董耀楊

在教學(xué)過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生有許多“異想天開(kāi)”的解題方法，犯一些“顯而易見(jiàn)”的錯(cuò)誤。我們的一貫做法是對(duì)其講解正確的解題方法，而沒(méi)有具體分析哪些是錯(cuò)的，哪些是正確的，甚至對(duì)學(xué)生的“錯(cuò)誤解法”全盤(pán)否定。事實(shí)上，學(xué)生的“錯(cuò)解”也有許多合理的成分，這些合理成分的利用可帶給我們意想不到的收獲。下面從三個(gè)方面談?wù)劰P者對(duì)“‘錯(cuò)解中合理成分的有效利用”的認(rèn)識(shí)。

一、挖掘“錯(cuò)解”中合理成分，使作解者能得到同伴的賞識(shí)，從而增強(qiáng)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心

學(xué)生學(xué)習(xí)的成就感、自豪感，不僅是產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力的根本源泉，而且是培養(yǎng)學(xué)生自尊、自信人格的重要途徑，同伴間的鼓勵(lì)與賞識(shí)顯得尤為珍貴，這對(duì)于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和保持學(xué)習(xí)熱情具有極其重要的作用。

例1：點(diǎn)(-1，2)關(guān)于直線y=x-l的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是()

A．（3，2） B．（-3，-2） C．（-3，2） D．（3，-2）

這是一個(gè)非?；A(chǔ)、簡(jiǎn)單的題目。常規(guī)方法是用“中垂線的性質(zhì)”解決，答案是D。而在一次會(huì)考補(bǔ)弱課結(jié)束后，一位基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生對(duì)我講述了他的解法：把點(diǎn)(-1，2)中的“x=-1”代入“y= x-1”得：“y= -2”，“y=2”代入“y=x-l”得：“x=3”，所以選D。我一時(shí)不理解這是怎么回事，問(wèn)他這樣解的依據(jù)是什么？他說(shuō)不知道理由，反正答案是對(duì)的。粗看他的解題過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)，“對(duì)稱”的條件在他的解法中是毫無(wú)體現(xiàn)的，得出正確結(jié)論純屬是一種偶然。正因如此，他才會(huì)向我詢問(wèn)，也希望我能幫他從中找到“正確”的理由。一般我們都會(huì)以“你錯(cuò)了，你的解法同題目要求不符”來(lái)結(jié)束思考，然后給他正解。但是，他的一句“反正答案是對(duì)的”提醒了我：既然答案是正確的，是否有其內(nèi)在的合理性？便嘗試著與他一起進(jìn)行探究，此時(shí)我想到了一個(gè)相似的問(wèn)題：若把題目改成“求點(diǎn)(-1，2)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)”這一特殊的對(duì)稱問(wèn)題，通常用“反函數(shù)的性質(zhì)”，只要把點(diǎn)（-1，2）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)調(diào)就可以了，所求的對(duì)稱點(diǎn)為(2，-1)。我們能否對(duì)此“簡(jiǎn)便方法”加以推廣呢？這個(gè)方法也可以這樣解釋：把“x =-1”代入“y=x”得：“y= -1”，“y=2”代入“y=x”得：“x=2”，這樣求得的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-1)。這樣的解釋剛好與這位同學(xué)的解法不謀而合。此時(shí)，我們都得到了莫大的鼓舞，這個(gè)“理由”似乎已經(jīng)被找到。我繼續(xù)變式：

