林敏

（北京科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京100083）

1 引言

合作行為在自然界和社會(huì)的各種系統(tǒng)中都普遍存在，如社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的產(chǎn)業(yè)聯(lián)盟、跨組織合作研發(fā)、知識(shí)共享等。學(xué)者們試圖找出合作行為涌現(xiàn)的原因。其中，演化囚徒困境博弈是研究合作行為的一個(gè)重要方法。Axelord和Hamilton以囚徒困境博弈為基礎(chǔ)建立模型，采取模型推理和計(jì)算機(jī)演算，研究了合作在一個(gè)利己群體中是如何開始并最終穩(wěn)定下來的［1-2］。有學(xué)者提出雪堆模型（snowdrift game），用以解決囚徒困境模型在估計(jì)報(bào)償系數(shù)方面的缺陷［3-4］。這兩種模型都可被看成是描述兩個(gè)個(gè)體之間相互作用的矩陣博弈（matrix game）。博弈個(gè)體的基本策略空間是（合作，背叛）。如果雙方合作，則兩者都會(huì)得到收益R；如果雙方都選擇背叛，則兩者都要受到懲罰P；如果一方合作、另一方背叛，則背叛者會(huì)得到收益T（也可將該參數(shù)理解為個(gè)體采取欺騙策略的誘惑），而被騙一方將會(huì)損失S。在囚徒困境模型中，這些報(bào)償參數(shù)滿足T＞R＞P＞S；而雪堆模型中，則T＞R＞S＞P。這些報(bào)償參數(shù)給那些希望獲得最大收益的個(gè)體提出了一個(gè)難以解決的困境：無論對方采取什么策略，個(gè)人采取欺騙策略都會(huì)獲得最高收益；但是，若兩個(gè)人都采取欺騙策略，則他們都將獲得較差收益。所以，在混合群體（well-mixed population）中，經(jīng)過博弈后最終都會(huì)涌現(xiàn)出相互欺騙的策略［5］；而在現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中，合作才是最普遍的選擇——這與現(xiàn)實(shí)情況恰好相反。為了解釋這一現(xiàn)象，學(xué)者們針對囚徒困境模型提出了許多改進(jìn)策略。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)引入諸如親緣選擇（kin selection）機(jī)制［6］、針鋒相對（tit-for-tat）機(jī)制［7］以及自愿參與（voluntary participation）機(jī)制［8-10］等機(jī)制時(shí)，系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)并保持合作行為。

Nowak和May提出的空間博弈（spatial game）［11-12］是保持系統(tǒng)內(nèi)合作行為的重要方法。研究發(fā)現(xiàn)，空間結(jié)構(gòu)在很大程度上可以加強(qiáng)系統(tǒng)的合作行為［13-16］。在結(jié)構(gòu)化的系統(tǒng)中，合作者會(huì)組成集團(tuán)（cluster），并且集團(tuán)內(nèi)部相互合作獲得的收益能夠抵抗與欺騙者博弈所導(dǎo)致的損失，由此可以維持合作行為的穩(wěn)定?；谶@種認(rèn)識(shí)，很多學(xué)者將研究視角轉(zhuǎn)向空間結(jié)構(gòu)對合作行為的影響上［17-21］。Santos和Pacheco基于具有無標(biāo)度（scale-free）性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)研究了演化博弈問題［22-25］。研究結(jié)果表明，具有異質(zhì)性的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以加強(qiáng)系統(tǒng)的合作行為，也即長期的合作策略可以抵抗短期的欺騙行為。

博弈模型反映的是社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中普遍存在的競合現(xiàn)象，如企業(yè)間的競爭與合作、產(chǎn)業(yè)聯(lián)盟、創(chuàng)新網(wǎng)絡(luò)、知識(shí)共享主體間的競合行為。然而，在已有的空間演化博弈研究中，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)通常是確定的，相互關(guān)聯(lián)的個(gè)體每輪都進(jìn)行博弈。這與現(xiàn)實(shí)情況有較大的出入。首先，資源的有限性使得主體的博弈對象是有選擇性的；其次，行為主體間的關(guān)系是動(dòng)態(tài)變化的，如創(chuàng)新網(wǎng)絡(luò)中的創(chuàng)新主體間的競合關(guān)系隨時(shí)可能終止、變更或建立。鑒于此，有學(xué)者引入淬火個(gè)體冷凍機(jī)制［26-27］。但是，該模型尚存在兩點(diǎn)不足：首先，被冷凍的個(gè)體被永久性地刪除了，即對于不同的冷凍概率，系統(tǒng)中個(gè)體的總數(shù)是變化的；其次，被冷凍個(gè)體在整個(gè)演化過程中保持不變。為了解決以上兩個(gè)問題，可以引入關(guān)系冷凍，所有個(gè)體都是活躍的，并且可以進(jìn)一步引入退火關(guān)系冷凍來描述真實(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)。基于以上考慮，本文引入淬火關(guān)系冷凍機(jī)制和退火關(guān)系冷凍機(jī)制，研究群體合作行為的演化。

