侯晉川，李麗君

（1.太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024；2.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，山西 太原 030006）

＊一類正線性映射的可分解性和最優(yōu)性

侯晉川1，2，李麗君1

（1.太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024；2.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，山西 太原 030006）

非完全正的正線性映射在判定復(fù)合系統(tǒng)量子態(tài)的糾纏性中起關(guān)鍵作用.文章研究一類非完全正的正線性映射的性質(zhì)，證明了此類正線性映射Φ是可分解的，不是2－正的，并給出了由此類正線性映射Φ生成的糾纏witnessesWΦ成為最優(yōu)的充分必要條件.

正映射；可分解性；最優(yōu)性

0 引言

在量子力學(xué)、量子計算和量子信息理論中，量子糾纏態(tài)一直被看做量子信息處理和通信中最基本的資源.因此，尋找檢測量子糾纏性的方法是該領(lǐng)域重要而具有挑戰(zhàn)性的基本問題.目前已經(jīng)找到一些檢測量子糾纏性的判據(jù)，例如正映射判據(jù)，糾纏witness判據(jù)，PPT判據(jù)，重排判據(jù)（參見［1－6］）等等.正線性映射和完全正線性映射在量子信息理論中發(fā)揮著重要的作用.一個量子態(tài)是否是糾纏態(tài)可以用非完全正的（簡單記作NCP）正線性映射來檢測，而量子信道都可以用保跡的完全正的線性映射來表示.

量子態(tài)可以表示為復(fù)Hilbert空間上跡為1的正算子（半正定矩陣）.設(shè)H，K是復(fù)Hilbert空間，復(fù)合系統(tǒng)H?K上的態(tài)ρ是糾纏的如果它不能表示為形如∑n i＝1p iρi?σi的態(tài)的（跡范數(shù)）極限，這里ρi，σi分別為H，K上的態(tài)，數(shù)p i＞0且∑ip i＝1.在眾多的糾纏判據(jù)當(dāng)中，正映射判據(jù)和糾纏witness判據(jù)［1，3－4］給出了量子態(tài)糾纏的充分必要條件.一個給定的量子態(tài)是糾纏的當(dāng)且僅當(dāng)至少存在一個NCP正線性映射（糾纏witness）能夠檢測它.因此探討NCP正線性映射和糾纏witness的性質(zhì)并盡可能多地掌握NCP正線性映射和糾纏witness的例子是很重要的.

注意，當(dāng)dimH?K＜∞時，由 Choi－Jamiolkowski同構(gòu)［7－8］，對于事先任意取定的一組基｛｜i〉｝，每一個NCP正線性映射Φ∶B（H）→B（K）對應(yīng)一個作用在H?K上的糾纏witnessWΦ＝（Φ（Eij）），其中E ij＝｜i〉〈j｜表示（i，j）元為1其它元為0的矩陣，我們稱這個矩陣為Choi－Jamiolkowski矩陣.此時我們說WΦ是NCP正映射Φ對應(yīng)的糾纏witness.反過來，對于一個糾纏witnessW來說，我們用ΦW來表示這個糾纏witness所對應(yīng)的正映射，因此，W＝WΦW（參見［4，9－11］）.

1 預(yù)備知識

下面介紹本文中用到的一些基本的知識.

設(shè)Φ∶B（H）→B（K）是線性映射.如果對于任意的A∈B（H），A是正的蘊(yùn)含Φ（A）也是正的，那么我們就稱Φ是正的；如果有Φn＝Φ?In是正的，那么我們就說Φ是n－正的；如果對任意的n＞0，Φn都是正的，那么我們就說Φ是完全正的.正映射判據(jù)斷言：如果ρ是H?K上的糾纏態(tài)，則存在NCP正映射Φ∶B（H）→B（K）使得（Φ?I K）ρ不是正算子.

糾纏witness（或者簡稱witness）W是作用在H?K（H，K是兩個可分的復(fù)Hilbert空間）上的自伴算子（也稱為Hermitian算子）并且滿足對所有的可分態(tài)σ有Tr（Wσ）≥0，并且至少存在一個糾纏態(tài)ρ使得Tr（Wρ）＜0（在這種情況下，我們就說W可以檢測ρ，或者說W是ρ的一個witness）［12］.而糾纏witness判據(jù)則說任何一個糾纏態(tài)都可以被某個特殊的witness檢測.

但是注意不存在這樣的NCP正映射和糾纏witness可以檢測所有糾纏態(tài).對于任意的兩個糾纏witnessesW1和W2，如果W1比W2檢測的糾纏態(tài)多，那么我們就說W1比W2更優(yōu).刻畫witness的一個特別重要的特性就是最優(yōu)性的概念.大致說來，最優(yōu)的witness就是能夠檢測最多的糾纏態(tài)的witness.也就是說，如果不存在其他的witness比W更優(yōu)，我們就說witnessW是最優(yōu)的.

