趙文金

(揚州職業(yè)大學，江蘇揚州225009)

混沌現(xiàn)象是非線性確定性系統(tǒng)中的一種類似隨機的過程，把兩個十分相近的初值帶入同一個混沌系統(tǒng)進行迭代運算，經(jīng)過一定階段的運算后，數(shù)值序列變得毫不相關。它隸屬于確定性系統(tǒng)卻難于預測，隱含于復雜系統(tǒng)但又不可分解，看似“混亂無序”，實則頗有規(guī)律?；煦缧盘柕姆侵芷谛?、連續(xù)寬帶頻譜、類似噪聲的特性，使它具有天然的隱蔽性;對初始條件高度敏感，又使混沌信號具有長期不可預測性?；煦缧盘柕碾[蔽性、不可預測性、高復雜度和易于實現(xiàn)等特性都特別適用于保密通信。

在基于混沌序列的圖像置亂加密算法中，常用的混沌序列生成器有Logistic映射、Hybird映射、Chebyshev映射等。大量的研究證明，Logistic映射的真值混沌序列和二值序列均具有良好的初值敏感性和隨機性。在本文的加密算法中，使用了這種映射對圖像進行像素位置的置亂。

現(xiàn)實世界中，人的視覺系統(tǒng)產(chǎn)生的圖像多為彩色圖像，彩色圖像在各個領域已經(jīng)得到了廣泛的應用[1]，因此，彩色圖像加密具有更大的實用價值。近年來，彩色圖像加密引起了很多學者的關注[2－6]。王英[4]等人提出了基于Lorenz系統(tǒng)的彩色圖像空域置亂加密算法。Rhouma[5]等人提出了基于時空域混沌的彩色圖像加密算法，通過引入外部密鑰產(chǎn)生單向耦合映射格子的初始值和系統(tǒng)參數(shù)。Huang和Nien[6]提出了基于多個混沌系統(tǒng)的加密算法，通過索引置亂每個像素位的位置，從而實現(xiàn)像素值及其位置的同時改變。

在本文提出的新的加密算法中，首先將三維空間的彩色圖像ImmtxinN×N轉換成三個二維的灰度圖像ImmtxinRN×N、ImmtxinGN×N和ImmtxinBN×N[7]，然后利用Logistic混沌系統(tǒng)生成的混沌序列對此三個灰度圖像分別進行像素位置的置換;接著利用Lorenz混沌系統(tǒng)生成的混沌序列進行處理后得到的序列分別對置亂后的三個二維圖像再次進行加密并擴散;最后折疊加密后的灰度圖像即得加密后的彩色圖像。

1 彩色圖像加密算法

1.1 彩色圖像的預處理

設原始圖像為ImmtxinN×N，由于彩色圖像待處理數(shù)據(jù)量大，轉換成二維的灰度圖像后，可以降低算法的計算強度和空間需求，從而減少運行時間，加快加密速度，轉換算法如下:

1.2 利用Logistic混沌系統(tǒng)進行像素位置置亂

Logistic映射是一個典型非線性混沌方程，它雖然簡單卻體現(xiàn)出混沌運動的基本性質(zhì)。

Logistic映射如式(1):

其中b為控制參量，b值確定后，由任意初值x0∈[0，1]，可迭代出一個確定的時間序列X1，X2，…，Xn，對于不同的b值，系統(tǒng)(1)將呈現(xiàn)不同的特性，隨著參數(shù)b的增加，系統(tǒng)(1)不斷地經(jīng)歷倍周期分叉，最終達到混沌，當b=4時，由系統(tǒng)(1)產(chǎn)生的序列{Xn}運動形式具有典型的混沌特征。

數(shù)字圖像相鄰像素間有很強的相關性，為了擾亂像素間的高度相關性，先利用位置置亂方法改變圖像的像素位置。設三個二維灰度圖像像素值分別為ImmtxinR(i，j)、ImmtxinG(i，j)、ImmtxinB(i，j)，I=1，2，…，N;j=1，2，…，N。置亂過程如下:

步驟1:給定初始值b，x0，對Logistic映射迭代生成“置亂模板”，模板矩陣大小與圖像矩陣的大小保持一致;

步驟2:對每個混沌序列值乘10000，然后“模256”運算，得到Uint8的隨機整數(shù);