2 模型

在本文的模型中，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N=10 000。網(wǎng)絡(luò)中的每條邊有兩種可能的狀態(tài)——活躍的或冷凍的。關(guān)系的冷凍機(jī)制如下：群體中的關(guān)系以概率q隨機(jī)設(shè)定為活躍的，而其他連邊被設(shè)定為冷凍的，因此可將q理解為系統(tǒng)中的活躍關(guān)系比率。這樣的無序既可以是淬火的，也可以是退火的。對于淬火關(guān)系冷凍，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)在整個(gè)演化過程中是確定的；而對于退火關(guān)系冷凍，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是隨時(shí)間變化的，也即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)在每一輪博弈前都發(fā)生重置。

每個(gè)個(gè)體采取如下兩種策略中的一種：合作（C）或不合作（D）。本文分別用一個(gè)二維的單位向量表示個(gè)體選擇合作或不合作的情況，即

每條邊有兩種可能的狀態(tài)——活躍的或冷凍的①當(dāng)個(gè)體間沒有關(guān)系的作用時(shí)，關(guān)系即處于非活躍的或冷凍的狀態(tài)。。個(gè)體通過當(dāng)前的活躍關(guān)系與其他個(gè)體進(jìn)行博弈。本文用lij表示個(gè)體i與個(gè)體j間關(guān)系的狀態(tài)，且關(guān)系為活躍狀態(tài)的概率為p、為冷凍狀態(tài)的概率為1-p，分別用1和0表示活躍狀態(tài)和冷凍狀態(tài)，即

其中，p∈［0，1］。在每一輪博弈中，每個(gè)個(gè)體通過活躍的關(guān)系與其他個(gè)體進(jìn)行博弈，并根據(jù)自己以及對手的策略獲得收益，。其中，v（i）表示節(jié)點(diǎn)i的鄰居個(gè)體的集合，A為收益矩陣，

在囚徒困境模型中，T=b、R=1、R=S=0；在雪堆模型中，T=1+r、R=1、S=1-r、P=0。在每一輪博弈結(jié)束后，個(gè)體將采納跟隨策略，即跟隨其鄰居中獲得最高收益的個(gè)體的策略.

本文利用合作密度（cooperator density）和持久性（persistence）2個(gè)參數(shù)研究群體的合作行為。

（1）合作密度

合作密度是刻畫系統(tǒng)中合作行為的最重要、最直觀的參量［1-2］，它表征了系統(tǒng)中合作者占整個(gè)系統(tǒng)的比率。我們用ρc（t）表示給定時(shí)刻系統(tǒng)的合作密度，

若第i個(gè)個(gè)體的策略為合作，那么中括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)為“+1”，相反為“-1”。因此，中括號(hào)內(nèi)的值對應(yīng)于兩種策略——“+2”和“0”。對每個(gè)個(gè)體求和后再除以系統(tǒng)尺度N及歸一化參數(shù)2，就可得到系統(tǒng)中合作個(gè)體的比率。