如果一個糾纏witness可以表示成W＝P＋QΓ的形式，那么，就稱W是可分解的，其中P≥0，Q≥0，QΓ表示QT1和QT2中的任意一個，而QT1和QT2又分別表示Q根據(jù)子系統(tǒng)H和K的部分轉(zhuǎn)置.如果一個給定的witness不能寫成這種形式，我們就說這個糾纏witness是不可分解的.類似地，如果一個正映射Φ可以寫成一個完全正映射Φ1加上一個完全正映射Φ2和轉(zhuǎn)置T復(fù)合的形式，即Φ＝Φ1＋T?Φ2，那么我們就稱這個正映射是可分解的.WΦ是可分解的當(dāng)且僅當(dāng)Φ是可分解的.

命題1.1［13］W是最優(yōu)的糾纏witness當(dāng)且僅當(dāng)對當(dāng)任意的正算子Q，W－Q不再是糾纏witness.

命題1.2［13］如果集合PW＝｛｜ψ〉｜φ〉∈H?K∶〈ψ｜〈φ｜W｜ψ〉｜φ〉＝0｝能夠張成整個空間H?K，那么W就是最優(yōu)的（在這種情況下，我們就說W具有張性質(zhì)）.

注意命題1.2僅僅是個充分條件，已經(jīng)找到不具備張性質(zhì)的最優(yōu)的witness.例如，Choi映射φ∶M3→M3生成的糾纏witnessWφ是最優(yōu)的，其中φ的定義為

但是集合PWφ并不能張成整個空間C3?C3.

2 主要結(jié)果及證明

下面是本文的一些主要結(jié)果.

定理2.1 式（＊）中構(gòu)造的正線性映射Φ是可分解的.

證明 注意到

.由于｜x〉是任意的，這個等式不能總成立.所以，Φ不是2－正的.證畢.

下面考慮這類糾纏witness的最優(yōu)性問題.我們得到WΦ最優(yōu)的一個充分必要條件，即，

定理2.3 設(shè)Φ為式（＊）中的正線性映射.那么，糾纏witnessWΦ是最優(yōu)的當(dāng)且僅當(dāng)?i，f ii＝0且?i≠j，｜f ij｜＝1.

證明 必要性.我們只需證明以下兩個部分：（i）如果存在某個i使得f ii＞0，那么WΦ不是最優(yōu)的；（ii）如果對于任意的i，f ii＝0并且存在某對i，j使得｜f ij｜＜1，那么WΦ不是最優(yōu)的.我們分別給出它們的證明.首先，如果存在某個i使得f ii＞0，那么我們就有

這樣，我們就證明了D＝0.因此，當(dāng)n＝3時，W是最優(yōu)的.

我們在這里指出，文獻(xiàn)［14］中也得到定理2.3中的“充分性”部分.但我們這里用到的證明方法與文獻(xiàn)［14］中的方法是不一樣的.為了證明糾纏witnessWΦ是最優(yōu)的，文獻(xiàn)［14］應(yīng)用的是命題1.2，即張性質(zhì)，而我們用的是命題1.1.

［1］ Hou Jin－chuan.A Characterization of Positive Linear Maps and Criteria for Entangled Quantum States［J］.JPhysA：MathTheor，2010（43）：385201；ar Xiv［quant－ph］：1007.0560v1.

［2］ Hou Jin－chuan，Qi Xiao－fei.Constructing Entanglement Witnesses for Infinite－dimensional Systems［J］.PhysRevA，2010（81）：062351；ar Xiv：1005.5530v2.

［3］ Qi Xiao－fei，Hou Jin－chuan.Positive Finite Rank Elementary Operators and Characterizing Entanglement of States［J］.J PhysA：MathTheor，2011，44：215305.

［4］ Horodecki M，Horodecki P，Horodecki R.Separability of Mixed States：Necessary and Sufficient Conditions［J］.PhyLettA，1996，223：1－8.

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［13］ Lewensetein M，Kraus B，Cirac J I，etal.Optimization of Entanglement Witnesses［J］.PhysRevA，2000，62：052310.

［14］ Dariusz Chrus′cin′ski.Justyna Pytel Optimal Entanglement Witnesses from Generalized Reduction and Robertson Maps［J］.JPhysA：MathTheor，2011（44）：165304.

Decomposability and Optimality of a Class of Positive Maps

HOU Jin－chuan1，2，LI Li－jun1
（1.DepartmentofMathematics，TaiyuanUniversityofTechnology，Taiyuan030024，China；2.ResearchInstituteofMathematicsandAppliedMathematics，ShanxiUniversity，Taiyuan030006，China）

NCP positive linear maps play important rules in detecting entanglement of states in composite quantum systems.A kind of NCP positive maps are studied.It is shown that these positive linear mapsΦare decomposable and not 2－positive.A necessary and sufficient condition is given for the entanglement witnessesWΦarising from suchΦto be optimal.

positive map；decomposablity；optimality

O179；O413.1

A

0253－2395（2012）02－0181－07＊

2012－01－08；

2012－01－14

國家自然科學(xué)基金（11171249）

侯晉川（1954－），男，山西汾西人，理學(xué)博士，教授，研究領(lǐng)域?yàn)樗阕永碚摵退阕哟鷶?shù)、矩陣分析、線性系統(tǒng)、量子信息.E－mail：jinchuanhou＠yahoo.com.cn