王樹青，王典鶴，林裕裕，王巍巍，李 慧

（1.中國(guó)海洋大學(xué)山東省海洋工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島266100；2.海洋石油工程股份有限公司，天津300451）

一種模態(tài)參數(shù)識(shí)別的虛假模態(tài)剔除技術(shù)＊

王樹青1，王典鶴1，林裕裕1，王巍巍2，李 慧2

（1.中國(guó)海洋大學(xué)山東省海洋工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島266100；2.海洋石油工程股份有限公司，天津300451）

針對(duì)背景噪聲下結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果存在虛假模態(tài)的情況，分析虛假模態(tài)產(chǎn)生的原因，通過理論推導(dǎo)提出辨別虛假模態(tài)的判斷條件，根據(jù)判斷條件剔除識(shí)別模態(tài)參數(shù)中包含的虛假模態(tài)。以比例阻尼海洋平臺(tái)結(jié)構(gòu)數(shù)值模型為例，在模擬噪聲水平5%的工況下，獲得結(jié)構(gòu)脈沖響應(yīng)信號(hào)，對(duì)基于奇異值分解定階消噪后的信號(hào)用復(fù)指數(shù)法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，對(duì)識(shí)別的模態(tài)頻率和阻尼比進(jìn)行虛假模態(tài)剔除。結(jié)果表明：根據(jù)判斷條件可有效剔除所識(shí)別參數(shù)中的虛假模態(tài)。

模型定階；信號(hào)消噪；復(fù)指數(shù)法；模態(tài)參數(shù)識(shí)別；虛假模態(tài)

模態(tài)參數(shù)識(shí)別技術(shù)廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域，成為解決各類工程問題的重要手段。傳統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法建立在已知系統(tǒng)輸入激勵(lì)和輸出響應(yīng)的基礎(chǔ)上，可以根據(jù)輸入輸出信息利用實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析得到系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)。但工程實(shí)際中，激勵(lì)信號(hào)很難獲得，往往只能獲得含噪聲的響應(yīng)信號(hào)，因此基于輸出響應(yīng)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別技術(shù)受到重視。

近年來，基于輸出響應(yīng)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別技術(shù)已得到一定發(fā)展。受測(cè)量噪聲影響，識(shí)別結(jié)果通常包含虛假模態(tài)，如何辨識(shí)并剔除虛假模態(tài)成為參數(shù)識(shí)別過程的關(guān)鍵問題，直接影響了參數(shù)識(shí)別技術(shù)在工程實(shí)際中應(yīng)用的效果。目前虛假模態(tài)的剔除主要是從模型定階和信號(hào)消噪方面入手，傳統(tǒng)的模型定階方法有利用模態(tài)置信因子定階的方法、曲線擬合法、穩(wěn)定圖法等。Guid De Roeck［1］證明了模態(tài)置信因子有時(shí)會(huì)由于噪聲的影響而失效；曲線擬合法根據(jù)實(shí)測(cè)信號(hào)產(chǎn)生數(shù)值模型，進(jìn)而生成模擬信號(hào)，由于實(shí)測(cè)信號(hào)本身存在誤差導(dǎo)致這一方法的使用受到了限制；穩(wěn)定圖表示的是模態(tài)參數(shù)與模型階次的關(guān)系，理論上隨模型階次的增加，真實(shí)的模態(tài)參數(shù)會(huì)趨于穩(wěn)定而虛假模態(tài)卻不會(huì)，但實(shí)際上識(shí)別結(jié)果中真實(shí)模態(tài)參數(shù)也會(huì)存在不穩(wěn)定性，導(dǎo)致穩(wěn)定圖法有時(shí)也會(huì)失效。

近年來發(fā)展了一些基于奇異值分解的定階消噪技術(shù)，易偉建［2］等提出了根據(jù)殘差期望比進(jìn)行模型定階的方法；周幫友［3］等提出根據(jù)奇異值差值進(jìn)行模型定階的方法；針對(duì)密集模態(tài)模型，黃應(yīng)來［4］等提出加逆衰減指數(shù)窗與帶通濾波結(jié)合的密集模態(tài)分離方法。王樹青［5－6］等采用歸一化出現(xiàn)次數(shù)的方法來確定模型階次。對(duì)于較簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，通過前面的模型定階和信號(hào)消噪方法可以有效剔除虛假模態(tài)，得到較理想的模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果。但當(dāng)結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜，通常計(jì)算采用的模型階次高于真實(shí)的模型階次，考慮了噪聲模態(tài)的影響［7］，僅通過模型定階和信號(hào)消噪過程不能完全剔除虛假模態(tài)。本文提出對(duì)模態(tài)參數(shù)識(shí)別后進(jìn)行虛假模態(tài)剔除的方法，該方法以比例阻尼結(jié)構(gòu)為模型，基本思想是：比例阻尼模型中模態(tài)頻率與阻尼比之間滿足一定的比例關(guān)系，據(jù)此提出2個(gè)判別條件：條件一，各階模態(tài)頻率和阻尼比的乘積呈遞增趨勢(shì)；條件二，各階阻尼比與模態(tài)頻率的比值近似相同。通過此判別條件可以判斷所識(shí)別模態(tài)頻率和阻尼比的真假。

1 模型階次的確定和信號(hào)消噪

1.1 Hankel矩陣秩估計(jì)［8］

用｛hl｝，l＝1，…，s表示N自由度系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)序列，利用該序列構(gòu)建Hankel矩陣Hm×n

對(duì)矩陣進(jìn)行奇異值分解，有

式（2）中：矩陣U和V為正交矩陣；∑為對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素為降序排列的奇異值。理論上，信號(hào)不受噪聲影響時(shí)，超出矩陣秩的奇異值為0，若矩陣的秩為r，則有

對(duì)于受噪聲影響的實(shí)測(cè)信號(hào)，超出矩陣秩的奇異值并不等于0，但會(huì)趨于1個(gè)較小值ε，使式（4）成立，可據(jù)此確定模型的階次。

1.2 基于迭代平均的信號(hào)消噪技術(shù)［9］

對(duì)脈沖響應(yīng)信號(hào)的降噪處理屬于線性數(shù)學(xué)中的低秩逼近（Low rank approximation）范疇，即對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)序列逼近，以達(dá)到Frobenius范數(shù)優(yōu)化準(zhǔn)則。對(duì)給定的Hankel矩陣H，要得到滿足Frobenius范數(shù)優(yōu)化的低秩逼近矩陣，可采用截?cái)嗥娈愔捣纸夥?，但得到的結(jié)果矩陣不滿足Hankel矩陣的形式，為維持Hankel矩陣形式，可采用迭代平均的方法，概述如下：

（1）選定適當(dāng)?shù)闹萺，采用截?cái)嗥娈愔捣纸夥ǖ玫綄?duì)原Hankel矩陣H低秩逼近的矩陣。此時(shí)，不滿足Hankel矩陣的形式。

將步驟（1）和（2）交替迭代使用，直到滿足收斂標(biāo)準(zhǔn)。

1.3 模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法

模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法主要分兩類：頻域法和時(shí)域法。時(shí)域法僅利用輸出的響應(yīng)信號(hào)識(shí)別系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，因而受到專家學(xué)者的關(guān)注。發(fā)展相對(duì)成熟的時(shí)域識(shí)別方法有復(fù)指數(shù)法、特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法（ERA法）、隨機(jī)子空間法等。本文中采用單參考點(diǎn)復(fù)指數(shù)法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，詳細(xì)理論見參考文獻(xiàn)［10］。