ρc=0意味著系統(tǒng)中充滿了不合作者；ρc=1表示系統(tǒng)中全是合作者。中間態(tài)為0＜ρc＜1，表示兩種策略在系統(tǒng)中共存。

（2）持久性

本文用持久性P（t）表示在時(shí)刻t前沒有改變策略的個(gè)體占整個(gè)系統(tǒng)的比例。

3 模擬結(jié)果和討論

本文通過數(shù)值模擬研究了引入淬火關(guān)系冷凍機(jī)制和退火關(guān)系冷凍機(jī)制對合作密度和持久性的影響。在淬火關(guān)系冷凍機(jī)制中，所有的模擬結(jié)果是在10 000個(gè)時(shí)間步后取5 000步平均而得到的，并且最終結(jié)果是對128次獨(dú)立的模擬取平均而得到的；在退火關(guān)系冷凍機(jī)制中，參數(shù)空間中每個(gè)點(diǎn)的平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)結(jié)果是在10 000個(gè)時(shí)間步后取10 000步平均而得到的，并且最終結(jié)果是對1 024次獨(dú)立的模擬取平均而得到的。在初始狀態(tài)中，設(shè)定網(wǎng)絡(luò)中50%的個(gè)體是合作的、50%的個(gè)體是不合作的，并且隨機(jī)分布在群體中。

圖1顯示了淬火關(guān)系冷凍機(jī)制情況下合作密度ρc隨活動(dòng)邊比率q變化的情況。我們可以看到，當(dāng)群體中的活躍關(guān)系較少時(shí)，不同報(bào)償值下的合作密度曲線是重合的。當(dāng)群體中的關(guān)系接近0時(shí)，幾乎所有的個(gè)體都是孤立存在于系統(tǒng)中，因此不存在博弈，個(gè)體始終保持策略不變，合作密度與初始狀態(tài)ρc=50%保持一致。當(dāng)活躍關(guān)系的數(shù)量增加時(shí)，系統(tǒng)中開始出現(xiàn)由幾個(gè)個(gè)體組成的小集團(tuán)（cluster）。在這些集團(tuán)中，無論報(bào)償參數(shù)取何值，不合作策略在系統(tǒng)中都占主導(dǎo)。因此，我們可以看到，圖1中合作密度曲線在開始階段單調(diào)遞減。當(dāng)活躍關(guān)系增加到一定數(shù)量后，系統(tǒng)中的合作行為將不再由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)決定，而取決于報(bào)償參數(shù)。因此，不同報(bào)償值下的合作密度曲線開始彼此分離：報(bào)償參數(shù)b的值越大，則越多的人采取不合作的策略；相反，報(bào)償參數(shù)b的值越小，則越多的人采取合作的策略。在1＜b＜1.33的區(qū)域內(nèi)，最佳合作行為出現(xiàn)在q=1；而在1.5＜b＜2區(qū)域內(nèi)，最佳合作行為出現(xiàn)在q=0。

圖2顯示了退火關(guān)系冷凍機(jī)制情況下合作密度ρc隨活動(dòng)邊比率q變化的情況。筆者發(fā)現(xiàn)，在退火關(guān)系冷凍機(jī)制下，退火無序中的合作圖像與淬火無序中的完全不一樣。當(dāng)系統(tǒng)中的活躍關(guān)系較少時(shí)，系統(tǒng)中的絕大多數(shù)集團(tuán)是由幾個(gè)個(gè)體組成的，在這種情況下，無論報(bào)償參數(shù)大小如何，不合作策略都占據(jù)主導(dǎo)地位。由于稀釋過程是退火的，因此這些由不合作者組成的集團(tuán)實(shí)際上可以在系統(tǒng)中移動(dòng)，并最終將所有由合作者組成的集團(tuán)吞并。而活動(dòng)邊比率大時(shí)的情況則相反，此時(shí)系統(tǒng)中將出現(xiàn)大集團(tuán)：若報(bào)償參數(shù)較小，則在大集團(tuán)內(nèi)合作者將占據(jù)主導(dǎo)地位，并且由于退火無序存在，因此那些由不合作者組成的小集團(tuán)逐漸被吞并，因此系統(tǒng)中的合作行為在小報(bào)償參數(shù)下被增強(qiáng)；若報(bào)償參數(shù)很大，則在大集團(tuán)內(nèi)依然是不合作者占主導(dǎo)，并且在退火無序的作用下系統(tǒng)最終演化為所有個(gè)體都是不合作者的狀態(tài)；若報(bào)償參數(shù)為中等，合作者和不合作者在大集團(tuán)內(nèi)共存。

