何義華 肖芳蘭

【摘要】 無理數(shù)的教學(xué)是“實(shí)數(shù)”教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，理解教材的意圖、合理安排教學(xué)更是對(duì)老師的一個(gè)必要要求. 如何突破這一教學(xué)難點(diǎn)，值得老師們傾注精力. 在無理數(shù)的教學(xué)中，每個(gè)老師的安排及課后的感受都不盡相同，本文給出的是對(duì)無理數(shù)教學(xué)的一點(diǎn)新體驗(yàn).

【關(guān)鍵詞】 無理數(shù)；理解教材；頓悟教材；體味幸福

■有多大呢？這是初二數(shù)學(xué)人教版第十三章“實(shí)數(shù)”第二課時(shí)的一個(gè)探究問題. 在學(xué)了算術(shù)平方根后馬上就學(xué)習(xí)■有多大，慢慢想來，教材編排意圖深遠(yuǎn)，但在教學(xué)過程中還是會(huì)有一些問題. 下面是我對(duì)本節(jié)課的一些體會(huì).

一、理解教材的意圖

首先，在學(xué)了算術(shù)平方根后，按照學(xué)生的思維：一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根也是一個(gè)數(shù)（已經(jīng)能夠表示了），那么這個(gè)數(shù)是多少？是我們通常的整數(shù)和小數(shù)嗎？具體地，比如學(xué)生想知道２的算術(shù)平方根到底是幾呢，這樣教材就自然地安排■有多大的問題. 其次，學(xué)生只有先知道了■有多大，才會(huì)便于我們后面學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)時(shí)引出無理數(shù)的概念. 另外，教材在問■有多大時(shí)，前面還有一個(gè)探究問題如下：

怎樣用兩個(gè)面積為1的小正方形拼成一個(gè)面積為2的大正方形？

如圖1，把兩個(gè)小正方形沿對(duì)角線剪開，將所得的4個(gè)直角三角形拼在一起，就得到一個(gè)面積為2的大正方形（如圖2），你知道這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)是多少嗎？

這樣一個(gè)問題不僅問得好，而且非常必要. 它很自然地讓學(xué)生想到用方程求得大正方形的邊長(zhǎng)為■，為本節(jié)課找到了主角，而且用算術(shù)平方根的意義引導(dǎo)了學(xué)生解新方程——二次方程. 緊接著，教材提了一個(gè)小問：小正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)是多少呢？這個(gè)小問設(shè)計(jì)得更妙，妙在它能夠培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力（大正方形的邊長(zhǎng)就是小正方形的對(duì)角線），還妙在不用勾股定理直接利用等面積法列二次方程可以求得對(duì)角線的長(zhǎng). 這節(jié)課并不是像許多老師說的，教材設(shè)計(jì)不合理，編排也不合理，沒有多少內(nèi)容可講，只是我們還沒有完全領(lǐng)會(huì)教材的意圖.

二、教學(xué)中的“幸?！?/p>

在探究■有多大時(shí)，教材給出的答案如下：

∵ １２ =１，２２ = ４，

∴ １ ＜ ■ ＜ ２.

∵ １．４２ = １．９６，１．５２ = ２．２５，

∴ １．４ ＜ ■ ＜ １．５.

∵ １．４１２ = １．９８８１，１．４２２ = ２．０１６４，

∴ １．４１ ＜ ■ ＜ １．４２.

∵ １．４１４２ = １．９９９３９６，１．４１５２ = ２．００２２２５，

∴ １．４１４＜■＜１．４１５.

……

如此進(jìn)行下去，可以得到■的更精確的近似值.

事實(shí)上，■ = 1.41421356…它是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù).

我們未來的小數(shù)學(xué)家們會(huì)很疑惑地問：為什么因?yàn)?2 =1，22 = 4，就有1 < ■ < 2？為什么后面省略下去就知道■是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，而不是無限循環(huán)小數(shù)或者有限小數(shù)呢？還有學(xué)生用計(jì)算器算出■ = 1.414213562，于是說：老師■不是無限循環(huán)小數(shù). 如果有老師聽到學(xué)生問這樣的問題，那這位老師太幸運(yùn)、太幸福了！因?yàn)槲矣X得，發(fā)問的學(xué)生太有才了，他們找到了老師的疑惑點(diǎn)，點(diǎn)出了教材編排上的遺憾.

讓人遺憾的是很多老師在這里都沒有很好地解決學(xué)生的疑問. 對(duì)于學(xué)生的第一個(gè)疑問，有的說一個(gè)正數(shù)的平方越大，那么這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根越大，理由高中會(huì)學(xué)；有的老師可能學(xué)生沒問，他“幸運(yùn)”地就講過去了；“不幸運(yùn)”的老師，面對(duì)學(xué)生的疑惑也會(huì)疑惑，于是認(rèn)為教材不好. 不管老師們是“幸運(yùn)”還是“不幸運(yùn)”，我們都應(yīng)該機(jī)智地回到教材剛開始得到主角的■三個(gè)大小正方形，這樣就一目了然了：正方形的面積越大，邊長(zhǎng)就越大，而且可以順便總結(jié)出高中的知識(shí)，如A > B > ０，■ ＞ ■ ＞ ０． 如果這個(gè)地方明白了，那么對(duì)于平方根（和后面立方根）的比較大小，學(xué)生就相對(duì)好掌握了. 高興的是我是一個(gè)“不幸運(yùn)”的老師，但是感覺到了“幸?！?！

對(duì)于后面兩個(gè)疑問，我第一個(gè)反問學(xué)生：你怎么知道■不是無限不循環(huán)小數(shù)呢？最后大家還是不確切地清楚了■是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，于是我就跟他們說等后面學(xué)了無理數(shù)你就完全清楚. 但是按照教材所寫學(xué)了無理數(shù)后，仍沒有真正讓學(xué)生明白■是一個(gè)無理數(shù)，難免有些遺憾. 學(xué)生后面的一個(gè)疑惑很好解決，這是因?yàn)橛?jì)算器對(duì)于那些無限小數(shù)都進(jìn)行了四舍五入. 只要讓學(xué)生用計(jì)算器計(jì)算■的值，他們就完全明白計(jì)算器在什么情況下顯示的是近似值了！

三、頓悟教材的遺憾

上完這節(jié)課后，學(xué)生讓我發(fā)現(xiàn)了教材的這節(jié)課其實(shí)還是有些小遺憾. 一是在排版上沒有將三個(gè)大小正方形和■有多大放在一個(gè)版面，可能導(dǎo)致我們的老師“幸運(yùn)”或“不幸運(yùn)”，都沒有體味幸福的滋味；二是它沒有做到讓學(xué)生無疑問地明白■是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù). 當(dāng)然，就初中的教材是不可能完全解決未來的小數(shù)學(xué)家的疑問和老師的疑惑的. 另外，教材８８頁“閱讀與思考”：為什么說■是一個(gè)無理數(shù)？反過來對(duì)我們理解■有多大毫無疑問是有幫助的. 但是，教材上沒有發(fā)現(xiàn)任何地方告訴未來的小數(shù)學(xué)家們有理數(shù)可以寫成分?jǐn)?shù)，就直接用到它去證明■是一個(gè)無理數(shù)了. 由此可見，教材不是萬能的，也沒有萬能的教材.

這節(jié)課下來，我收獲多多，體會(huì)多多，但更多的是我體味到了一個(gè)“不幸運(yùn)”老師的幸福！