2 虛假模態(tài)的剔除

虛假模態(tài)產(chǎn)生的原因主要有兩方面：一方面是由于計(jì)算過程中不合理的模型階次估計(jì)導(dǎo)致的；另一方面是由于實(shí)際應(yīng)用中輸入信號(hào)不滿足白噪聲的假定和／或輸出信號(hào)受到環(huán)境的干擾而導(dǎo)致的［11］?；贖ankel矩陣奇異值分解的模型定階消噪技術(shù)多數(shù)情況下可以實(shí)現(xiàn)合理的模型定階和信號(hào)消噪，但在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜或噪聲嚴(yán)重的情況下識(shí)別結(jié)果中仍可能包含虛假（或準(zhǔn)確度低）的模態(tài)。對(duì)于比例阻尼系統(tǒng)，通過下面的推導(dǎo)尋找系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)（模態(tài)頻率和阻尼比）之間的關(guān)系，并提出剔除虛假模態(tài)的判別條件，根據(jù)判別條件對(duì)識(shí)別結(jié)果進(jìn)行虛假模態(tài)剔除，從而獲得真實(shí)可信的模態(tài)參數(shù)。具體推導(dǎo)過程如下：

1個(gè)N自由度的動(dòng)力系統(tǒng)可以用1個(gè)二階線性微分方程表示：

其中：M、C和K∈RN×N分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；分別為位移、速度和加速度向量。系統(tǒng)的第k階特征值表示如下：

式中：ωk為系統(tǒng)第k階模態(tài)頻率；ζk為第k階模態(tài)阻尼比。

假定結(jié)構(gòu)滿足Rayleigh阻尼形式，即阻尼矩陣［C］＝α［M］＋β［K］，比例系數(shù)α、β可以用任意已知的兩階振型的阻尼比來確定，如式（7）：

對(duì)第k階模態(tài)，有

定義參數(shù)Ak，令

式中：α、β均為常數(shù)，且β＞0，對(duì)于固有頻率ωk，有

因此，Ak滿足下式條件

定義參數(shù)γk，令

比例系數(shù)α、β∈（0，1），當(dāng)模態(tài)頻率ωk較小時(shí)，＜α，γk大于1且接近1；隨著模態(tài)頻率值的增大＞α，此時(shí)可近似認(rèn)為

此時(shí)，有

令ηk＝ζk／ωk，可定義1個(gè)合理的系數(shù)區(qū)間（a，b），使

式（15）中系數(shù)區(qū)間（a，b）的選取可根據(jù)要求的識(shí)別精度而定，例如可取區(qū)間為（0.9，1.1），a，b的乘積約為1，如果要求精度較高，則需取1個(gè)范圍較小的系數(shù)區(qū)間，相反，擴(kuò)大區(qū)間范圍也就相應(yīng)降低了識(shí)別精度，因?yàn)檎`差較大的識(shí)別參數(shù)會(huì)被作為真實(shí)結(jié)果而輸出。由上述推導(dǎo)可以看出，條件一為模態(tài)頻率和阻尼比的乘積，為遞增關(guān)系；而條件為阻尼比與頻率的比，

其值對(duì)各階模態(tài)近似相等。利用這2個(gè)條件就可以判斷識(shí)別模態(tài)的虛假。同時(shí)，也應(yīng)指出系數(shù)區(qū)間（a，b）的選取依賴于技術(shù)人員的經(jīng)驗(yàn)。剔除虛假模態(tài)的流程如圖1。