圖2 退火關(guān)系冷凍機(jī)制下，群體中合作密度與活躍關(guān)系比率

我們通過研究發(fā)現(xiàn)：在淬火稀釋機(jī)制下，在1.33＜b＜1.5的區(qū)域中，當(dāng)活躍關(guān)系比率為某一特定的值時(shí)，合作密度ρc出現(xiàn)非常陡峭的下降，我們將這一特殊的活動(dòng)邊比率記為q＊。本研究中，q＊=0.94。當(dāng)q＜q＊時(shí)，由于系統(tǒng)中存在很多非活動(dòng)邊，集團(tuán)的邊界被限定，導(dǎo)致這些集團(tuán)被局域化；當(dāng)q＞q＊時(shí)，系統(tǒng)中形成邊界不受限制的大集團(tuán)。可見，轉(zhuǎn)變點(diǎn)q＊將系統(tǒng)分割成了局域的、穩(wěn)定的合作集團(tuán)和空間混沌態(tài)兩個(gè)狀態(tài)。

圖3 系統(tǒng)持久性ρ（t）

為了得到在轉(zhuǎn)變點(diǎn)處清晰的狀態(tài)，本文考察系統(tǒng)的持久性P（t），也即在t時(shí)刻前還沒有改變策略的個(gè)體的比重。圖3展示了不同活躍關(guān)系比率下的系統(tǒng)的持久性行為。我們從圖3可以看到：當(dāng)q＜q＊時(shí)，隨著時(shí)間的推移，持久性P（t）收斂到一個(gè)有限值，這表明系統(tǒng)中存在大量局域的、穩(wěn)定的合作集團(tuán)；當(dāng)活動(dòng)邊比率接近臨界值q＊時(shí)，系統(tǒng)的持久性逐漸接近0，這就意味著幾乎所有的個(gè)體都在改變自己的策略，系統(tǒng)呈現(xiàn)出空間混沌，這說明集團(tuán)的邊界不再受到限制，進(jìn)而大多數(shù)集團(tuán)退局域化；當(dāng)q接近臨界值時(shí)，系統(tǒng)持久性的轉(zhuǎn)變過程很明顯。

4 結(jié)語

本文利用數(shù)值模擬方法，研究了引入關(guān)系冷凍機(jī)制的情況下群體合作行為的演化。研究結(jié)果表明：在淬火關(guān)系冷凍的作用下，系統(tǒng)在臨界占有率q＊=0.94處發(fā)生局域-非局域的相變；當(dāng)活動(dòng)邊比率在臨界點(diǎn)之下時(shí)，關(guān)系冷凍導(dǎo)致的系統(tǒng)缺陷將合作者集團(tuán)的邊界固定；當(dāng)活動(dòng)邊比率高于臨界值時(shí)，這些集團(tuán)被退局域化；在退火關(guān)系冷凍機(jī)制下，系統(tǒng)中的合作行為與淬火關(guān)系冷凍的情況完全不同，并且不發(fā)生相變。我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)活躍關(guān)系比率較高時(shí)，系統(tǒng)中的合作行為在小報(bào)償參數(shù)的區(qū)域內(nèi)被極大地增強(qiáng)了。

本研究具有一定的現(xiàn)實(shí)含義。在社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活中，企業(yè)或個(gè)人面對自身所處的環(huán)境，為了自身利益最大化會(huì)作出自己的最優(yōu)決策。企業(yè)協(xié)作與競爭行為、組織中的知識(shí)共享或金融市場交易都是發(fā)生在網(wǎng)絡(luò)上的復(fù)雜博弈。社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中如何產(chǎn)生合作行為，并且如何指導(dǎo)并調(diào)節(jié)這樣的合作行為，研究這些具有重要的管理意義。例如，在知識(shí)管理研究體系中，知識(shí)共享是一個(gè)重要的研究內(nèi)容。貢獻(xiàn)知識(shí)的個(gè)體需要考慮知識(shí)共享的收益和成本，組織中的許多成員不愿意交流與共享知識(shí)是造成知識(shí)不能有效轉(zhuǎn)移的重要原因，這也是一個(gè)難以解決的困局。而本研究為研究社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中多個(gè)個(gè)體（企業(yè)、組織或個(gè)人）之間的復(fù)雜博弈提供了研究工具和思路。要影響社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的群體行為、調(diào)節(jié)競合行為，可以采取一定的辦法，如制定具體政策引導(dǎo)關(guān)系的形成，從而改變網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，最終達(dá)到管理目的。本文的研究結(jié)果對于理解并指導(dǎo)此類經(jīng)濟(jì)管理系統(tǒng)的合作性具有實(shí)踐意義。

［1］Axelrol R，Hamilton W D.The evolution of cooperation［J］.Science，1981，211（4489）：1390-1396.