(1)點(diǎn)(-1，2)關(guān)于直線y=-x+l的對(duì)稱點(diǎn)是_________；

(2)點(diǎn)(-1，2)關(guān)于直線y=2x+l的對(duì)稱點(diǎn)是_________。

通過(guò)對(duì)稱問(wèn)題的常規(guī)方法檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)變式(1)還是能適用的，但變式(2)就不適用了。這說(shuō)明剛才的這種“特殊方法”僅適合于某些對(duì)稱軸方程比較特殊的題目。這又是一個(gè)新問(wèn)題：“點(diǎn)P( ， )關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是_______”。根據(jù)上面的“特殊方法”得出的結(jié)果是“( (y0-b)/k，kx 0+b)”，而用對(duì)稱問(wèn)題的常規(guī)方法，設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為Q( ， )，得出的結(jié)論：只有當(dāng)k=?時(shí)，x1=?y0-b)， y1=眡0+b，與“特殊方法”求得的結(jié)論一致。此時(shí)，我也看到了這位學(xué)生臉上得意的神色。正因?yàn)橛辛怂摹爱愊胩扉_(kāi)”，才有我們進(jìn)一步的思考，得到出入意料的推廣。在隨后的課堂中，我在全班同學(xué)面前大力贊賞了他的這種“簡(jiǎn)便方法”，以及他的這種創(chuàng)新意識(shí)和敏銳的觀察能力，贏得了全班同學(xué)的贊許。在此后的學(xué)習(xí)中，這位同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一直都保持著很高的熱情。

二、挖掘“錯(cuò)解”中合理成分，讓多數(shù)學(xué)生體會(huì)到自身的價(jià)值，從而鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑

“問(wèn)”是新舊知識(shí)產(chǎn)生碰撞后進(jìn)行思維、想象的結(jié)果；是對(duì)所學(xué)知識(shí)的綜合分析，也是對(duì)新知識(shí)的渴求。同時(shí)，“問(wèn)”也是思維活躍程度的一種反映，能對(duì)所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生疑問(wèn)，也是學(xué)習(xí)能力的一種表現(xiàn)。愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：在科學(xué)研究中，提出問(wèn)題要比解決問(wèn)題難得多，意義也大得多。因此，鼓勵(lì)學(xué)生敢問(wèn)、會(huì)問(wèn)、善問(wèn)，從而使他們有興趣去學(xué)習(xí)，作為教師，我們責(zé)無(wú)旁貸。

例2：已知lim(2an+3bn)=5，lim(an-bn)，求lim(an-bn)。

在講解此題時(shí)，我先讓學(xué)生自己求解，多數(shù)學(xué)生的解法與下面的解法大同小異，

解：∵

∴

解得：

∴l(xiāng)im(an+bn)=liman+limbn=+=

對(duì)這樣的解法，我早已有了心理準(zhǔn)備，便結(jié)合極限的運(yùn)算法則指出：liman和limbn一定存在嗎？這時(shí)，部分學(xué)生若有所悟，但還是有不少學(xué)生一臉茫然。前者雖然感到解法有些不合情理，但還是不明白，當(dāng)liman和limbn不存在時(shí)，為什么lim(2an+3bn)和lim(an-bn)會(huì)存在？針對(duì)學(xué)生的這些困惑，我舉了反例：an=1-n2，bn=1+n2，顯然liman和limbn 都不存在，但lim(2an+3bn)=5，存在！此時(shí)，多數(shù)學(xué)生都默認(rèn)了我的觀點(diǎn)，明白了自己的“錯(cuò)誤”。隨后我又指出：由題設(shè)我們不能判斷l(xiāng)iman和limbn是否存在，從而上述解法缺乏依據(jù)，是錯(cuò)誤的，關(guān)于這類問(wèn)題，我們一般通過(guò)“待定系數(shù)法”求解。

解：設(shè)an+bn=x(2an+3bn)+y(an-bn)，

則(2xy-1)an+(3x-y-1)bn=0

，解得

∴l(xiāng)im(an+bn)=lim[(2an+3bn)+(an-bn)]

=lim(2an+3bn)+lim(an-bn)