圖1 剔除虛假模態(tài)流程圖Fig.1 Flowchart of false mode elimination

3 數(shù)值模擬

3.1 海洋平臺(tái)數(shù)值模型

本文采用海洋平臺(tái)結(jié)構(gòu)模型（見圖2）。平臺(tái)位于渤海海域，為四樁腿導(dǎo)管架結(jié)構(gòu)，就位水深為11.1 m。平臺(tái)甲板面積為21 m×16 m，甲板采用板、梁結(jié)構(gòu)，Y向設(shè)4根主梁，X向設(shè)4根主梁，主梁為H700工字鋼。導(dǎo)管架設(shè)3層水平橫撐，分別位于－11.1、－4.0和＋4.0 m處，在－11.1～－4.0 m處設(shè)豎向斜撐。工作點(diǎn)（17～20點(diǎn)）高程為6.6 m。導(dǎo)管架頂（高程EL＋5.0m）為13 m×8 m，導(dǎo)管架底（高程EL－12.6 m）為16.84 m×11.84 m，導(dǎo)管尺寸為Φ1 350 m×24 m，斜度為1／10，樁尺寸為Φ1 200 m×26 m，固結(jié)點(diǎn)（45～48）高程取為－21.8 m。水平外圍橫撐尺寸為Φ700 mm×22 mm，水平內(nèi)圍橫撐及斜撐尺寸均為Φ500 mm×18 mm。鋼材密度取7 850 kg／m3，彈性模量為2.1×1011Pa，泊松比0.3。結(jié)構(gòu)采用Rayleigh阻尼（C＝αM＋βK），考慮到斜向激勵(lì)，因此采用第1階和2階頻率來計(jì)算系數(shù)α、β，阻尼比取為0.02，從而得出α、β分別為0.038和0.002。結(jié)構(gòu)固有頻率（前6階）：2.199 7、2.393 2、2.614 0、4.079 7、4.366 6、5.480 4 Hz；阻尼比（前6階）：0.015 2、0.016 3、0.017 6、0.026 4、0.028 1、0.035 0。結(jié)構(gòu)第2階和第4階模態(tài)分別為Y向第1階和第2階模態(tài)，結(jié)果列于表1中。

圖2 Matlab建立平臺(tái)結(jié)構(gòu)數(shù)值模型Fig.2 Platform model produced by MATLAB

表1 平臺(tái)結(jié)構(gòu)Y向前2階模態(tài)頻率（Hz）和阻尼比Table 1 The first two modal frequencies（Hz）and damping ratios of platform in Y direction

利用Matlab編程建立平臺(tái)結(jié)構(gòu)數(shù)值模型，模擬產(chǎn)生單位脈沖激勵(lì)，同時(shí)作用在29和31結(jié)點(diǎn)Y方向上，獲得平臺(tái)結(jié)構(gòu)的脈沖響應(yīng)信號(hào)，分別取14、19、20、24結(jié)點(diǎn)的信號(hào)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。模擬白噪聲信號(hào)疊加到脈沖響應(yīng)序列中，噪聲水平通過一個(gè)百分比來定量描述，該百分比定義為白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差和精確信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差之比。算例中采樣頻率為200 Hz，信號(hào)長(zhǎng)度為1 024個(gè)點(diǎn)。

3.2 結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別及虛假模態(tài)剔除

分別獲得14、19、20、24結(jié)點(diǎn)Y向含5%噪聲的脈沖響應(yīng)信號(hào)。根據(jù)響應(yīng)信號(hào)分別構(gòu)建Hankel矩陣得到的奇異值歸一化曲線如圖3，按曲線趨于平穩(wěn)處確定模型階次，則各結(jié)點(diǎn)可確定的模型階次均為4階，可識(shí)別的模態(tài)階數(shù)均為2。為避免遺漏模態(tài)，并驗(yàn)證所提出方法的有效性，下面按2種情況確定模型階次：第一種情況將各點(diǎn)模型階次確定為6階，則識(shí)別結(jié)果中包含3階模態(tài)；第二種情況將各點(diǎn)模型階次確定為10階，則識(shí)別結(jié)果中包含5階模態(tài)。

圖3 14、19、20、24結(jié)點(diǎn)信號(hào)奇異值歸一化曲線Fig.3 Normalized singular value of node signal at 14，19，20 and 24

分別按2種定階結(jié)果進(jìn)行信號(hào)消噪，用復(fù)指數(shù)法參數(shù)識(shí)別得到模態(tài)頻率和阻尼比，按模態(tài)階數(shù)N＝3識(shí)別的結(jié)果見表2，按模態(tài)階數(shù)N＝5識(shí)別的結(jié)果見表3。