步驟3:按“置亂模板”對圖像像素進行置亂，將Immtxin中的像素值依次置亂到“置亂模板”每個元素指定的位置，生成置亂后的三個二維矩陣為ImmtxmidR(i，j)、ImmtxmidG(i，j)、ImmtxmidB(i，j)。

對圖像完成置亂設計后，破壞了原像素相鄰像素點的相關性，但是像素點的灰度值并沒有改變，即圖像直方圖并沒有發(fā)生變化，圖像的加密效果不太理想。因此需要對置亂后的圖像的像素灰度值進行改變，以提高圖像的加密效果。

1.3 利用Lorenz混沌系統(tǒng)進行像素灰度置亂

在一個圖像加密系統(tǒng)里采用擴散過程有兩個原因:一是可以彌補離散后的混沌映射變?yōu)橹芷谛袁F(xiàn)象這一不足;二是能夠改變原始圖像的統(tǒng)計屬性，使加密后圖像的直方圖一致分布，因此對于一個安全的圖像加密系統(tǒng)，擴散過程是必須的。為了實現(xiàn)這一擴散過程，這里使用Lorenz映射對每個像素采用一些異或操作，并用可逆算法實現(xiàn)擴散過程。

Lorenz混沌映射是一個已經(jīng)被廣泛研究的經(jīng)典的高維的混沌系統(tǒng)。由這個系統(tǒng)產(chǎn)生的加密序列有三個優(yōu)點:一是與低維混沌相比系統(tǒng)的結構更復雜，這樣的混沌序列更難預測;二是由三個變量產(chǎn)生的三個實值序列可以單獨使用也可以一起使用;另外，這個系統(tǒng)的三個控制參數(shù)和三個初始條件都可以用來作為密鑰。因此用Lorenz混沌映射設計圖像加密算法比用一維的混沌映射更有利。Lorenz混沌系統(tǒng)的動態(tài)方程如下:

其中，σ，γ和b是控制參數(shù)，當σ=10，γ=28和b=8/3時，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。如果σ，γ是常數(shù)，那么Lorenz混沌系統(tǒng)的周期是無限的。用Lorenz混沌對像素位置置亂后的圖像ImmtxmidR進行加密生成密文圖像ImmtxoutR的過程如下:

步驟1:輸入圖像ImmtxmidR;

步驟2:選擇適當?shù)膞1，y1，z1，作為Lorenzr的初始值，利用連續(xù)迭代Lorenz混沌系統(tǒng)(首先進行初始迭代，迭代次數(shù)大于某個正整數(shù))，得到三個混沌序列xi，yi，zi，i=1，2，…，舍棄前5000個值，取長度都為N×N，即x'，y'，z'作為加密序列。

為了增強序列的加密效果，對實數(shù)混沌序列進行預處理，生成X，Y，Z三個矩陣，然后利用其生成三個索引矩陣lx，ly，lz，再生成置亂矩陣Px，Py，Pz。具體改進過程為:(1)小數(shù)點后移，并去其整數(shù)部分，以增強序列取值的不規(guī)則性、改善其弱高頻特性;(2)去整時作四舍五入，對Lorenz混沌序列進行不可逆的演變;(3)統(tǒng)一值域，得到(0，1)均勻分布的混沌偽隨機序列。改進的數(shù)學模型為[8]:

步驟3:將置亂后圖像ImmtxmidR中各像素點的灰度值ImmtxmidR(i，j)與序列Px進行異或操作，得到加密后的像素灰度值ImmtxoutR(i，j)。

同樣的方法，對ImmtxmidG(i，j)、ImmtxmidB(j，j)分別與Py、Pz進行異或操作，得到ImmtxoutG(i，j)、ImmtxoutB(i，j)的灰度值;

步驟4:重復以上步驟，將所有像素點均進行加密，完成圖像像素值的替代操作;

步驟5:折疊加密后的灰度圖像即得加密后的彩色圖像。

解密過程是加密過程的逆過程，即只要利用相同的混沌系統(tǒng)生成相同的密鑰序列進行先展開替換后置亂折疊。

2 算法的仿真結果

選用大小256×256的彩色圖像lena.bmp作為源圖像。使用加密程序?qū)υ磮D像進行加密，生成目標圖像。仿真結果見圖1。

圖1 圖像加密仿真圖

3 仿真結果分析

3.1 灰度直方圖

圖2給出了明文Lena圖像R層及其對應的密文圖像像素分布的直方圖，G層和B層直方圖與R層類似。從圖2可見，盡管原始圖像的像素值分布極不均勻，但密文像素數(shù)在密文取值空間呈均勻分布。因此，加密圖像具有良好的統(tǒng)計分布特性，使算法具有抵抗差分攻擊的能力。

