及萬會，馬東娟

（銀川能源學院基礎部，寧夏 銀川750105）

熟知fibonacci序列的通項公式an＝，Pell序列通項公式2）n＋1－（1 －2）n＋1｝，這些封閉形公式簡捷賞心悅目，尋求函數封閉形和式是許多人研究的對象.文獻［1，2］中討論了二項式系數和的封閉形和式與級數計算，文獻 ［3］給出一類Lucas數與三角函數乘積的封閉形和式.文獻 ［4，5］得到含有三角函數的切貝雪夫多項式的封閉形和式與兩個三角函數積的和的封閉形和式.利用反正切函數公式arctan F（n）－arctan F（n＋1）＝arctan，選擇尋適當F（n），給出計反正切函數序列封閉形和式.再用微分法得到分式序列封閉形和式，最后給出一些反正切級數與分式級數閉形和恒等式.

命題1 設a，b，c，d為實數，則反正切序列封閉形和式為

故 （1）式成立.

在 （1）式依次令a＝0；b＝0；c＝0；d＝0；得到 （2），（3），（4），（5）式.

命題2 設a，b，c，d為實數，下列分式封閉形和式成立

證明 在 （1）式兩端分別依次對a，b，c，d微分并令A＝a2＋c2，B＝a2＋c2＋2ab＋2cd，C＝ab＋cd＋b2＋d2得到 （6），（7），（8），（9）式.

例1 在 （1）中令1）a＝1，b＝2，c＝3，d＝1；2）a＝1，b＝3，c＝3，d＝1；3）a＝2，b＝3，c＝1，d＝1；4）a＝1，b＝3，c＝2，d＝1.下列反正切序列閉形和式成立

在 （2），（3），（4），（5），中依次令，b＝c＝d＝1；a＝2，b＝c＝1；a＝1，c＝2，d＝1；得到封閉形和式

例2 在命題2中令a＝1，b＝2，c＝3，d＝1代入 （6），（7），（8），（9），得到下列分式序列封閉形和式

命題3 設a，b，c，d為實數，下列反正切級數和式成立

2）在 （10）式依次令a＝0；b＝0；c＝0；d＝0；得到 （11），（12），（13），（14）式

3）在 （10）式，令bc－ad＝x，ab＋cd＝y(tǒng)，a2＋c2＝1，則

命題4 設實數a，b，c，d，下列分式級數封閉形恒等式成立

依次得到 （16），（17），（18），（19）式.在 （15）式兩端分別依次對x和y微分得到 （20），（21）式

例3 在 （10）依次令1）a＝1，b＝2，c＝3，d＝1；2）a＝1，b＝4，c＝3，d＝2；在 （11），（12），（13），（14）依次令b＝2，c＝1，d＝2；a＝1，c＝1.d＝3；a＝1，b＝3.d＝3；a＝2，b＝1.c＝3；

反正切級數和式成立

例4 在 （16），（17），（18），（19）依次令a＝1，b＝1，c＝2，d＝0；a＝1，b＝1，c＝0，d＝2；a＝1，b＝0，c＝2，d＝1；a＝0，b＝1，c＝1，d＝2.得到分式級數和式

例5 在 （20）中令1）x＝1，y＝1，2）x＝2，y＝1；在 （21）中令3）x＝1，y＝1，4）x＝2，y＝1.則分式級數和為

［1］ Wheelon AD，On the summation of infinite series in closed for m ［J］.J Appl Phys，1954，25 （01）：113－118

［2］ Sofo A.Closed for m representation of binomial sums and series［J］.Le.Matematiche，1999，54 （01）：175－186

［3］ 及萬會，顧銀魯.一類Lucas數與三角函數乘積的封閉形和式 ［J］.重慶文理學院學報，2008，27（03）：16－18

［4］ 及萬會，郭明普.含有三角函數的切貝雪夫多項式的封閉性和式 ［J］.新鄉(xiāng)學院學報，2008，25（04）：10－12

［5］ 及萬會，李忠寧.兩個三角函數積的和的封閉形和式 ［J］.河北北方學院學報：自然科學版，2010，26（04）：8－10