閆峰

(徐州市第一中學(xué) 江蘇 徐州 221006)

1 問題的提出

為了降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，在人教版高中物理教材“萬有引力和航天”中采用的是理想化的圓形軌道，即“繞行天體圍繞中心天體做勻速圓周運動；中心天體對繞行天體的萬有引力提供了向心力”．這種理想模型在高中階段確實能夠解決很多問題，但是這種“前攝抑制”卻使學(xué)生在學(xué)習(xí)“宇宙航行”時普遍產(chǎn)生了以下困惑.

(1)從教材的推導(dǎo)來看，第一宇宙速度v1“應(yīng)該”是近地衛(wèi)星的繞行速度，但是在給出第二和第三宇宙速度v2和v3的概念時，教材又提到了“發(fā)射”的概念，那么三種宇宙速度究竟指的是什么速度？

(2)教材中的插圖(圖1)給出了宇宙速度與運行軌道的對應(yīng)關(guān)系，為什么會是這樣？

圖1

(3)如果宇宙速度確為發(fā)射速度的話，三種宇宙速度應(yīng)該如何推導(dǎo)？

(4)人造衛(wèi)星實際是如何發(fā)射的？

2 三種宇宙速度

大學(xué)教材中對三種宇宙速度的定義為：從地球表面上發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星所需要的最小速度叫第一宇宙速度；從地球表面發(fā)射物體使之脫離地球引力不再回來，或者繞著太陽運轉(zhuǎn)成為一個人造行星的最小速度叫第二宇宙速度；從地球表面發(fā)射物體使之能脫離太陽系，飛到其他星系上去的最小速度叫第三宇宙速度．可見，三種宇宙速度指的是“從地球表面發(fā)射物體，并使之滿足不同運動要求的最小發(fā)射速度”．大學(xué)教材對第二和第三宇宙速度的定義和高中教材相似，那么對于第一宇宙速度該如何理解呢？教材中的推導(dǎo)如下.

設(shè)地球的質(zhì)量為M，繞地球做勻速圓周運動的飛行器的質(zhì)量為m，飛行器的速度為v，它到地心的距離為r．飛行器運動所需的向心力是由萬有引力提供的,所以

由此解出

近地衛(wèi)星在距地面100～200 km的高度飛行，與地球半徑6 400 km相比，完全可以說是在“地面附近”飛行，可以用地球半徑R代替衛(wèi)星到地心的距離r．把數(shù)據(jù)代入上式后算出

這就是物體在地面附近繞地球做勻速圓周運動的速度，叫做第一宇宙速度．

正是上面的推導(dǎo)過程使學(xué)生誤以為第一宇宙速度“應(yīng)該”是近地衛(wèi)星的繞行速度．實際上，學(xué)生出現(xiàn)上述誤解的原因是沒有結(jié)合教材的上下文進行思考，片面地只注意了推導(dǎo)過程而沒有注意教材中對牛頓思考過程的描述：“牛頓在思考萬有引力定律時就曾想過，把物體從高山上水平拋出，速度一次比一次大，落地點也就一次比一次遠．如果速度足夠大，物體就不再落回地面，它將繞地球運動，成為人造地球衛(wèi)星(圖2)”．如果在教學(xué)過程中強調(diào)這段話的物理意義，那么問題就變得相對簡單.在山頂水平拋出物體，物體剛好繞地運動，那么拋出時的速度與物體在軌道上運行的速度當(dāng)然就是相等的，求出軌道上的速度就可以知道拋出時的速度v1(當(dāng)然這只是教學(xué)中的設(shè)計)；同時還為 “第一宇宙速度不但是最小的發(fā)射速度，還是最大的繞行速度” 的理解打下伏筆．

圖2

3 軌道的形狀

如圖3所示，選中心天體的球心為極點O建立極坐標(biāo)系，只考慮中心天體M和繞行天體m的相互作用，無窮遠處勢能為零，并設(shè)m相對O點的位矢大小為r，m的速度為v(在垂直位矢方向的分量為vθ，在平行位矢方向的分量為vr)，系統(tǒng)的總能量為E，m對O點的動量矩為j．

由機械能守恒

由動量矩守恒

mrvθ=j(j為常量)

其中

由上面三式消去vr和vθ，得

可知

(1)若E<0，則e<1 軌道為橢圓(其中e=0時，軌道為圓).