圖2 加密前后R－層圖像直方圖

3.2 密鑰空間

由于Logistic、Lorenz混沌映射的初值和參數(shù)均可作為加密系統(tǒng)的密鑰，若采用精確到小數(shù)點后15位的雙精度實數(shù)表示，那么密鑰空間超過1060≈2199，相當于199 bit長的密鑰空間，這遠遠大于128 bit密鑰長度，為一維混沌系統(tǒng)密鑰的1030倍。顯然，密鑰空間足夠阻止各種窮舉攻擊。

3.3 兩相鄰像素點的相關度

首先，從圖像中隨機選擇3000對相鄰像素點;然后利用以下公式計算:

其中，x，y表示圖像中兩相鄰像素點的灰度值，圖3表示原圖Lena和密圖垂直方向相鄰像素點的相關性分布，相關度分別為0.9506，0.0015，其余實驗結果如表1所示。從表中可以看出，原始明文圖像的相鄰像素是高度相關的，相關系數(shù)接近于1，而加密圖像的相鄰像素相關系數(shù)接近于0，相鄰像素基本不相關，明文的統(tǒng)計特性已被擴散到隨機的密文中。

圖3 原圖和密圖垂直方向相鄰像素點的相關性分布

表1 加密前后Lena圖像中兩相鄰像素點的相關度

3.4 抗攻擊性能

圖像在傳輸或進行其它處理的過程中，經(jīng)常會受到噪聲的干擾和一系列的攻擊，所以抗攻擊能力的強弱也是檢驗加解密算法優(yōu)劣的一個重要標準。

首先，對加密圖像分別添加密度為0.02的椒鹽噪聲、乘性噪聲和高斯噪聲干擾，然后檢測觀察其魯棒性。從加噪后恢復的圖像(圖4)可以看出，算法對噪聲干擾具有較好的魯棒性。

圖4(d)加密圖像被剪掉左上角約1/4部分數(shù)據(jù)后解密得到的圖像，可以清楚地看出，被剪切部分的影響被非常均勻地擴散到整幅圖像，所以本文的算法具備非常強的抗剪切攻擊的能力，同時也證明了此加密算法對圖像像素位置的置亂達到了充分混亂的效果。

圖4 密圖剪切攻擊后的解密圖

3.5 密鑰敏感性實驗

圖5(c)是a=10－16而混沌系統(tǒng)的其他所有初值均保持不變時的解密圖像。圖5(d)是密鑰正確時得到的解密圖像，可見混沌系統(tǒng)中任何一個初值即使存在很細微的差異也無法解密得到正確圖像，這是由混沌系統(tǒng)對初值的敏感依賴性所決定的。

4 結論

本文提出了一種新的基于Logistic與Lorenz相結合的混沌系統(tǒng)的彩色圖像加密算法，通過對加密前、后的直方圖比較可以發(fā)現(xiàn)改變很顯著，而且加密后的灰度分布均勻，說明本算法符合密碼的擴散和混亂特征;對加密后圖像相鄰像素的相關性進行檢測，進一步顯示出超混沌和擴散性。密鑰的微小差異就不能解密圖像，說明本加密算法對加密密鑰的高度的敏感性，同時本算法可有效地抵御差分等方式的攻擊。

該系統(tǒng)的圖像加密算法既對圖像的位置進行置亂，又對圖像的像素值進行擾亂。使用自定義的評價函數(shù)對新設計的加密算法的仿真結果進行了分析，得到的結果數(shù)據(jù)、圖表等表明算法的密鑰空間足夠大，對密鑰和明文非常敏感，具有非常強大的抗攻擊能力，大大提高了圖像加密的安全性，達到了算法的預期效果，從而具有實際應用意義。

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[6]HUANG C K，NIEN H H.Multi chaotic systems based pixel shufflefor image encryption[J].Optics Communications，2009，282(11):2123－2127.

[7]劉云，鄭永愛.基于混沌系統(tǒng)的彩色圖像加密新方案[J].計算機工程與應用，2011，47(3):90－93.

[8]王英，鄭德玲，鞠磊.Lorenz混沌序列的改進[J].數(shù)據(jù)采集與處理，2006，6(21):179－183.