當(dāng)按模態(tài)階數(shù)N＝3進(jìn)行識(shí)別時(shí)，以14結(jié)點(diǎn)為例，對(duì)Y向響應(yīng)信號(hào)的識(shí)別結(jié)果進(jìn)行虛假模態(tài)剔除如下：ζ1＝0.016 6∈（0.01，0.1），第1階模態(tài)為真實(shí)模態(tài)，予以保留；，因?yàn)锳2＞A1，滿足條件一，（0.9，1.1）η1，不滿足條件二，所以第2階模態(tài)為虛假模態(tài)，予以剔除10－3，A3＞A1且η3＝0.94η1∈（0.91，1.1）η1，同時(shí)滿足條件一和條件二，第3階模態(tài)為真實(shí)模態(tài)，予以保留。

表2中斜體部分的模態(tài)參數(shù)均被作為虛假模態(tài)而剔除，與表1中結(jié)構(gòu)的真實(shí)模態(tài)頻率和阻尼比相比，可以看出剔除虛假模態(tài)后得到了準(zhǔn)確的結(jié)果。

表2 14、19、20、24結(jié)點(diǎn)信號(hào)模態(tài)頻率（Hz）和阻尼比的識(shí)別結(jié)果（N＝3）Table 2 Identification of modal frequencies（Hz）and damping ratios using response signal of nodes14，19，20 and 24（N＝3）

表3 14、19、20、24結(jié)點(diǎn)信號(hào)模態(tài)頻率（Hz）和阻尼比的識(shí)別結(jié)果（N＝5）Table 3 Identification of modal frequencies（Hz）and damping ratios using response signal of nodes14，19，20 and 24（N＝5）

當(dāng)按模態(tài)階數(shù)N＝5進(jìn)行識(shí)別時(shí)，以14結(jié)點(diǎn)為例，對(duì)Y向響應(yīng)信號(hào)的識(shí)別結(jié)果進(jìn)行虛假模態(tài)剔除如下：ζ1＝0.016 7∈（0.01，0.1），第1階模態(tài)為真實(shí)模態(tài)，予以保留；同時(shí)滿足條件一和條件二，第2階模態(tài)為真實(shí)模態(tài)，予以保留；不滿足條件二，第3階模態(tài)為虛假模態(tài)，予以剔除；，滿足條件一但不滿足條件二，第4階模態(tài)為虛假模態(tài)，予以剔除；不滿足條件一，第4階模態(tài)為虛假模態(tài)，予以剔除。

值得注意的是按N＝5進(jìn)行參數(shù)識(shí)別時(shí)，24結(jié)點(diǎn)信號(hào)識(shí)別的第2階模態(tài)參數(shù)值被作為虛假模態(tài)剔除，這是因?yàn)闂l件二選取的系數(shù)區(qū)間（0.9，1.1）范圍較小，對(duì)識(shí)別結(jié)果的精度要求較高，與其它3個(gè)結(jié)點(diǎn)的第2階識(shí)別結(jié)果相比，可明顯看出24結(jié)點(diǎn)的識(shí)別誤差較大，所以被作為虛假模態(tài)而剔除；對(duì)24結(jié)點(diǎn)識(shí)別的第3階模態(tài)是結(jié)構(gòu)的高階（第17階）模態(tài)，該階模態(tài)參數(shù)真實(shí)值為：頻率12.486 1Hz，阻尼比0.078 7。所以按模態(tài)階數(shù)N＝5識(shí)別，剔除虛假模態(tài)后同樣得到了準(zhǔn)確的結(jié)果。

4 結(jié)語

對(duì)復(fù)雜的比例阻尼海洋平臺(tái)結(jié)構(gòu)，根據(jù)結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率與阻尼比之間存在的關(guān)系推導(dǎo)出判別虛假模態(tài)的條件，利用復(fù)指數(shù)法對(duì)定階消噪后的脈沖響應(yīng)信號(hào)（噪聲水平5%）進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，然后根據(jù)判別條件對(duì)識(shí)別結(jié)果進(jìn)行虛假模態(tài)剔除，結(jié)果表明該方法可以有效剔除識(shí)別結(jié)果中包含的虛假模態(tài)參數(shù)值。文中僅對(duì)比例阻尼系統(tǒng)的單參考點(diǎn)復(fù)指數(shù)法模態(tài)參數(shù)識(shí)別進(jìn)行了分析，對(duì)采用其它方法識(shí)別的參數(shù)進(jìn)行虛假模態(tài)剔除效果還需進(jìn)一步驗(yàn)證。當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼形式發(fā)生改變時(shí)，模態(tài)參數(shù)之間的關(guān)系也隨之發(fā)生相應(yīng)改變，但仍可根據(jù)模態(tài)參數(shù)間存在一定關(guān)系的思想，推導(dǎo)出剔除虛假模態(tài)的判斷條件，用于定階消噪?yún)?shù)識(shí)別后的虛假模態(tài)剔除。