=?+?=

雖然，這樣的講解既充分暴露了學(xué)生存在的問(wèn)題，又鞏固了數(shù)列極限的運(yùn)算法則。但我還是在心里嘀咕：學(xué)生的“錯(cuò)解”與“正解”結(jié)果是一致的，這里面總隱含著某種說(shuō)不清、道不明的瓜葛。當(dāng)時(shí)，為了完成教學(xué)任務(wù)，也沒(méi)來(lái)得及去探究更深一層的聯(lián)系。當(dāng)然，由于對(duì)這種問(wèn)題自己心中也沒(méi)底，擔(dān)心會(huì)發(fā)展到難以控制的局面。課后，我擔(dān)心的事終究還是發(fā)生了，一位學(xué)生到辦公室對(duì)我說(shuō)：老師，你上課舉的反例不成立！那個(gè)反例只滿足了一個(gè)條件lim(2an+3bn)=5，但不滿足另一個(gè)條件lim(an-bn)=2。所以，我們的解法是對(duì)的。我不得不承認(rèn)，我舉的反例的確不恰當(dāng)，同時(shí)，我更佩服這位同學(xué)的一種永不服輸?shù)木瘢m然他說(shuō)的“正確性”還得不到保障）。當(dāng)然，我也不甘示弱，原來(lái)的反例不行，不就可以換一個(gè)嗎？在做了一些努力后，還是以失敗而告終。雖然找不到反例，但還得對(duì)“l(fā)iman和limbn 不一定存在”有個(gè)交代呀！最后問(wèn)題還是轉(zhuǎn)向了利用“待定系數(shù)法”，取得了成功。由an=(2an+3bn)+(an-bn)，bn=(2an+3bn)可知，lima和limb是都存在的！因此草率地講“l(fā)iman和limbn不一定存在”是不負(fù)責(zé)任的。所以，在課堂上，學(xué)生中出現(xiàn)的“錯(cuò)解”實(shí)際上也是有一定的立足之處的，只不過(guò)在邏輯上少了一個(gè)步驟，即檢驗(yàn)“l(fā)iman和limbn”的存在性。有了這個(gè)基礎(chǔ)，我與這位同學(xué)一起優(yōu)化了解法，利用“換元法”更易說(shuō)明問(wèn)題：

另解：設(shè)An=2an+3bn，Bn=an-bn，則limAn，limBn=2，

且an=An+Bn，bn=An-Bn

∴l(xiāng)im(an+bn)=lim(An+Bn)

=limAn+limBn

=?+?=

存在的，就有其合理的原因。我們?cè)S多教師都長(zhǎng)期堅(jiān)持著類似于“l(fā)iman和limbn 不一定存在”這樣的“信念”，卻很少有人去進(jìn)一步弄清這種“不一定”中的“確定性”。這除了有知識(shí)、邏輯的因素外，對(duì)多數(shù)人來(lái)說(shuō)，恐怕還有一個(gè)“人云亦云”、迷信權(quán)威、迷信刊物的思維定勢(shì)。其實(shí)，充分挖掘?qū)W生錯(cuò)解中的合理成份，就是對(duì)學(xué)生勞動(dòng)成果的充分肯定和人格的尊重，這種在教學(xué)過(guò)程中常常被多數(shù)教師所忽視的情感交流，與不分青紅皂白地對(duì)學(xué)生一頓訓(xùn)斥更形成了強(qiáng)烈的反差。實(shí)踐告訴我們，這種忽視和訓(xùn)斥往往會(huì)影響糾錯(cuò)教學(xué)的效果和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情。

三、挖掘“錯(cuò)解”中合理成分，暴露矛盾，從而引發(fā)當(dāng)事者的自我反省

從心理學(xué)的角度來(lái)分析，正常情況下，學(xué)生的心理處于一種平衡的狀態(tài)。當(dāng)學(xué)生與周?chē)h(huán)境進(jìn)行交互作用時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)各種各樣的問(wèn)題、困難以及相互之間的認(rèn)識(shí)差異，也就是認(rèn)知沖突；當(dāng)人心里失去平衡時(shí)，本能地會(huì)產(chǎn)生一種需要平衡的需求，從學(xué)習(xí)的意義上講，就會(huì)產(chǎn)生新的學(xué)習(xí)需要，通過(guò)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)建立心理平衡。由此可見(jiàn)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要善于創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)需，從而提高課堂教學(xué)的有效性。

