孫艷華

【摘要】方程與函數(shù)在數(shù)學(xué)中是兩個(gè)不同的概念,但是這兩個(gè)互不相同的概念是密切關(guān)聯(lián)、相互滲透的，在一定條件下它們是可以互相轉(zhuǎn)化的.函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系，形成了函數(shù)方程思想.兩種思想的相互利用，對(duì)所研究的問(wèn)題往往能達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)與方程的思想；相互轉(zhuǎn)化和利用；指導(dǎo)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)オ

方程與函數(shù)在數(shù)學(xué)中是兩個(gè)不同的概念，但是這兩個(gè)概念是密切關(guān)聯(lián)、相互滲透的，在一定條件下它們是可以互相轉(zhuǎn)化的.

當(dāng)函數(shù)關(guān)系可用解析式(公式法)去表示時(shí)，即形成了函數(shù)解析式，或函數(shù)式y(tǒng)=f(x).從形式上看，函數(shù)式和方程式都是由代數(shù)式組成的，都含有x和y.方程可看作是函數(shù)解析式在某一特定函數(shù)值的解，表示特定的因變量的自變量解.其中函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)，即當(dāng)y=0時(shí)，f(x)=0，得出x，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0，亦即求函數(shù)f(x)=0的零點(diǎn)，也就是求函數(shù)f(x)=0的圖像與x軸（直線y=0）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；方程f(x)=0若有實(shí)數(shù)根，推出函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)，函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).當(dāng)把函數(shù)式y(tǒng)=f(x)變換為f(x)-y=0時(shí)，函數(shù)轉(zhuǎn)化為二元方程.

函數(shù)與方程的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化，提供了用函數(shù)、方程的觀點(diǎn)和方法處理變量或未知數(shù)之間的關(guān)系，即函數(shù)方程思想，形成解決問(wèn)題的一種思維方式，使許多表面上看似孤立、分散的數(shù)學(xué)知識(shí)在本質(zhì)上得到統(tǒng)一，從而很多函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的知識(shí)和方法解決，很多方程的問(wèn)題也可以用函數(shù)的思想方法去解決，往往能夠達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的，這樣既有利于學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握，也有利于知識(shí)的靈活運(yùn)用.

例如，解方程玪g玿+x2=0，若按照初等變換來(lái)解是行不通的，像這樣的方程可通過(guò)求函數(shù)y=玪g玿圖像與函數(shù)y=-x2圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則可得到其近似解.

例１ 已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-2y-1=0.

（１）求x2+y2的最大值和最小值；

（２）求x2-y2的最大值和最小值

分析 首先，x2+y2-2y-1=0表示的圖形是圓.設(shè)﹖=獂2+y2(或t=x2-y2)，則t可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的函數(shù)，從而可轉(zhuǎn)為求函數(shù)的最值問(wèn)題.

解 （１）x2+y2-2y-1=0化為x2+(y-1)2=2，表示圓心在C(0,1)，半徑r=2的圓.

設(shè)t=x2+y2，由x2+y2-2y-1=0得x2+y2=1+2y，即t=1+2y，這是一個(gè)關(guān)于y的一次函數(shù)，由于y∈［1-2，1+2］，所以當(dāng)y=1+2時(shí)，t┆玬ax=3+22；當(dāng)y=1-2時(shí)，t┆玬in=3-22.

（２）設(shè)t=x2-y2，則t=x2-y2=-2y2+2y+1=-2y-1[]22+3[]2，故當(dāng)y=1[]2時(shí)，x2-y2的最大值為3[]2；當(dāng)y=1-2時(shí)，x2-y2的最小值為-3-22.

例2 作函數(shù)y=4-x2（或函數(shù)y=4+x2）的圖像.

解 將函數(shù)式做平方變換后變成y2=4-x2(或y2=4+獂2)，進(jìn)而有x2+y2=4（或y2-x2=4），這正是我們所熟悉的圓的方程或雙曲線方程，這是在曲線與方程那部分知識(shí)中學(xué)過(guò)的曲線，進(jìn)而得知函數(shù)圖像的形狀，如圖所示.

這里需要說(shuō)明的是，函數(shù)與方程畢竟是兩個(gè)不同的概念，在對(duì)兩者進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化過(guò)程中要注意二者本身各自的特殊性，切忌盲目變換，忽視各自領(lǐng)域里應(yīng)用的局限性.雖然得出我們所熟悉的圖像，由于在對(duì)函數(shù)式做平方變換時(shí)，將原來(lái)函數(shù)的值域范圍給擴(kuò)大了，所以函數(shù)圖像應(yīng)表示圓x2+y2=4（或雙曲線y2-x2=4）中的一部分，而不是全部.

除了考慮變換中定義域或值域以外，有些題目可能還需要進(jìn)行坐標(biāo)變換方能與我們所學(xué)過(guò)的熟悉的知識(shí)靠近.

例3 作出y=1+2x-1的圖像.

解 由已知函數(shù)式變換得：

y-1=2x-1.

進(jìn)行坐標(biāo)變換，x′=x-1[]2

y′=y-1，有﹜′2=2x′，這是拋物線的方程.不難得出它是以直線y=1為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)在㎡′1[]2,1，焦點(diǎn)F′(1,1)，開口向右的拋物線的上半部分.

對(duì)于函數(shù)y=1[]24-x2的圖像，同樣經(jīng)過(guò)變換轉(zhuǎn)化為方程x2+4y2=4后，得知它是橢圓x2+4y2=4在x軸的上半部分.用曲線方程思想解決函數(shù)圖像問(wèn)題得以體現(xiàn)，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的思想.

通過(guò)以上分析，一般地，對(duì)于形如y=kax+b+m（其中a,b,k,m為常數(shù)，ax+b>0）或y=m+kax2+bx+c（其中a,b,c,k,m為常數(shù)，ax2+bx+c>0）的函數(shù)來(lái)說(shuō)，經(jīng)過(guò)平方變換后轉(zhuǎn)化為二元二次方程，其圖像都是我們所熟知的二次方程的曲線中的一部分，或圓錐曲線上的一部分，進(jìn)而得知函數(shù)的圖像.

函數(shù)與方程的思想是數(shù)學(xué)的重要思想之一，不僅有利于學(xué)生深刻地理解和實(shí)際應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，而且有利于學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，對(duì)于培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)具有積極的促進(jìn)作用.教師在教學(xué)中要不失時(shí)機(jī)地及時(shí)向?qū)W生灌輸、滲透數(shù)學(xué)思想方法，將數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)知識(shí)并舉，成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，使學(xué)生牢固樹立數(shù)學(xué)思想方法，以充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法的活力，支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng).