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一類具有梯度項(xiàng)的超定邊值問題中解的對(duì)稱性*

2012-01-08 08:10:34方鐘波王安娜張臨杰
關(guān)鍵詞:超平面有界邊值問題

方鐘波,王安娜,張臨杰

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東青島266100)

一類具有梯度項(xiàng)的超定邊值問題中解的對(duì)稱性*

方鐘波,王安娜,張臨杰

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東青島266100)

利用經(jīng)典的平行平面移動(dòng)法研究一類具有梯度項(xiàng)的拉普拉斯方程超定問題中解的對(duì)稱性,得到此類超定邊值問題解和區(qū)域?qū)ΨQ的充分條件。結(jié)果發(fā)現(xiàn),解和區(qū)域的對(duì)稱性依賴于非齊次項(xiàng)關(guān)于空間變量的連續(xù)性、對(duì)稱性及關(guān)于梯度變量偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。

拉普拉斯方程;超定問題;對(duì)稱性

0 引言

本文考慮超定邊值問題

其中x=(x1,x′)∈Rn,x′=(x2,x3,…,xn),υ是Ω上的單位外法向量。這里Ω是Rn中C2邊界的有界區(qū)域,f是1個(gè)C1且滿足一定條件的函數(shù),c是1個(gè)可微函數(shù)。本文約定:xi(i=1,…,n)表示向量分量,x0表示Rn中的一點(diǎn),對(duì)于函數(shù)u而言,分別表示偏導(dǎo)數(shù)。

1971年J.Serrin在文獻(xiàn)[1]中描述直管道中的不可壓縮黏性流體運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象時(shí)研究了f≡1,c(x′)≡常數(shù)情形的超定邊值問題,他用平行平面移動(dòng)法揭示了管子為什么是圓形的問題。之后,又有許多學(xué)者用平行平面移動(dòng)法研究了只有1個(gè)臨界點(diǎn)的p-Laplace方程包含在內(nèi)的其它超定問題解的對(duì)稱性[2-3]。近年來在對(duì)稱性問題的研究上出現(xiàn)了一些新的方法,比如:Steiner對(duì)稱化、區(qū)域?qū)?shù)法、幾何法等[4-8]。但是對(duì)當(dāng)f包含梯度時(shí)超定邊值問題的研究甚少。本文將采用經(jīng)典的平行平面移動(dòng)法來研究帶梯度項(xiàng)的超定邊值問題解及區(qū)域的對(duì)稱性問題。和uij=

1 準(zhǔn)備工作及主要結(jié)論

首先介紹平行平面移動(dòng)法中常用的一些記號(hào)。令μ是1個(gè)實(shí)數(shù),Ω是Rn中具有C2光滑邊界的1個(gè)有界區(qū)域。在x1x′坐標(biāo)平面中取沿著垂直于x1方向的1個(gè)超平面記為μ}。對(duì)于充分大的正數(shù)μ,Tμ與Ω是不相交的。隨著μ的減小,Tμ開始與Ω相交,這時(shí)Tμ將從Ω上截下一個(gè)開集

記∑′μ為∑μ關(guān)于超平面Tμ的對(duì)稱區(qū)域。一開始∑′μ是包含在Ω中的,直到下列情況之一發(fā)生:(A1)∑′μ與Ω內(nèi)切于不在Tμ上的某點(diǎn)P。(A2)Tμ與Ω正交于某點(diǎn)Q。

當(dāng)超平面Tμ到達(dá)上述2種情況中的任意1種時(shí)就將Tμ記為Tλ,并稱∑λ為極大交集。顯然∑′λ包含在Ω中。

下面的2個(gè)引理不給出證明,直接在證明過程中應(yīng)用(參見文獻(xiàn)[1])。

引理1 設(shè)Ω是1個(gè)C2邊界的有界區(qū)域,T是1個(gè)包含Ω上Q點(diǎn)處的法線的超平面。Ω*是Ω位于T某一側(cè)的部分。假設(shè)ω是Ω*的閉包中的C2函數(shù),且滿足下列橢圓型不等式