(2)若E=0，則e=1 軌道為拋物線.

(3)若E>0，則e>1 軌道為雙曲線.

4 三種宇宙速度的近似推導(dǎo)

推導(dǎo)前兩種宇宙速度時選地球為參考系，只考慮地球與發(fā)射物體之間的相互作用，無窮遠處勢能為零，并設(shè)地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，地面發(fā)射物的質(zhì)量為m，發(fā)射速度為v，系統(tǒng)的總能量為E．

4.1 第一宇宙速度

對于橢圓軌道有

其中a為橢圓軌道的半長軸，由機械能守恒

得

4.2 第二宇宙速度

由機械能守恒

得

因為此時的E=0，所以此時的軌道應(yīng)該是拋物線，這也解釋了教材中為何將v2對應(yīng)的軌道區(qū)別于橢圓的原因．

4.3 第三宇宙速度

得

由于地球繞太陽公轉(zhuǎn)的速度約為30 km/s，因此，如果發(fā)射時的速度方向和地球在公轉(zhuǎn)軌道上運行的速度方向一致，那么只要相對于地球的速度為v相=42-30 km/s=12 km/s即可．

(2)考慮從地球表面發(fā)射的物體同時還要克服地球的引力，則v3近似可由下式計算

得

5 人造衛(wèi)星的發(fā)射

發(fā)射人造地球衛(wèi)星的運載火箭一般為三級，其發(fā)射后的飛行過程大致分為3個階段：垂直起飛、轉(zhuǎn)彎飛行和進入軌道．發(fā)射衛(wèi)星時首先將火箭垂直向上發(fā)射，待火箭穿出稠密的大氣層后第一級火箭脫離；然后第二級火箭點火加速(方向不變)直至脫離，火箭繼續(xù)升高，在地面控制站的操縱下火箭逐漸轉(zhuǎn)彎至飛行方向與地面平行；當(dāng)火箭到達與預(yù)定軌道相切的位置時，第三級火箭點火，火箭繼續(xù)加速到衛(wèi)星在預(yù)定軌道上運行所需的速度而進入軌道，隨即火箭與衛(wèi)星脫離．同步衛(wèi)星的發(fā)射大概也是分為三個階段：首先衛(wèi)星在前兩級火箭的推動下進入一個高度較低的圓形軌道作短暫停泊(停泊軌道)；然后衛(wèi)星在第三級火箭的推動下進入一個橢圓形的軌道(轉(zhuǎn)移軌道)；最后衛(wèi)星進入同步軌道(圖4)．

圖4

6 對教材改編的建議

由于“宇宙航行”中有太多在高中階段無法準(zhǔn)確解釋的內(nèi)容，所以在實際教學(xué)過程中，本小節(jié)給學(xué)生留下了太多的疑問，使學(xué)生陷入了“實際情況”與“理想模型”的爭辯，直接影響了教學(xué)效果．如何才能使教材更有效？筆者談?wù)勛约旱拇譁\看法.

(1)為了體現(xiàn)“情感態(tài)度和價值觀”“過程和方法”的新課程理念，不妨將本節(jié)的教學(xué)重點放到第一宇宙速度的研究過程上去，將牛頓思考、研究的主要過程加入教材中，牛頓早期利用“勾股定理”推導(dǎo)宇宙速度的方法和利用“拱形橋”推導(dǎo)的方法也可以放入教材正文中去．

(2)第二、第三宇宙速度的概念、大小以及教材的第二張插圖不妨放入教材正文后的“科學(xué)漫步”板塊中，同“黑洞”一起作為拓展材料，衛(wèi)星的實際發(fā)射過程也可以一同編入．

(3)從本節(jié)“宇宙速度”和“夢想成真”兩個板塊所涉及的內(nèi)容，以及本節(jié)與本章前面4個小節(jié)的聯(lián)系來看，小節(jié)的標(biāo)題“宇宙航行”改為“人造衛(wèi)星”似乎更為恰當(dāng)．

參考文獻

1 人民教育出版社物理室．全日制普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 物理·必修2．北京：人民教育出版社，2010

2 人民教育出版社物理室．全日制普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 物理·必修2教師教學(xué)用書．北京：人民教育出版社，2010

3 周衍柏．理論力學(xué)教程．北京：高等教育出版社，1986

4 趙凱華，羅蔚茵．新概念物理教程·力學(xué)．北京：高等教育出版社，2004