［1］ Guido De Roeck，Bart Peeters，Wei－Xin Ren.Benchmark study on system identification through ambient vibration measurements［C］.San Antonio：Proceedings of 18thIMAC，2000.

［2］ 易偉建，劉翔.動(dòng)力系統(tǒng)模型階次的確定［J］.振動(dòng)與沖擊，2008，27（11）：12－16.

［3］ 周幫友，胡紹全，杜強(qiáng).特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法中的模型定階方法研究［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2009，9（10）：2715－2722.

［4］ 黃應(yīng)來，董大偉，閆兵.密集模態(tài)分離及其參數(shù)識(shí)別方法研究［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2009，31（1）：8－13.

［5］ Wang Shuqing，Li Huajun，Takayama T.Modal identification of offshore platform using statistical method based on ERA［J］.China Ocean Engineering，2005，19（2）：175－184.

［6］ Wang Shuqing，Liu Fushun.New accuracy indicator to quantify the true and false modes for eigensystem realization algorithm［J］.Structural Engineering and Mechanics，2010，34（5）：625－634.

［7］ Allenmang R J，Brown D L.A unified matrix polynomial approach to modal identification［J］.Journal of Sound and Vibration，1998，211（3）：301－322.

［8］ Hu S L J，Bao Xingxian，Li Huajun.Model order determination and noise removal for modal parameter estimation［J］.Mechanical System and Signal Processing，2010，24（6）：1605－1620.

［9］ Tufts D，Shah A.Estimation of a signal waveform from noisy data using low－rank approximation to a data matrix［J］.IEEE Trans Signal Process，1993，41（4）：1716－1721.

［10］ 傅志方，華宏星.模態(tài)分析理論與應(yīng)用［M］.上海：上海交通大學(xué)出版社，2000.

［11］ 常軍，張啟偉，孫利民.隨機(jī)子空間產(chǎn)生虛假模態(tài)及模態(tài)遺漏的原因分析［J］.工程力學(xué)，2007，24（11）：57－62.

A Technique of False Mode Elimination in Modal Parameter Identification

WANG Shu－Qing1，WANG Dian－He1，LIN Yu－Yu1，WANG Wei－Wei2，LI Hui2
（1.The Key Laboratory of Ocean Engineering of Shandong Province，Ocean University of China，Qingdao 266100，China；2.Offshore Oil Engineering CO，Ltd，Tianjin 300451，China）

Under noisy background，structural modal parameter identification includes false modes.The causes of false mode in the identified modes were analyzed and two criteria of discriminating false modes from system modes were derived in this paper for eliminating the false modes.Numerical study was conducted of an offshore platform with Rayleigh damping system.First the structural impulse response signal was acquired and a level of 5%noise was added to the simulated signal.Then singular value decomposition was used for noise elimination and Least Square Complex Exponential method（LSCE）was taken to identify the modal parameters.Finally the two discrimination criteria were used for false modes elimination.The results show that the criteria are efficient in eliminating false modes.

mode order determination；signal de－noising；complex exponential method；modal parameter identification；false mode

P752

A

1672－5174（2012）09－097－05

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（50909088；51010009）；國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（2008AA092701）；教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃項(xiàng)目（NCET－10－0762）資助

2011－06－23；

2011－10－12

王樹青（1975－），男，教授。E－mail：shuqing＠ouc.edu.cn

責(zé)任編輯 陳呈超