劉齊茂，燕柳斌

（1.廣西工學院 土木建筑系，廣西 柳州 545006；2.廣西大學 土木建筑學院，南寧 530004）

結構的抗震優(yōu)化設計屬于結構動力響應優(yōu)化設計的范疇，具有計算量巨大、優(yōu)化設計問題建模非常復雜等特點，因此該領域的研究進展非常緩慢。根據(jù)各國規(guī)范的規(guī)定、震害經(jīng)驗和實驗研究結果及工程實例分析，在地震作用下采用多高層建筑結構層間相對位移作為衡量結構變形能力從而判斷結構是否滿足建筑功能要求的指標是合理的。因此Zou等［1］建立以結構質量最小化為目標，同時滿足層間相對位移和設計變量約束的優(yōu)化數(shù)學模型，分別以振型分解反應譜法和時程分析法為基礎推導出抗震優(yōu)化設計準則，根據(jù)優(yōu)化設計準則提出優(yōu)化設計方法，是一種有效和實用的抗震優(yōu)化設計方法，但該方法也存在不足，如只要求地震響應過程中層間相對位移在某些時點（加速度峰值及鄰近的一些時點）滿足約束條件，但實際上，當在優(yōu)化過程中出現(xiàn)比較柔的結構時，層間相對位移響應的最大值并不一定出現(xiàn)在加速度峰值及鄰近的一些時點，故該方法得到的優(yōu)化設計在地震響應過程中不一定能滿足約束條件，可能得到不可行的解。Lagarosa等［2］以時程分析法為基礎，并考慮材料的非線性，采用進化算法求解了以結構質量最小化為目標，同時滿足層間相對位移和設計變量約束的優(yōu)化數(shù)學模型，但該方法由于采用隨機搜索方法，存在計算工作量過大的缺點。黃冀卓等［3］以鋼框架質量最輕和結構總動應變能最小為目標，基于相關的設計規(guī)范，給出了抗震鋼框架多目標優(yōu)化問題的一種合理提法，采用Pareto遺傳算法求解抗震鋼框架多目標優(yōu)化問題，得到多目標優(yōu)化問題的妥協(xié)解。結構抗震優(yōu)化設計屬于結構動力優(yōu)化設計領域，結構動力優(yōu)化設計方法從數(shù)學的角度看可分為零階優(yōu)化方法（非梯度類算法）［4］、一階優(yōu)化方法［5］和二階優(yōu)化方法。零階優(yōu)化方法不需要計算結構動力響應對設計變量的一階導數(shù)，如粒子群方法［6］、遺傳算法［7-8］和模擬退火算法［9］。一階優(yōu)化方法需要計算結構動力響應對設計變量的一階導數(shù)如共軛梯度法［10］，一階優(yōu)化方法關鍵是計算結構動力響應對設計變量的一階導數(shù)（也稱敏度分析），國內外的學者已經(jīng)發(fā)展了多種敏度分析方法［11-12］。二階優(yōu)化方法不僅需要計算結構動力響應對設計變量的一階導數(shù)，而且需要計算結構動力響應對設計變量的二階導數(shù)（也稱Hessian矩陣分析），如牛頓類算法［13］，結構動力響應對設計變量的二階導數(shù)的計算難度非常大，因此在國內外很少見到報道。通常，二階優(yōu)化方法的計算效率高于一階優(yōu)化方法，一階優(yōu)化方法的計算效率高于零階設計方法。

本文的主要工作是Newmark-β法的基礎上推導了層間相對位移對設計變量一階導數(shù)和二階導數(shù)的計算公式，建立結構抗震優(yōu)化設計的數(shù)學模型，構造求解結構抗震優(yōu)化設計問題二階優(yōu)化算法。最后演示了一個三層兩跨的平面框架進行抗震優(yōu)化設計，優(yōu)化結果表明本文的抗震優(yōu)化設計方法能獲得結構的最優(yōu)設計。

