侯建偉，譚文倩，屈香菊

(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191)

引言

在飛控系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，目前廣泛采用的是針對(duì)線性被控對(duì)象的設(shè)計(jì)技術(shù)和設(shè)計(jì)準(zhǔn)則［1］。在實(shí)際飛控系統(tǒng)中，傳感器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)非線性因素普遍存在，例如靜摩擦、機(jī)械磁滯、間隙、速率飽和等。沒有理想的線性系統(tǒng)，任何一個(gè)實(shí)際的控制系統(tǒng)，其組成元件總是或多或少地帶有非線性特征。非線性造成的結(jié)果以噪聲的形式在回路中傳播，可能會(huì)改變系統(tǒng)的相位和阻尼，從而對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)精度產(chǎn)生影響，還可能影響穩(wěn)定性或引起振蕩。研究非線性環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的影響，可以為更合理地設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)提供依據(jù)，提高飛機(jī)的飛行品質(zhì)。

在飛機(jī)控制器非線性研究領(lǐng)域中，引起較多關(guān)注的是速率飽和誘發(fā)的PIO事故，且大多使用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并給出了評(píng)價(jià)準(zhǔn)則［2-4］，對(duì)其它非線性環(huán)節(jié)的研究較少。并且，非線性描述函數(shù)法雖然在工程上得到廣泛的應(yīng)用，但實(shí)際上也是線性系統(tǒng)頻域計(jì)算的近似，并不能完全準(zhǔn)確地反映原系統(tǒng)特性。而時(shí)域仿真則充分利用了現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的高速計(jì)算能力，可以對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行直觀且足夠準(zhǔn)確的仿真。

本文基于Chalk飛行品質(zhì)準(zhǔn)則，分析死區(qū)、間隙和速率飽和等控制器非線性對(duì)飛機(jī)縱向短周期特性的影響。選擇三種不同的飛控系統(tǒng)構(gòu)型，研究它們對(duì)非線性特性的敏感程度。

1 Chalk準(zhǔn)則描述

1.1 準(zhǔn)則適用條件

研究控制器非線性特性時(shí)，采用頻域準(zhǔn)則通常比較困難。MIL-STD-1797A飛行品質(zhì)規(guī)范基于大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，提出了幾種應(yīng)用時(shí)域響應(yīng)結(jié)果確定飛機(jī)飛行品質(zhì)的時(shí)域準(zhǔn)則。Chalk準(zhǔn)則就是其中之一，它根據(jù)俯仰角速率對(duì)駕駛員指令的反應(yīng)特性評(píng)價(jià)飛機(jī)短周期響應(yīng)特性［5］。

Chalk準(zhǔn)則適用于呈現(xiàn)常規(guī)動(dòng)態(tài)模態(tài)的飛機(jī)和大多數(shù)俯仰增益系統(tǒng)。當(dāng)長周期或其它低頻模態(tài)的剩余振蕩影響俯仰速率時(shí)，可略去速度變化的影響，用等速條件下的運(yùn)動(dòng)方程組計(jì)算俯仰速率瞬態(tài)響應(yīng)。

1.2 飛行品質(zhì)指標(biāo)

根據(jù)俯仰速率時(shí)間響應(yīng)曲線(見圖1)按如下步驟確定Chalk飛行品質(zhì)指標(biāo)參數(shù)。

圖1 對(duì)俯仰操縱階躍輸入的俯仰速率響應(yīng)

(1)確定俯仰速率響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)線;

(2)在俯仰速率響應(yīng)曲線的最大斜率點(diǎn)上畫切線，并與穩(wěn)態(tài)線和時(shí)間軸相交;

(3)將從階躍輸入瞬間至最大斜率線與時(shí)間軸交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔定義為t1，反映飛機(jī)響應(yīng)的時(shí)間延遲;

(4)將從階躍輸入瞬間至最大斜率線與穩(wěn)態(tài)線交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔定義為t2，反映飛機(jī)響應(yīng)的快速性;