其中系數(shù)都是一致有界的。假設(shè)矩陣aij是一致正定的,

這里ξ=(ξ1,…,ξn)是任意實(shí)向量,η=(η1,…,ηn)是T的單位法向量,d是到T的距離。

設(shè)在Ω*中ω≥0,在Q點(diǎn)ω=0,s是任意從Q點(diǎn)進(jìn)入Ω*的非切線方向。則除非ω≡0,否則就有,在Q點(diǎn)。

這里L(fēng)是一致橢圓型的,系數(shù)是有界的。引理2 在上述的假設(shè)及Lu≤0,u≥0下,

(1)若x0∈Ω,u(x0)=0,Ω在x0點(diǎn)滿足內(nèi)球條件,則有

其中向量υ=(υ1,…,υn)是Ω上x0處的單位外法向量。

(2)在Ω中u≥0。

下面給出1個(gè)重要的命題,它描述了解在邊界附近的性質(zhì)。

命題3 設(shè)Ω是Rn中C2的有界區(qū)域,f是C1的。設(shè)u∈C2(Ω)是

的解。若λ是定義了極大交集的實(shí)數(shù),則對(duì)每個(gè)x0∈或成立,即u在x0附近是x1的嚴(yán)格遞減函數(shù)。

利用引理1,引理2和命題3,可得超定邊值問題解及區(qū)域的對(duì)稱性結(jié)果。

定理4 設(shè)f是定義在Rn+1上的連續(xù)函數(shù),滿足如下條件:

(i)f關(guān)于x1對(duì)稱,并且當(dāng)x1>0時(shí)關(guān)于x1不增,

(ii)fui是連續(xù)的,x∈Ω。

(3)當(dāng)λ不為0時(shí),f在Ω中是不依賴于x1的。

2 主要結(jié)論的證明

本節(jié)利用平行平面移動(dòng)法給出命題3和定理4的證明。

首先給出命題3的證明。

證明 注意到在x0點(diǎn)υ1>0。由假設(shè),顯然在Ω∩,因此在Ω∩{x1>λ}上u1≤0。

首先,假設(shè)f(0,0)≥0,則有

由中值定理得

從而,利用上式并化簡(jiǎn)整理可得

其中bi和c是某有界函數(shù)。由引理2得

因?yàn)椋?)在坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)下是不變式,可以考慮坐標(biāo)原點(diǎn)在x0,x1軸沿著Ω上x0點(diǎn)處的外法線方向(此時(shí)υ=(1,0,…,0))。這樣就可以將Ω的邊界局部表示成

將(2)關(guān)于xi(i=2,…,n)求導(dǎo),得

將(3)關(guān)于xj(j=2,…,n)求導(dǎo),得

計(jì)算(4)在x0處的值,這時(shí)i=0,u1=0,得

下面給出定理4的證明。

證明 對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)α,λ≤α≤λ1,在∑α中定義函數(shù)v和w如下:

則v和w分別滿足

現(xiàn)在來證明對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)α(λ<α<λ1),

由命題3知(6)式對(duì)于任意1個(gè)與λ1充分接近的α都成立。

令β≡inf{λ≤α|(6)成立,α<λ1}。以下將證明β=λ。假設(shè)β>λ,對(duì)任意點(diǎn),有。這樣就得到。因此在∑β中w不恒為0。在∑β中w≥0,在Ω≡∑β上應(yīng)用引理2,得和

由引理2可以看到下列情形會(huì)有一種成立:

(B1)在∑λ的所有內(nèi)點(diǎn)上w>0;

(B2)在∑λ上w≡0。

現(xiàn)在假設(shè)在∑λ上w不恒等于0,即(B1)成立。在情況(A1)下,由引理2得,其中Pλ是P關(guān)于Tλ的對(duì)稱點(diǎn)。但這樣就產(chǎn)生了矛盾,因?yàn)?。在情況(A2)下,因?yàn)椴荒苤苯訉?duì)函數(shù)w應(yīng)用引理2,故作變換,其中k是1個(gè)待定的常數(shù)。

至此本文證明了(B1)是不可能的。顯然(B2)意味著u、Ω關(guān)于T都是對(duì)稱的。同時(shí)對(duì)任意的α≥λ,在∑α上w>0,u關(guān)于x1對(duì)稱地遞減。這就證明了結(jié)論(1)。

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[8] Ragous L.Symmetry theorems via the continuous steiner symmetrization[J].Electron J Differ Equations,2000,44:1-11.

The Symmetry of Solution for a Class of Overdetermined Boundary Value Problem Containing Gradient

FANG Zhong-Bo,WANG An-Na,ZHANG Lin-Jie
(School of Mathematical Science,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

The classical moving plane method is med to investigate the symmetry of solutions for a class of Laplacian overdetermined equation which contains the gradient.The sufficient condition for the symmetry of solutions and domain is obtained and it's found out that the symmetry of the solution and domain depends on the continuity symmetry of the non-h(huán)omogeneous term on the spatial variable and the continuity on the partial derivative to the gradient.

Laplace equation;overdetermined;symmetry

O175

A

1672-5174(2012)1-2-169-04

國(guó)家留學(xué)回國(guó)人員科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目(910937020);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金項(xiàng)目(201013043)資助

2010-12-10;

2011-04-27

方鐘波(1968-),男,副教授。E-mail:fangzb7777@hotmail.com

AMS Subject classifications:35N25;35J15

責(zé)任編輯 朱寶象

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