1 優(yōu)化數(shù)學模型

框架具有i=1，2，3，…，N個單元組，單元的橫截面為矩形，如圖1所示，橫截面的寬度（be）和高度（he）為設計變量。

為了討論的方便，設計變量向量定義為：

框架抗震優(yōu)化設計的目標函數(shù)為結構的質量，由設計變量表示為：

其中：ρ為材料的密度；li為第i個單元組中單元的長度；ni為第i個單元組所含單元的數(shù)目。

圖1 平面梁單元Fig.1 Plane beam element

對高層建筑結構而言，結構的側移通常成為設計的控制指標。高層建筑結構抗震設計必須限制結構的層間相對位移，因為過大的層間相對位移會使主體結構出現(xiàn)裂縫甚至破損，使結構產生附加內力，嚴重使會加速結構的倒塌，使填充墻及建筑裝修出現(xiàn)裂縫或破損，使電梯軌道變形過大，使人不舒服，影響使用?！督ㄖ拐鹪O計規(guī)范》［14］規(guī)定，以彈性方法計算的層間相對位移應滿足以下條件：

式中，ΔuJ（t）為在t時刻第J層的彈性層間相對位移；uJ（t）和uJ-1（t）分別為在t時刻相鄰的第J和J-1樓層的水平位移；HJ為第J層的高度；θJ為抗震設計規(guī)范規(guī)定的第J層層間轉角；TT為地震的持續(xù)時間。

在抗震優(yōu)化設計中，除了考慮層間相對位移的約束外，構件的強度和延性約束也是非常重要的，但由于問題本身很復雜，在本文中只考慮層間相對位移的約束（假設結構的側移是結構設計的控制指標），但文中的優(yōu)化設計方法將可推廣到考慮構件的強度和延性約束、同時考慮受到靜力和動力約束的情況，抗震優(yōu)化設計問題通過式（1）～式（4）描述為：

本文將采用高效的牛頓類優(yōu)化算法求解優(yōu)化數(shù)學模型式（5），優(yōu)化數(shù)學模型可通過積分型罰函數(shù)轉變?yōu)橐幌盗袩o約束優(yōu)化設計問題，然后計算罰函數(shù)對設計變量的梯度和海森矩陣，從而可構造高效的牛頓類優(yōu)化算法。由式（5）可見，要計算罰函數(shù)對設計變量的梯度和海森矩陣，必須計算層間相對位移和質量對設計變量的一階和二階導數(shù)。質量對設計變量的一階和二階導數(shù)的計算是很容易解決的問題，因此層間相對位移對設計變量的一階和二階導數(shù)的計算是解決問題的關鍵。

2 一、二階導數(shù)計算

2.1 層間位移及其對設計變量的一、二階導數(shù)

2.1.1 層間相對位移

初始條件：

其中：M、C、K分別為結構的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；x（t）、（t）、（t）分別為相對于地面的結點位移、速度和加速度；Eu為一向量，在節(jié)點線位移u方向、v方向和節(jié)點角位移θ方向上分別為1、0、0。

結構的阻尼矩陣采用瑞利阻尼如下：

其中，

式中，ω1、ω2分別為結構的第一、二階固有頻率；ζ1、ζ2為阻尼比，本文取 ζ1=ζ2=0.05。

將采用Newmark-β法求解（6）、式（7），框架在地震作用下層間相對位移響應的計算步驟如下：

（1）初始計算

其中，積分參數(shù)δ≥0.5，β=0.25（0.5+δ）2；⑤ 計算有效的剛度矩陣K*：

（2）計算t+Δt時刻的響應

① 計算t+Δt時刻有效的荷載向量F*：

② 計算t+Δt時刻的節(jié)點位移x（t+Δt）：

③ 計算t+Δt時刻的節(jié)點加速度（t+Δt）：

⑤ 用式（4）計算t+Δt時刻的層間相對位移ΔuJ（t+Δt）；

（3）重復（2）步驟①～⑤即可獲得各個時刻的層間相對位移。

2.1.2層間位移對設計變量的一階和二階導數(shù)