(5)定義Δq1為最大俯仰角速率減去穩(wěn)態(tài)值，定義Δq2為穩(wěn)態(tài)值減去第一個(gè)最小值。比值Δq2/Δq1反映飛機(jī)響應(yīng)的平穩(wěn)性，其值越小，說明系統(tǒng)越平穩(wěn)。

Chalk準(zhǔn)則指標(biāo)規(guī)定如下:

(1)有效時(shí)間延遲t1:對(duì)于位移或力操縱系統(tǒng)分別采用階躍位移偏度或階躍操縱力，t1的限制值如表1所示。

(2)瞬態(tài)峰值比Δq2/Δq1:為了確保短周期的足夠阻尼或俯仰反應(yīng)的主模態(tài)，Δq2/Δq1應(yīng)在表1所示的限制要求之內(nèi)。

(3)有效上升時(shí)間Δt:有效上升時(shí)間定義為Δt=t2－t1，應(yīng)是如表2所示限制值中的一個(gè)，其中VT為真速。

表1 t1和Δq2/Δq1的限制值

表2 Δt的限制值

2 非線性飛機(jī)模型建立

2.1 線性飛機(jī)本體模型

本文采用文獻(xiàn)［6］給出的某機(jī)縱向二階小擾動(dòng)線化模型，基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)取為定直平飛。飛機(jī)狀態(tài)方程為x·=Ax+Bu，其中狀態(tài)變量為x=［αq］T;控制變量為u=δe;狀態(tài)矩陣和控制矩陣為:

由于該飛機(jī)本體模型不穩(wěn)定，采用了CAS控制系統(tǒng)構(gòu)型設(shè)計(jì)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，對(duì)于線性系統(tǒng)應(yīng)除去圖中的非線性環(huán)節(jié)。

圖2 CAS飛控系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)

表3給出了本文研究的三種不同的CAS飛控系統(tǒng)模型及相應(yīng)的Chalk準(zhǔn)則飛行品質(zhì)評(píng)價(jià)結(jié)果。

表3 三種飛控系統(tǒng)模型及飛行品質(zhì)評(píng)價(jià)結(jié)果

2.2 非線性飛控系統(tǒng)模型

包含死區(qū)、間隙或速率飽和等非線性環(huán)節(jié)的CAS飛控系統(tǒng)模型如圖2所示。下面分別討論各個(gè)非線性環(huán)節(jié)的模型及其特性。

2.2.1死區(qū)

控制系統(tǒng)中的死區(qū)包括測量元件、放大器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)等。當(dāng)輸入信號(hào)在零值附近的一個(gè)小范圍內(nèi)時(shí)，并沒有有用的信號(hào)輸出;只有當(dāng)輸入信號(hào)大于這個(gè)范圍時(shí)，才輸出有用信號(hào)使系統(tǒng)工作。這個(gè)零值附近的小信號(hào)范圍便是死區(qū)。執(zhí)行機(jī)構(gòu)上的靜摩擦力矩往往可以折合為死區(qū)，只有當(dāng)誤差引起的執(zhí)行機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)矩恰好等于靜摩擦力矩時(shí)，輸出軸才開始轉(zhuǎn)動(dòng)。死區(qū)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

式中，d為死區(qū)的大小;x1和x2分別為輸入和輸出。

2.2.2間隙

傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的間隙是控制系統(tǒng)中一種常見的非線性環(huán)節(jié)，通常發(fā)生在包含聯(lián)動(dòng)裝置或者具有有限間隙的齒輪的所有機(jī)械系統(tǒng)中。連桿機(jī)構(gòu)中主動(dòng)桿與從動(dòng)桿連接存在空隙。在主動(dòng)桿輸入小于一定值時(shí)，從動(dòng)桿沒有任何響應(yīng)。這和死區(qū)有些類似，但間隙的響應(yīng)與輸入的方向有關(guān)系，被稱為“移動(dòng)的死區(qū)”。間隙特性的典型形式如圖3所示(數(shù)學(xué)表達(dá)式見式(2))。

