姜洪奎，宋現(xiàn)春，李保民，唐文成，朱繼生，榮柏松

（1.山東建筑大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，濟(jì)南 250101；2.山東博特精工股份有限公司，山東 濟(jì)寧 272071）

滾珠絲杠副返向器的滾道型線是影響滾珠絲杠副性能的關(guān)鍵參數(shù)。滾珠在循環(huán)通過返向器過程中，其受力狀態(tài)在預(yù)緊狀態(tài)和自由狀態(tài)之間不斷發(fā)生突變。由于滾珠在整體滾珠絲杠副中起到動(dòng)力傳輸作用，所以滾珠在返向器內(nèi)的運(yùn)動(dòng)循環(huán)過程直接影響著整個(gè)滾珠絲杠副進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能。滾珠絲杠副返向器的型線不僅是影響滾珠絲杠副低頻噪聲的主要因素，也是影響滾珠絲杠副壽命的主要因素［1－3］。

目前廣泛應(yīng)用于高速滾珠絲杠副滾珠返向器類型為端塞式滾珠返向器，圍繞其結(jié)構(gòu)形式以及對(duì)滾珠絲杠副動(dòng)力學(xué)影響國內(nèi)外學(xué)者已做了大量的有益工作［4－6］：① 返向器的彈性聯(lián)接。通過改進(jìn)返向器與螺母之間的彈性聯(lián)接減少滾珠與返向器之間的沖擊達(dá)到降低噪聲的目的。② 滾珠與返向器的碰撞接觸仿真［7－8］。采用多體動(dòng)力學(xué)軟件ADAMS對(duì)單個(gè)滾珠與返向器之間的接觸進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真。然而，以上述工作存在兩方面的問題：① 對(duì)于滾珠與滾珠返向器之間的碰撞的研究對(duì)象，只限于單個(gè)滾珠，而事實(shí)上滾珠在返向器內(nèi)循環(huán)運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般排列成滾珠鏈的形式，因此所建立的模型不能全面反映滾珠在返向器內(nèi)的循環(huán)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。② 返向器滾道型線的設(shè)計(jì)方法。目前國內(nèi)返向器的設(shè)計(jì)一般采用蘇聯(lián)的標(biāo)準(zhǔn)和經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)，而隨著滾珠絲杠副進(jìn)給速度的提高，越來越需要新的設(shè)計(jì)方法和理論對(duì)返向器的滾道型線進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)。

本文在滾珠絲杠副運(yùn)行過程中滾珠與返向器內(nèi)碰撞接觸過程的分析基礎(chǔ)上，建立了滾珠與返向器之間的碰撞接觸模型，提出了一種滾珠返向器雙圓弧滾道型線和優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，提高了滾珠絲杠副的摩擦力矩的平穩(wěn)性和效率，為高速滾珠絲杠副的研發(fā)提供了理論依據(jù)和設(shè)計(jì)方法，促進(jìn)了我國裝備制造業(yè)的發(fā)展。

1 滾珠與滾道之間接觸碰撞分析

滾珠絲杠副在軸向載荷的作用下，中間元件滾珠分別與螺母、絲杠滾道面接觸，以傳遞載荷，并產(chǎn)生相應(yīng)的接觸變形。研究表明，在滾珠絲杠副平穩(wěn)運(yùn)行過程中，滾珠往往在返向器滾道和貫穿孔內(nèi)排列成首尾相連的滾珠鏈；滾珠與返向器之間的碰撞是引發(fā)滾珠絲杠副進(jìn)給系統(tǒng)產(chǎn)生低頻振動(dòng)和噪聲的主要機(jī)制。因此，優(yōu)化設(shè)計(jì)返向器滾道型線，需要分析滾道型線對(duì)滾珠與返向器之間的碰撞力和循環(huán)時(shí)產(chǎn)生的阻力的影響。