式（13）兩邊分別對設計變量di求導一次，得：

其中，

式（17）和式（18）分別通過式（11）和式（12）對設計變量di求導一次獲得。

通過式（16）計算t+Δt時刻位移對設計變量di的一階導數(shù)后，式（14）兩邊分別對設計變量di求導一次，得：

通過式（19）計算t+Δt時刻加速度對設計變量di的一階導數(shù)后，式（15）兩邊分別對設計變量di求導一次，得：

式（4）兩邊分別對設計變量di求導一次，得到層間相對位移對設計變量的一階導數(shù)：

式（16）兩邊分別對設計變量dj進一步求導，得：

其中：

式（23）和式（24）分別由式（17）和式（18）對設計變量di求導一次獲得。

由式（22）求得?2x（t+ Δt）/（?di?dj）后，式（19）兩邊分別對設計變量dj求導，得：

式（21）兩邊分別對設計變量dj求導，得：

（1）初始計算

其中，積分參數(shù)δ≥0.5，β=0.25（0.5+δ）2；

⑥ 由式（11）計算K*。

（2）計算t+Δt時刻的響應

① 由式（13）計算t+Δt時刻的節(jié)點位移x（t+Δt）；

② 由式（14）計算t+Δt時刻 的節(jié)點加速度（t+Δt）；

③ 由式（15）計算（t+Δt）時刻的節(jié)點速度（t+Δt）；

④由式（4）計算t+Δt時刻的層間相對位移ΔuJ（t+Δt）；

⑤ 由式（16）計算t+Δt時刻的節(jié)點位移對設計變量的一階導數(shù)?x（t+Δt）/?di；

⑦ 由式（20）計算t+Δt時刻的節(jié)點速度對設計變量的一階導數(shù)（t+Δt）/?di；

⑧ 由式（21）計算t+Δt時刻的層間相對位移對設計變量的一階導數(shù)?ΔuJ（t+Δt）/?di；

⑨ 由式（22）計算t+Δt時刻的節(jié)點位移對設計變量的二階導數(shù)?2x（t+ Δt）/（?di?dj）；

⑩ 由式（25）計算t+Δt時刻的節(jié)點加速度對設計變量的二階導數(shù)?2（t+Δt）/（?di?dj）；

(11) 由式（26）計算t+Δt時刻的節(jié)點速度對設計變量的二階導數(shù)?2（t+Δt）/（?di?dj）；

(12) 由式（27）計算t+Δt時刻的層間相對位移對設計變量的二階導數(shù)?2ΔuJ（t+Δt）/（?di?dj）。

（3）重復執(zhí)行①～(12)步即可求得地震過程中各個時刻的響應。

2.2 結構質量對設計變量的一階和二階導數(shù)

式（2）兩邊分別對設計變量求導一次得結構質量對設計變量的一階導數(shù)如下：

式（28）兩邊分別對設計變量進一步求導得結構質量對設計變量的二階導數(shù)如下：

3 優(yōu)化數(shù)學模型的求解

將數(shù)學模型（5）的約束條件規(guī)則化，得到等效的數(shù)學模型如下：

3.1 優(yōu)化設計問題的轉變

不等式優(yōu)化數(shù)學模型（30）可通過罰函數(shù)轉變?yōu)橐幌盗袩o約束的積分形式的優(yōu)化數(shù)學模型，為了求導的方便本文采用內點罰函數(shù)，如下：

其中：罰系數(shù)rk是一遞減數(shù)列，當rk→0，罰函數(shù)P（d，rk）的最小值逼近約束優(yōu)化問題的最小值。因此，求解不等式約束優(yōu)化問題（30）轉變?yōu)榍蠼庖幌盗袩o約束優(yōu)化問題如下：

罰系數(shù)的初始值r1由下式計算：

其中：d0為初始設計點，p0=1～50。在本文中p0=10。

罰系數(shù)rk根據(jù)下式遞減：

其中：c=10～50，本文取c=10；k為搜索過程中使用罰函數(shù)的個數(shù)。

3.2 罰函數(shù)的梯度和海森矩陣

罰函數(shù)的梯度和海森矩陣即罰函數(shù)對設計變量的一階和二階導數(shù)，式（31）兩邊分別對設計變量di求導一次得罰函數(shù)對設計變量一階導數(shù)如下：

式（35）兩邊對設計變量dj進一步求導得罰函數(shù)對設計變量的二階導數(shù)如下：

通過式（35）和式（36）計算罰函數(shù)對設計變量的一階和二階導數(shù)后即可獲得罰函數(shù)的梯度和海森矩陣。

3.3 優(yōu)化設計問題的求解

利用梯度和海森矩陣信息，構造求解不等式約束優(yōu)化數(shù)學模型（30）的優(yōu)化設計算法，其步驟如下：

第1步 選擇可行的初始設計點d0，由式（33）計算罰系數(shù)的初始值，定義收斂容差ε1=10，令k=1；

第2步 從設計點dk-1出發(fā)，采用 Marquardt方法［15］求解優(yōu)化數(shù)學模型（32）獲得最優(yōu)設計dk；用Marquardt方法求解優(yōu)化數(shù)學模型（32）的步驟：