圖3 間隙非線性示意圖

式中，b為間隙的大小;K為間隙的斜率。

間隙對(duì)系統(tǒng)性能的影響比較復(fù)雜。一般來說，它會(huì)增大系統(tǒng)的靜差，使系統(tǒng)波形失真，過渡過程振蕩加劇。通過分析間隙的頻率特性可知，間隙使輸出量在相角上產(chǎn)生滯后，從而使系統(tǒng)的性能變壞，甚至引起自激振蕩。間隙引起振蕩的原因，直觀上來說是由于傳動(dòng)機(jī)構(gòu)在越過間隙區(qū)時(shí)相當(dāng)于空載，此時(shí)系統(tǒng)能量消耗減少，使得在越過間隙之后再重新帶動(dòng)負(fù)載時(shí)的總能量增大，因而會(huì)使系統(tǒng)的振蕩加劇［4］。

2.2.3速率飽和

飽和特性是常見的一種非線性環(huán)節(jié)。舵機(jī)的轉(zhuǎn)速ω隨著控制電壓的增長而線性增長，當(dāng)控制電壓超過一定數(shù)值時(shí)，轉(zhuǎn)速增高緩慢從而出現(xiàn)飽和，因此舵機(jī)的功率限制就表現(xiàn)為轉(zhuǎn)速呈飽和特性。理想的飽和特性的數(shù)學(xué)表達(dá)形式為:

式中，a為速率飽和限制值，a值越小，說明速率飽和限制越厲害。飽和特性的存在相當(dāng)于大信號(hào)作用時(shí)，增益下降。即在線性范圍內(nèi)增益為1，而在飽和區(qū)，雖然輸入信號(hào)繼續(xù)增大而輸出卻保持不變。

圖4給出了考慮速率飽和環(huán)節(jié)的飛機(jī)-舵機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其中舵機(jī)取為二階環(huán)節(jié)形式，ωn=30 rad/s，ξn=0.707。圖中，δc代表指令舵偏，δr代表實(shí)際舵偏。

圖4 包含速率飽和環(huán)節(jié)的飛機(jī)模型結(jié)構(gòu)

3 死區(qū)對(duì)飛行品質(zhì)的影響分析

將圖2中的非線性環(huán)節(jié)表示成死區(qū)，計(jì)算單位階躍輸入下系統(tǒng)的輸出。飛機(jī)構(gòu)型Ⅰ的俯仰角速度時(shí)域響應(yīng)曲線如圖5所示。由圖可知，死區(qū)d值較小時(shí)，飛機(jī)有效時(shí)間延遲t1為0，即俯仰角速度曲線斜率最大點(diǎn)在t=0處。隨著d的增大，t1也增加。

圖5 含死區(qū)的俯仰角速度階躍響應(yīng)(構(gòu)型Ⅰ)

3.1 有效時(shí)間延遲t1

對(duì)表3給出的三種飛機(jī)構(gòu)型時(shí)域仿真結(jié)果進(jìn)行Chalk準(zhǔn)則飛行品質(zhì)評(píng)價(jià)，t1的計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

圖6 死區(qū)大小對(duì)有效時(shí)間延遲的影響

由圖可知，死區(qū)d值越大，t1越大。對(duì)于構(gòu)型Ⅰ，當(dāng)d≤0.5°時(shí)，飛機(jī)呈現(xiàn)1級(jí)飛行品質(zhì);d=0.6°時(shí)為2級(jí)飛行品質(zhì);d＞0.6°后為3級(jí)飛行品質(zhì)。比較構(gòu)型Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ的計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)線性構(gòu)型的t1略有增加時(shí)，隨著d的增加，t1大幅增加。對(duì)構(gòu)型Ⅱ和Ⅲ，當(dāng)d＞0.1°時(shí)，飛行品質(zhì)就達(dá)到3級(jí)?？梢姲绤^(qū)的非線性系統(tǒng)有效時(shí)間延遲對(duì)原線性系統(tǒng)的t1值非常敏感。

