路峻嶺，王長江，秦聯(lián)華

（清華大學(xué)物理系，北京100084）

1 引 言

金屬管（桿）彎曲振動實驗是一個有趣的演示實驗，所用器材僅為1根薄壁鋼管或鋁桿和1個橡膠錘.實驗者捏持住金屬管（桿）中距管端0.224倍管長處，用橡膠錘敲擊金屬管（桿）的端點(diǎn)或中點(diǎn)，就能聽到金屬管（桿）發(fā)出清晰的聲音.若捏持不變，手持橡膠錘敲擊金屬管（桿）上其他點(diǎn)，會聽到金屬管（桿）發(fā)出聲音的音調(diào)和音色都有變化.若改變捏持點(diǎn)，敲擊金屬管端點(diǎn)或中點(diǎn)，也聽到聲音的音調(diào)和音色都有明顯變化.若捏持0.224倍管長處敲擊中點(diǎn)或端點(diǎn)，仔細(xì)聆聽常常能聽到拍音.若調(diào)整捏持0.224倍管長處的點(diǎn)的位置，有時可以只聽到單一聲音而聽不到拍音.本文對實驗中的各現(xiàn)象給出了解釋，可以促進(jìn)學(xué)生對駐波產(chǎn)生條件的理解.

2 金屬管（桿）彎曲振動微分方程、邊界條件及其求解

彎曲形變中，金屬管（桿）內(nèi)有一個平面保持無伸縮，稱它為中面.設(shè)想金屬管（桿）由許多和中面平行的矩形平片疊加而成.若處于中面以上的平片被拉伸，則處于中面以下的平片被壓縮，反之亦然.如圖1所示設(shè)金屬管（桿）的軸向在x方向，彎曲方向在z方向.設(shè)元段ABCD形變?yōu)锳′B′C′D′，其端面受正應(yīng)力力矩作用，若端面傾斜角為φ，則該力矩，其中：IS為截面慣量矩，Y為楊氏模量.若是金屬桿，則；若是金屬管，則同時注意φ可用撓度w對x的導(dǎo)數(shù)來表示，考慮到元段端面切應(yīng)力力矩應(yīng)與正應(yīng)力力矩平衡，可得元段所受的凈力（沿z方向），再應(yīng)用牛頓定律[1－2]即可得金屬管（桿）彎曲振動的波動方程[3－5]

圖1 金屬管（桿）中的元段剖面圖

其中：ρ為密度，β為阻尼常量，A0為橫截面積.邊界x＝0和x＝L端為自由端，端面上正應(yīng)力力矩和切應(yīng)力均為零，撓度函數(shù)w（x，t）需滿足邊界條件方程[4]

令w（x，t）＝X（x）T（t），可解得Tω（t）＝，關(guān)于X（x）的方程即為

由邊界條件方程（2）知，欲其解不是零解，k必須滿足方程ch（kL）cos（kL）＝1，該方程有無窮多個分立解.若把它的第n個解表示為βnπ，結(jié)果是β1＝1.505 62，β2＝2.499 75，βn≈（n＋0.5）（n＞2）.相應(yīng)的k用kn表示，kn＝βnπ／L.由（3）式可得相應(yīng)振動模式的固有頻率為

對于金屬桿，（5）式可變?yōu)?/p>

對于金屬管，（5）式可變?yōu)?/p>

將kn代入邊界條件方程可得Bn／An，加上歸一化條件即可確定A0n，（3）式的基本解為

若令基頻X1（x）＝0，可得基頻駐波波節(jié)點(diǎn)x11＝0.224 157 52L，x12＝0.775 842 48L.

金屬管（桿）的任一自由振動均可表示為各模式基本解的線性疊加，即

基本解Xn（x）又稱振形函數(shù)，不同n的2個振形函數(shù)是相互正交[3].實驗者手捏金屬管（桿）和用錘敲擊.捏持點(diǎn)將是振動能量的耗散點(diǎn)，捏持點(diǎn)為波節(jié)點(diǎn)的模式的振動能量將耗散得最慢.敲擊點(diǎn)和敲擊力度共同影響金屬管（桿）的初始位移.因此捏持點(diǎn)和敲擊位置、敲擊力度及敲擊（碰撞）時間共同影響著實驗結(jié)果.設(shè)敲擊引起的初始位移為

以Xm（x）乘以上式并在區(qū)間（0，L）進(jìn)行積分，利用Xn（x）的正交歸一性，可得

可見，哪一個模式的振形函數(shù)與敲擊給出的初始位移覆蓋得越多，（7）式的積分值就越大，該模式的振動就越顯著.因此手持位置和敲擊初位移一同起到選擇振動模式的作用，改變手持位置和敲擊初位移可以單獨(dú)或共同改變所激發(fā)的模式，進(jìn)而引起聽到的聲音的音調(diào)和音色發(fā)生改變.

3 對敲擊金屬管（桿）時出現(xiàn)拍音的解釋

用手捏持距端點(diǎn)0.224L處且用橡膠錘敲擊金屬管（桿）的任一端點(diǎn)或中點(diǎn)，將使得基頻模式振動得最為強(qiáng)烈，且時常聽到拍音.

在推導(dǎo)元段端面正應(yīng)力力矩時引入了截面慣量矩IS，它在數(shù)值上等于面密度為1的截面薄片繞中線的轉(zhuǎn)動慣量.IS在式（5）式中也有所體現(xiàn)，說明剛體模型中的物理量影響著彎曲振動的結(jié)果.在實驗中，金屬管除沿長度方向的中軸作為1個主軸外，還有2個垂直于中軸的主軸，且這2個主軸相互正交.若金屬管的結(jié)構(gòu)是完全軸對稱，則繞此兩主軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量相同.但實驗中，繞此兩正交主軸的轉(zhuǎn)動慣量IS略有差別，使得2個偏振的基頻模式的固有頻率也略有差別，若對金屬管的捏持點(diǎn)的連線平行于它的一個主軸，則沿另一個主軸方向敲擊端點(diǎn)或中點(diǎn)將只激發(fā)在1個慣性主軸方向的彎曲振動，結(jié)果將只能聽到1個頻率的聲音，否則2個偏振的基頻模式都會被激發(fā)，這時就會聽到拍音.若實驗中聽到了拍音，微微改變捏持點(diǎn)和敲擊點(diǎn)的位置，再聽聽有無拍音，不斷進(jìn)行調(diào)整，就會發(fā)現(xiàn)在距端點(diǎn)0.224L的圓形截面圓周上存在兩兩互相成90°的4個點(diǎn)，相對捏持這樣的點(diǎn)進(jìn)行敲擊就會聽不到拍音而只有1種頻率的聲音了.

[1] 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程·力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1995：215－222.

[2] 張三慧.大學(xué)物理學(xué)·力學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，1999：65－75.

[3] 郭敦仁.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：人民教育出版社，1965：213－223，240－252.

[4] 王矜奉，姜祖桐，石瑞大.壓電振動[M].北京：科學(xué)出版社，1989：42－70.

[5] 路峻嶺.物理演示實驗教程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005：192－197.