例3：已知a<0，解關(guān)x的不等式：>a+。

這是某市高三?？荚囶}中解答題的第一題，許多學(xué)生的解法是：

解：∵a<0，∴a+≤-2，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)，

∴>-2，即>0，∴原不等式的解集為：{x|x>0}

這樣的解法，顯然混淆了“解不等式”與“不等式恒成立”問(wèn)題，違背了解不等式的“等價(jià)變形”原則。

正解：原不等式→（x-a） >0

當(dāng)a=即a=-1時(shí)，不等式的解集為{x|x>0}

當(dāng)a>即-10}

當(dāng)a<即a<-1時(shí)，不等式的解集為{x|a0}

但我們并不能在“正解”完成的同時(shí)，結(jié)束講解?！皼](méi)有功勞，亦有苦勞”，學(xué)生去做，雖然錯(cuò)了，但至少還能說(shuō)明他們?nèi)L試過(guò)、努力過(guò)。如果遇到錯(cuò)解，就對(duì)他們進(jìn)行全盤(pán)否定，久而久之，必然會(huì)使他們失去解題的信心。那么，我們拿什么去“肯定”和“褒獎(jiǎng)”他們呢？挖掘“錯(cuò)解”中的合理成份！通過(guò)正誤對(duì)比，仔細(xì)分析“錯(cuò)解”產(chǎn)生的原因與“錯(cuò)解”的結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)：

(1)能看到“a+”這一結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到均值定理的應(yīng)用。

(2)“正解”討論了“a<0”的所有可能的值，而“錯(cuò)解”只解決了“a=-1”時(shí)的情形，但也解出了這個(gè)不等式的一小部分。

(3)將問(wèn)題改為“不等式：>a+對(duì)一切a<0恒成立，求x的范圍”，則這一解法是完全正確了。

在糾錯(cuò)的過(guò)程中，正面指出錯(cuò)誤的地方，具體分析錯(cuò)誤的性質(zhì)，是錯(cuò)題分析的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。而通過(guò)以上(2)、(3)兩點(diǎn)的正誤對(duì)比，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，這不僅可以使學(xué)生對(duì)自己“錯(cuò)解”有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)，而且“有助于學(xué)生掌握元認(rèn)知知識(shí)，獲得元認(rèn)知體驗(yàn)和進(jìn)行元認(rèn)知調(diào)控”，從而增強(qiáng)此類問(wèn)題防錯(cuò)的免疫力。

人們常說(shuō)：治病不如防病。只有讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過(guò)程，才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)興趣，滿足學(xué)生的獵奇心理和求知欲望，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解，才能防止學(xué)生對(duì)知識(shí)理解掌握得支離破碎。根據(jù)心理學(xué)理論，當(dāng)學(xué)生平時(shí)接受的正面信息越多，學(xué)生的創(chuàng)新思維就越容易發(fā)揮，反之，就越會(huì)扼殺學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。在學(xué)生出現(xiàn)“錯(cuò)解”時(shí)，我們不應(yīng)該一味地否定和指責(zé)學(xué)生，而應(yīng)首先在“錯(cuò)解”中去尋找、挖掘其合理成分，去肯定學(xué)生，給學(xué)生多一份肯定，學(xué)生就多一份成就感，多一份自信。

教師要尋求防止錯(cuò)誤發(fā)生的有效對(duì)策，就要利用好錯(cuò)解中的合理成分，這就要求教師經(jīng)常思考學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因。在“錯(cuò)解”中欣賞優(yōu)點(diǎn)，這也是教師自身成長(zhǎng)的一次機(jī)會(huì)。在師生互動(dòng)糾錯(cuò)的過(guò)程中，不僅教師幫學(xué)生增長(zhǎng)了知識(shí)和提高能力，而且學(xué)生也會(huì)使教師的知識(shí)和能力得到提高。

（責(zé)任編輯 易 凡）