② 令i=0，λ（0）=105；

⑤i≥MI?是，執(zhí)行第(11)步；否，執(zhí)行第⑥步；

⑥計算

⑩ 令λ（i）=2λ（i），返回第⑥步；

第3 步P（dk-1，rk）-P（dk，rk）≤ε1?是，dk為最優(yōu)設計，輸出結果，停止計算；否，執(zhí)行第④步；

第4步 由式（34）計算罰系數(shù)rk+1，k=k+1，回到第②步。

4 數(shù)值算例

一個三層兩跨的平面框架如圖2所示，假設每個樓層的質量為30 t，框架材料的彈性模量為20 GPa，阻尼比為5%，梁和柱的截面尺寸空間見圖2的上方，層間轉角限值為1/450，則第一層層間相對位移的限值為0.012 m，第二、三層的層間相對位移限值為0.008 m。

支座1，5，9受到El Centro水平地震加速度時程的激勵，El Centro水平加速度峰值為0.349 g，記錄時長為 8 s，步長 Δt=0.02 s。

從初始可行設計出發(fā)，通過4.3節(jié)的優(yōu)化設計算法獲得一系列優(yōu)化設計如表1所示。

由表1和表2可見，隨著罰系數(shù)逐步趨向于0，目標函數(shù)即結構的質量越來越小，優(yōu)化設計逐步趨向于最優(yōu)設計（r4=0.327和r5=0.032 7獲得的優(yōu)化設計），收斂時前后兩次最優(yōu)設計的質量不變，說明收斂精度非常高。初始可行設計的質量為156 735 kg，最優(yōu)設計的質量為57 043 kg，結構的質量減輕了99 692 kg，最優(yōu)設計的質量僅為初始可行設計的36.39%，優(yōu)化效果明顯。在優(yōu)化過程中僅僅用了5個罰系數(shù)，說明優(yōu)化算法的效率非常高。由表2還可看出，即使僅使用1個罰系數(shù)（r1=327），得到的優(yōu)化設計也能得到極大的改善（質量由156 735 kg下降為82 876 kg，優(yōu)化設計的質量為初始可行設計的52.88%）。

圖2 三層兩跨的平面框架Fig.2 A three-storey，two-bay planar frame

表1 初始可行設計和優(yōu)化設計（單位：mm）Tab.1 Initial feasible design and optimal design（Units：mm）

表2 初始可行設計和優(yōu)化設計的質量（單位：kg）Tab.2 Weight of the initial feasible design and optimal design（Units：kg）

初始可行設計和一系列優(yōu)化設計的質量如表2所示。

5 結論

（1）提出一種計算層間相對位移對設計變量的一階導數(shù)和二階導數(shù)的方法，該方法只需要進行一次動力響應分析就可完成，具有非常高的計算效率。

（2）提出框架的抗震優(yōu)化設計數(shù)學模型適用于結構的側移是結構設計的控制指標的情況（如高層建筑）。當還要考慮其他設計指標時，需要在優(yōu)化數(shù)學模型中增加響應的約束條件。

（3）采用積分型罰函數(shù)將顯含時間參數(shù)的不等式約束優(yōu)化問題轉變?yōu)橐幌盗胁缓瑫r間參數(shù)的無約束優(yōu)化問題，并且提出積分型罰函數(shù)梯度和海森矩陣的計算方法。但由于采用內點罰函數(shù)，因此初始設計必須為可行的設計。

（4）提出的優(yōu)化算法充分利用梯度和海森矩陣的信息確定搜索的方向和步長，不需要進行一維搜索，下降速度快，具有良好的收斂性，能獲得最優(yōu)設計。算例表明該優(yōu)化算法具有非常高的效率，并且在優(yōu)化過程中能獲得一系列可行的優(yōu)化設計供工程設計人員選用。

（5）本文的抗震優(yōu)化設計方法雖然只輸入了一條地震波，但實際上可以同時輸入多條地震波，只需要在優(yōu)化數(shù)學模型中增加多個時程響應約束即可，計算方法基本不變。

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