1.1 滾珠與返向器滾道之間的碰撞接觸模型

滾珠進(jìn)入返向器的過程可以等效為球與圓管內(nèi)表面之間的碰撞接觸模型。在滾珠絲杠副的裝配過程中，為了減少滾珠與返向器之間的碰撞，往往要在返向器和螺母之間安裝彈性連接件，因此滾珠與循環(huán)裝置之間的力學(xué)模型可以等效為如圖1所示的模型。圖1中R1為鋼球半徑，r1和r2分別為返向器圓形截面半徑和滾道型線軌跡的曲率半徑。

根據(jù)赫茲接觸理論，接觸力與接觸剛度之間的關(guān)系為：

其中：δ為法向變形量，kh為赫茲接觸剛度。

圖1 滾珠與返向器碰撞圖示和等效模型Fig.1 The contact between ball，returner and the equivalent model

赫茲接觸剛度kh可以由以下公式推導(dǎo)得出：

其中：E1，E2，μ1和μ2分別為鋼球和返向器兩種材料的彈性模量和泊松比。qk為A/B的比值［9］。

考慮到赫茲接觸力同時(shí)也反作用于鋼球，因此根據(jù)牛頓第二定律：

考慮到鋼球加速度、返向器以及碰撞接觸變形區(qū)域的相互關(guān)系，可以得出：

將等式（1）代入等式（5）可得：

其中，

一般情況下，返向器是通過鎖緊墊片與螺母之間相互鎖緊，所以兩者之間的連接剛度較大，因此可以認(rèn)為ky=∞。滾珠與返向器之間的碰撞過程中，當(dāng)滾珠速度等于零時(shí)，加速度達(dá)到最大，也就是返向器發(fā)生最大變形量的位置，因此：

將等式（8）代入公式（1），可以得出返向器發(fā)生最大變形δm2和同時(shí)產(chǎn)生的最大碰撞力Fm2。

由式（2）－式（4）和式（11）可得鋼球和返向器之間的碰撞力與滾道型線半徑的關(guān)系為，

1.2 滾珠鏈循環(huán)力學(xué)模型

根據(jù)文獻(xiàn)［2］，在滾珠絲杠副運(yùn)行過程中，由于滾珠進(jìn)入返向器時(shí)脫離了螺母滾道的預(yù)緊力作用，滾珠之間相互推擠，在返向器內(nèi)排列成首尾相連的滾珠鏈。因此滾珠絲杠副平穩(wěn)運(yùn)行時(shí)返向器內(nèi)滾珠之間的受力模型簡化為圖2所示。圖2中由于滾珠與滾道之間的幾何間隙以及阻力的存在，滾珠1、滾珠3的中心位于半徑為r2+e的型線圓上，而滾珠2位于半徑r2－e的型線圓上，其中r2為滾道型線半徑、e為滾珠半徑與滾道截面半徑之差。α1、α2、α3、α4分別為滾珠受到的作用力與滾珠中心軌跡水平方向的夾角，由幾何相對(duì)關(guān)系可以計(jì)算得出入射角；N1、N2、N3為返向器對(duì)滾珠的作用力，F(xiàn)N1、FN2、FN3、F'N1、F'N2、F'N3為滾珠之間的相互接觸力，F(xiàn)f1、Ff2、Ff3為滾珠與返向器之間的摩擦力。

假設(shè)滾珠絲杠副平穩(wěn)運(yùn)行過程中，滾珠之間的相對(duì)位置不變，且沿著滾道型線中心的角速度為ω，以返向器內(nèi)的滾珠為研究對(duì)象，分別建立各個(gè)滾珠的力學(xué)平衡方程。

圖2 滾珠鏈與返向器碰撞等效模型Fig.1 The contact between ball and returner and the equivalent model

由球1的受力平衡方程可得，

其中，

同理得滾珠2的力學(xué)平衡方程：

其中：

滾珠3的力學(xué)平衡方程：

其中：

為描述滾珠在返向滾道內(nèi)的傳動(dòng)效率，本文做如下定義：設(shè)滾珠鏈初始滾珠受到的有效驅(qū)動(dòng)力與有效阻力的比值為驅(qū)阻比η，則如圖2所示由球1、球2、球3組成的滾珠鏈的驅(qū)阻比為：