3.2 瞬態(tài)峰值比Δq2/Δq1

瞬態(tài)峰值比的計(jì)算結(jié)果如圖7所示。由圖可知，對(duì)于構(gòu)型Ⅰ和Ⅱ，隨著d的增大，Δq2/Δq1略有減小，系統(tǒng)阻尼略微增加，有利于系統(tǒng)平穩(wěn)。由于原線性系統(tǒng)本身就具有1級(jí)飛行品質(zhì)，死區(qū)對(duì)該參數(shù)的影響是有利的，因此加入死區(qū)后系統(tǒng)仍處于1級(jí)飛行品質(zhì)。對(duì)于構(gòu)型Ⅲ，Δq2/Δq1在d≥0.1°時(shí)有較大增加，但仍屬1級(jí)飛行品質(zhì)。

圖7 死區(qū)大小對(duì)瞬態(tài)峰值比的影響

3.3 有效上升時(shí)間Δt

Δt的計(jì)算結(jié)果如圖8所示。由圖可知，對(duì)于構(gòu)型Ⅰ，Δt隨d的增大而增大，當(dāng)d≥0.5°時(shí)，Δt的增加趨勢變平緩，飛行品質(zhì)處于1級(jí)飛行品質(zhì)邊界。對(duì)于構(gòu)型Ⅱ和Ⅲ，當(dāng)d＞0.1°時(shí)Δt的變化就已經(jīng)不明顯了，此時(shí)進(jìn)入2級(jí)飛行品質(zhì)邊界。這是由于原線性系統(tǒng)Δt本身已接近2級(jí)飛行品質(zhì)邊界的緣故?？傊?，死區(qū)使得系統(tǒng)快速性變差。

圖8 死區(qū)大小對(duì)有效上升時(shí)間的影響

4 間隙對(duì)飛行品質(zhì)的影響分析

飛機(jī)構(gòu)型Ⅰ的俯仰角速度階躍響應(yīng)曲線如圖9所示。由圖可知，間隙b增加可能導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)自激振蕩。隨著b的增加，振蕩幅值也增加，但振蕩的頻率沒有明顯變化。

4.1 有效時(shí)間延遲t1

有效時(shí)間延遲的計(jì)算結(jié)果如圖10所示。由圖可知，對(duì)于構(gòu)型Ⅰ，t1隨b的增加變化很小，飛行品質(zhì)始終屬1級(jí)。比較構(gòu)型Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ的計(jì)算結(jié)果，當(dāng)線性構(gòu)型的t1略有增加時(shí)，t1隨b的增加而大幅增加。對(duì)于構(gòu)型Ⅱ和Ⅲ，當(dāng)b≥0.3°時(shí)，飛行品質(zhì)就已達(dá)到3級(jí)。可見包含間隙的非線性系統(tǒng)的t1對(duì)原線性系統(tǒng)的t1值非常敏感。此分析結(jié)果與死區(qū)非線性的影響一致。

4.2 瞬態(tài)峰值比Δq2/Δq1

瞬態(tài)峰值比的計(jì)算結(jié)果如圖11所示。由圖可知，b越大，Δq2/Δq1越大，系統(tǒng)阻尼特性越差，這嚴(yán)重影響了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。對(duì)于構(gòu)型Ⅰ，當(dāng)b≥0.2°時(shí)，達(dá)到2級(jí)飛行品質(zhì);當(dāng)b≥0.5°時(shí)，達(dá)到3級(jí)飛行品質(zhì)。對(duì)于構(gòu)型Ⅱ和Ⅲ，當(dāng)b＞0.1°時(shí)，達(dá)到3級(jí)飛行品質(zhì)。