［2］Axelrol R.The Evolution of Cooperation［M］.New York：Basic Books，1984.

［3］Sugden R.The Economics of Rights，Cooperation and Welfare［M］.Oxford，UK：Blackwell，1986.

［4］Wang W X，Ren J，Chen G R，et al.Memory-based snowdrift game on networks［J］.Physics Review E，2006，74：56-113.

［5］Hofbauer J，Sigmund K.Evolutionary Games and Population Dynamics［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1998.

［6］Hamilton W D.The genetical evolution of social behavior［J］.Journal of Theoretical Biology，1964，7（1）：1-16.

［7］Nowak M，Sigmand K.Tit for tat in heterogeneous populations［J］.Nature，1992，355（6357）：250.

［8］Hauert C，De monte S，Hofbauer J，et al.Volunteering as red queen mechanism for cooperation in public goods games［J］.Science，2002，296（5570）：1129-1132.

［9］Szabo G，Vukov J.Cooperation for volunteering and partially random partnerships［J］.Physics Review E，2004，69：036107.

［10］Szabo G，Hauert C.Evolutionary prisoner’s dilemma games with voluntary participation［J］.Physics Review E，2002，66：062903.

［11］Nowak M，May R M.Evolutionary games and spatial chaos［J］.Nature，1992，359（6398）：826.

［12］Nowak M，May R M.The spatial dilemmas of evolution［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1993，3（1）：35-78.

［13］Hubermann B A，Glance N S.Evolutionary games and computer simulations［J］.Proceedings of the national academy of sciences of the United States of America，1993，90（16）：7716-7718.

［14］Nowak M A，Bonhoeffer S，May R M.Spatial games and the maintenance of cooperation［J］.Proceedings of the national academy of sciences of the United States of America，1994，91（11）：4877-4881.

［15］Nowak M A，Bonhoeffer S，May R M.Robustness of cooperation［J］.Nature（London），1996，379（6561）：126.

［16］Hauert C，Monte S D，Hofbauer J，et al.Replicator dynamics for optional public good games［J］.Journal of Theoretical Biology，2002，218（2）：187-194.

［17］Doebeli M，Knowlton N.The evolution of interspecific mutualisms［J］.Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America，1998，95（15）：8676-8680.

［18］Yang H X，Wang W X，Wu Z X，et al.Diversity-optimized cooperation on complex networks［J］.Physics Review E，2009，79：056107.

［19］李南，田穎杰，朱陳平.基于小世界網(wǎng)絡(luò)的重復(fù)囚徒困境博弈［J］.管理工程學(xué)報(bào)，2005，2（19）：140-142.

［20］林敏，李南，田亮.基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與隨機(jī)動(dòng)態(tài)稀釋機(jī)制的演化博弈分析［J］.系統(tǒng)工程，2007，25（11）：102-105.

［21］Jiang L L，Zhao M，Yang H X，et al.Reducing the heterogeneity of payoffs：An effective way to promote cooperation in the prisoner’s dilemma game［J］.Physics Review E，2009，80：031144.

［22］Santos F C，Pacheco J M.Scale-free networks provide a unifying framework for the emergence of cooperation［J］.Physics Review Letters，2005，95（9）：098104.

［23］Santos F C，Pacheco J M，Lenaerts T.Evolutionary dynamics of social dilemmas in structured heterogeneous populations［J］.Proceedings of the national academy of sciences of the United States of America，2006，103（9）：3490-3494.

［24］Santos F C，Pacheco J M.A new route to the evolution of cooperation［J］.Journal of evolutionary biology，2006，19（3）：726-733.

［25］Santos F C，Rodrigues J F，Pacheco J M.Graph topology plays a determinant role in the evolution of cooperation［J］.Proceedings of the Royal Society B，2006，273（1582）：51-55.

［26］Vainstein M H，Arenzon J J.Disordered environments in spatial games［J］.Physics Review E，2001，64：051905.

［27］Vainstein M H，Silvab A T C，Arenzon J J.Does mobility decrease cooperation？［J］.Journal of Theoretical Biology，2007，244（4）：722-728.