1.3 新型滾道型線

由公式（11）可知滾珠與返向器之間的碰撞力大小與滾道型線半徑成反比，同時(shí)由式（12）～式（18）可知，滾珠鏈驅(qū)動(dòng)效率與滾道型線相關(guān)。因此對(duì)于單圓弧滾道型線，要降低碰撞力的大小必須增大滾道型線的半徑。這樣必須加大返向器的尺寸，同時(shí)也增加了滾道長度和滾珠在返向滾道內(nèi)的個(gè)數(shù)。而滾珠數(shù)目的增多勢必會(huì)降低滾珠鏈的流動(dòng)效率，增大了滾珠鏈流動(dòng)阻力。為了解決這一矛盾，本文提出了雙圓弧滾道型線形式如圖3。

圖3 雙圓弧滾道型線示意圖Fig.3 The double arc profile of the passage in the ball returner

2 優(yōu)化方法與分析

2.1 目標(biāo)函數(shù)

優(yōu)化目的是通過調(diào)整滾珠返向器滾道型線的參數(shù)，改善滾珠在返向器內(nèi)的循環(huán)特性，降低整體滾珠絲杠副的振動(dòng)和噪聲，提高機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能，因此，選擇滾珠返向器流暢性的評(píng)價(jià)指標(biāo)——驅(qū)阻比和滾珠與返向器碰撞力作為目標(biāo)函數(shù)。由式（12）可知，滾道型線半徑越大，則滾珠與返向器之間的碰撞力越小，為了簡化計(jì)算設(shè)目標(biāo)函數(shù)如下：

2.2 設(shè)計(jì)變量

2.3 約束

循環(huán)鏈滾珠間隙過小將導(dǎo)致循環(huán)時(shí)滾珠因“擠死”發(fā)生卡滯現(xiàn)象，滾珠間隙過大將增大滾珠間的沖擊摩擦，使?jié)L珠循環(huán)損耗增大并產(chǎn)生較大噪聲。因此要確保返向器型線的長度，使得循環(huán)鏈滾珠間隙在0.6～0.8倍滾珠直徑范圍內(nèi)［10］。

s0.6為循環(huán)滾珠鏈間隙為0.6倍滾珠直徑的滾道型線長度，s0.8為循環(huán)滾珠鏈間隙為0.8倍滾珠直徑的滾道型線長度。

2.4 優(yōu)化方法和程序設(shè)計(jì)

遺傳算法是以自然選擇和遺傳理論為基礎(chǔ)，將生物進(jìn)化過程中適者生存與群體內(nèi)部染色體的隨機(jī)信息交換機(jī)制相結(jié)合的高效全局尋優(yōu)搜索算法。與傳統(tǒng)的優(yōu)化方法相比，遺傳算法不需要求出目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息；而是采用概率的、不確定狀態(tài)的轉(zhuǎn)移規(guī)則；尤其適用于較難獲得目標(biāo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的優(yōu)化問題，如帶接觸的含多構(gòu)件的裝配體優(yōu)化問題［11］。

圖4 優(yōu)化程序路線Fig.4 The flow chats of the optimal program

根據(jù)本文提出優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)，選擇遺傳算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解。具體優(yōu)化方法的過程見圖4。首先將設(shè)計(jì)變量初始化，選取Matlab中的GA函數(shù)作為優(yōu)化工具，對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。對(duì)求得的設(shè)計(jì)方案進(jìn)行驅(qū)阻比的計(jì)算，驅(qū)阻比根據(jù)公式（12）～式（18）所建立的力學(xué)理論模型編制程序計(jì)算。通過比較獲得最終的最優(yōu)方案。

3 新型端塞式滾珠返向器優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 返向器結(jié)構(gòu)參數(shù)

選取某滾珠絲杠副的端塞式滾珠返向器作為優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)象，其滾珠半徑rb為2.976 5 mm，螺旋升角λ為9.05°，滾道型線入口點(diǎn)與出口點(diǎn)的水平相對(duì)位置H為19.52 mm，豎直相對(duì)位置h為6.98 mm，滾道型線的長度上限s0.8為 25.08 mm，下限s0.6為 24.56 mm。設(shè)定返向器滾道型線參數(shù)初始值如表1所示，利用本文提出的優(yōu)化方法，確定滾珠返向器滾道型線的最優(yōu)方案，優(yōu)化前后的滾珠副滾珠返向器的形狀對(duì)比如圖5所示。由圖5可以看出，由于優(yōu)化后的滾道采用了雙圓弧型線，其開口和出口位置的曲率變化相對(duì)于優(yōu)化前更加平滑。

表1 滾珠返向器滾道型線的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Parameters of the passage profile in ball returner

圖5 優(yōu)化前后滾珠返向器的模型對(duì)比Fig.5 Comparison among ball returners before and after optimization

3.2 方案分析和論證

為了比較滾珠返向器的設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化前后對(duì)整體滾珠絲杠副的性能的影響，本文按照優(yōu)化前后滾珠返向器的結(jié)構(gòu)參數(shù)，利用Pro/Engineer軟件建立了滾珠絲杠副的CAD模型，并通過接口導(dǎo)入多體動(dòng)力學(xué)軟件ADAMS。根據(jù)滾珠絲杠副內(nèi)部構(gòu)件之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，本文建立了如圖6所示的多體動(dòng)力學(xué)仿真模型。如圖6所示，兩個(gè)返向器與螺母固定連接，滾珠之間、滾珠與螺母以及滾珠與絲杠軸之間施加solid to solid接觸副，螺母與大地之間施加沿軸向的移動(dòng)副，所建多體動(dòng)力學(xué)模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖如圖7所示。

圖7 滾珠絲杠副的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.7 The topography of multi-body dynamical model of the ball screw mechanism

為了減少仿真計(jì)算中誤差累積，設(shè)定滾珠絲杠副的絲杠轉(zhuǎn)速在0 s～0.01 s內(nèi)保持靜止，在0.01 s～0.02 s內(nèi)加速到3 600 r/min，在 0.02 s～0.04 s內(nèi)保持固定轉(zhuǎn)速3 600r/min，在0.04 s～0.05 s內(nèi)減速到 0 r/min。在上述工況下，滾珠返向器優(yōu)化前后，滾珠絲杠副摩擦力矩變化情況對(duì)比如圖8所示。安裝有滾道型線的，優(yōu)化后的整體滾珠絲杠副的摩擦力矩變化情況如圖8（b）。

設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化前后整體滾珠絲杠副摩擦力矩變化參數(shù)的比較如表2所示。

圖8 優(yōu)化前后滾珠絲杠副摩擦力矩的對(duì)比Fig.8 Comparison friction torque of the ball screw mechanism before and after optimization

表2 優(yōu)化前后滾珠絲杠副的摩擦力矩比較Tab.2 Comparison of the ball screw mechanism friction torque before and after optimization

4 結(jié)論

（1）運(yùn)用赫茲接觸理論，并考慮滾道型線曲率半徑的影響，分析了滾珠與返向器之間的碰撞力與滾道型線幾何參數(shù)的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，提出了評(píng)價(jià)滾珠循環(huán)返向的流暢性技術(shù)指標(biāo)——驅(qū)阻比。

（2）對(duì)目前滾珠返向器滾道型線做出了改進(jìn)，提出了一種由兩相切圓弧組成的滾珠返向器滾道型線，并在滾珠循環(huán)返向流暢性的分析基礎(chǔ)上，提出了以驅(qū)阻比和碰撞為優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)，以雙圓弧半徑和相對(duì)厚度為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的滾道型線形狀優(yōu)化方法。

（3）應(yīng)用該優(yōu)化模型，對(duì)某滾珠返向器滾道進(jìn)行了優(yōu)化計(jì)算和分析，使得滾珠與返向器之間的接觸力降低了38.1%，滾珠絲杠副摩擦力矩的最大值降低了29.8%，摩擦力矩波動(dòng)平均值降低了29.9%，成功地實(shí)現(xiàn)滾珠返向器滾道型線的優(yōu)化設(shè)計(jì)，為滾珠返向器的設(shè)計(jì)和開發(fā)提供了可靠的理論依據(jù)。

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