圖11 間隙大小對(duì)瞬態(tài)峰值比的影響

4.3 有效上升時(shí)間Δt

有效上升時(shí)間的計(jì)算結(jié)果如圖12所示。由圖可知，對(duì)于構(gòu)型Ⅰ，隨著b的增大，Δt也增大，但該指標(biāo)始終處于1級(jí)飛行品質(zhì)邊界內(nèi)。對(duì)于構(gòu)型Ⅱ和Ⅲ，由于原線性系統(tǒng)的Δt已接近2級(jí)飛行品質(zhì)邊界，因此當(dāng)b=0.1°時(shí)，達(dá)到2級(jí)飛行品質(zhì)。

圖12 間隙大小對(duì)有效上升時(shí)間的影響

5 速率飽和對(duì)飛行品質(zhì)的影響分析

飛機(jī)構(gòu)型Ⅰ的俯仰角速度階躍響應(yīng)曲線如圖13所示，圖中箭頭指示速率飽和限制值a增大的方向。由圖可知，速率飽和非線性使得系統(tǒng)出現(xiàn)了明顯的相位滯后。

圖13 含速率飽和的俯仰角速度階躍響應(yīng)(構(gòu)型Ⅰ)

5.1 有效時(shí)間延遲t1

有效時(shí)間延遲的計(jì)算結(jié)果如圖14所示。由圖可知，a越小，t1越大，系統(tǒng)性能越差。對(duì)于構(gòu)型Ⅰ，當(dāng)a＞1(°)/s時(shí)，飛行品質(zhì)為1級(jí);a≤1(°)/s時(shí)，飛行品質(zhì)為3級(jí)。對(duì)于構(gòu)型Ⅱ和Ⅲ，飛行品質(zhì)始終處于1級(jí)邊界內(nèi)。

圖14 速率飽和限制大小對(duì)有效時(shí)間延遲的影響

5.2 瞬態(tài)峰值比Δq2/Δq1

瞬態(tài)峰值比的計(jì)算結(jié)果如圖15所示。由圖可知，a對(duì)Δq2/Δq1的影響很小，各構(gòu)型在不同的a值下都屬1級(jí)飛行品質(zhì)。對(duì)于構(gòu)型Ⅰ，a=1(°)/s時(shí)，速率飽和限制起作用，Δq2/Δq1增加，此時(shí)系統(tǒng)阻尼減小，穩(wěn)定性變差。

圖15 速率飽和大小對(duì)瞬態(tài)峰值比的影響

5.3 有效上升時(shí)間Δt

有效上升時(shí)間的計(jì)算結(jié)果如圖16所示。由圖可知，a對(duì)Δt的影響與a對(duì)Δq2/Δq1的影響結(jié)果類似，各構(gòu)型在不同的a值下都處于1級(jí)飛行品質(zhì)邊界內(nèi)。

圖16 速率飽和對(duì)有效上升時(shí)間的影響

6 結(jié)論

通過本文對(duì)比分析計(jì)算結(jié)果可得到如下結(jié)論:

(1)考慮三種非線性環(huán)節(jié)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)延遲均增加，快速性變差;除了死區(qū)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有利以外，間隙和速率限制都將減小系統(tǒng)阻尼，具有使系統(tǒng)不穩(wěn)定的趨勢。

(2)間隙除了使系統(tǒng)延遲增加、快速性變差以外，最主要的影響是在系統(tǒng)中可能引起極限環(huán)振蕩。隨著間隙b的增加，振蕩幅值也增加，但振蕩的頻率沒有明顯變化。

(3)對(duì)于具有不同有效時(shí)間延遲t1的線性系統(tǒng)，死區(qū)和間隙大小的變化可能引起較大的有效時(shí)間延遲，從而導(dǎo)致飛行品質(zhì)等級(jí)發(fā)生較大變化。

［1］ 胡壽松.自動(dòng)控制原理［M］.第五版.北京:科學(xué)出版社，2003:684.

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