″（r2）＜0，代入（16）式即可得到v″（r2）＝f（v（r2））＜0，與f（v（r））＞0矛盾。

易知，可取珘r充分接近R，使得v在（珘r，R）上單調(diào)遞增，且當(dāng)r0∈［珘r，R］時(shí)，有

其中：C為常數(shù)。從而可得：

其中：C1，C2為常數(shù)。

由（18）及命題1可知，v′在R的左鄰域內(nèi)單調(diào)遞增且有

其中當(dāng)r0→R時(shí)，可取ε1，ε2任意小。

結(jié)合（19）（20）及（17）式可得

因此，當(dāng)r0→R時(shí)，有

進(jìn)而有

結(jié)合（22）、（23）及（17）式可得

因此，由（15）式可知

當(dāng)r→R時(shí)，取極限即可得到（2）式。

類(lèi)似地，可以得到（3）式。

定理2的證明 先證明結(jié)論1）。

由（13）、（14）及F（t）在（t0，∞）中的單調(diào)性知，當(dāng)v（r）＞t0時(shí)，有

并且當(dāng)r0充分接近R時(shí)，v（r）在（r0，R）上單調(diào)遞增。故由（f3）及（24）式知

將這個(gè)不等式內(nèi)插入（6）式的第一部分，利用（4）式和（25）式可得，當(dāng)0＜p≤1時(shí)

下證右半部分。由（26）式可知

即

若（f4）成立，下證2）式成立。當(dāng)δ→0時(shí)，珘ω→0，珘α→0，故有

由（6）式的第二部分知

進(jìn)一步，由（f3），（5）和（24）可得

因此，當(dāng)0＜p≤1時(shí)，有

由（27），（28）和6）式的第二部分，即可得到（8）式。

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The Blow－up Rates of Large Radial Solutions for the Elliptic Equation with Gradient Term in Annular

FANG Zhong－Bo，RU Hai－Xia
（School of Mathematical Science，Ocean University of China，Qingdao 266100，China）

In this paper，the blow－up rates of large radial solutions for the semilinear elliptic equation with gradient term and fully nonlinear term in annular domain was investigated.On the basis of the proof of some important limits，using ordinary differential equation analysis method，we achieved the blow－up rates of large radial solutions when fully nonlinear term satisfies the Keller－Osserman conditions and the exponential of gradient term ranges from 0 to 1 or larger than 2.Moreover，we considered a secondary effect on the asymptotic behavior of solutions under the enhanced conditions.

elliptic equations；large solution；blow－up rate

O175

A

1672－5174（2012）09－115－04

國(guó)家留學(xué)回國(guó)人員科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目（910937020）資助

2011－05－29；

2011－09－01

方鐘波（1968－），男，副教授，碩導(dǎo)。E－mail：fangzb7777＠hotmail.com

AMS Subject Classification:35J25，35J65

責(zé)任編輯 陳呈超