楊鋒峰

排列應(yīng)用題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，本文就其解題思想及解題方法舉例做些分析，以期能對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者有所啟示.

一、常用解題思想

1被歸思想

解題意味著什么——就是把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題.

例1同室4人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人的賀卡，求不同的分配方式.

分析我們建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題——用1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中1不在個(gè)位，2不在十位，3不在百位，4不在千位的四位數(shù)共有多少個(gè)？

2倍猿撲枷

挖掘題目中隱含的對稱性，運(yùn)用對稱思維解題，能得到簡捷的解法.

例2A，B，C，D，E五人并排站成一排，B必須在A的右邊（A與B可以不相鄰），有多少種不同的排法？

分析考慮對稱性，B在A的右邊與B在A的左邊的機(jī)會(huì)均等，所以排列為A552=60(種).

3蹦娣此枷

對有些數(shù)學(xué)問題，如果從正面去探求常常一籌莫展，但是若改變一下思維的角度，從問題的反面進(jìn)行逆向思考，常能找到解題的方法.

例3一個(gè)小組共有10名同學(xué)，其中4名女同學(xué)，6名男同學(xué)，要從小組內(nèi)選出3名代表進(jìn)行排列，要求至少有一名女同學(xué)，一共有多少種排法？

分析至少一名女同學(xué)包括三類.第一類：1名女生，2名男生；第二類：2名女生，1名男生；第三類：3名都是女生.

所以正面考慮的話，就是C14×C26×A33+C24×C16×A33+A34=600(種)排法.現(xiàn)在我們考慮反面：3名都是男生的排法有A36=120(種)，所以有A310-120=600(種).

二、幾種方法

1碧卣鞣治齜

例4由1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且是6的倍數(shù)的五位數(shù)？

分析一個(gè)數(shù)是6的倍數(shù)，與一個(gè)數(shù)是2的倍數(shù)且是3的倍數(shù)是等價(jià)的，而其中為3的倍數(shù)的數(shù)必須滿足“各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)”，因此，滿足題意要求的五位數(shù)應(yīng)有以下幾類可能：

第一類：1，2，4，5，6做數(shù)碼，有72種；第二類：1，2，3，4，5做數(shù)碼，有48種.

那么根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，符合題意的五位數(shù)就有72+48=120(種).

注所謂“特征分析法”，就是以事物的特征（本質(zhì)屬性）為突破口，尋找解題思路的方法，當(dāng)問題比較復(fù)雜的時(shí)候，還要注意分類和分步.

2痹素、位置分析法

元素及其所占的位置，這是排列問題中的兩個(gè)基本要素，以元素為主，分析各種可能性，稱為“元素分析法”；以位置為主，分析各種可能性，稱為“位置分析法”.

例53封不同的信，有4個(gè)信箱可供投遞，共有多少種投遞方法？

解法一元素分析法（以信為主）.

第一步：投第一封信，有4種.

第二步：投第二封信，有4種.

第三步：投第三封信，有4種.

所以共有64種.

解法二位置分析法（以信箱為主）.

第一類：四個(gè)信箱中某一個(gè)信箱有3封信的有4種.

第二類：四個(gè)信箱中某一個(gè)信箱有1封信，一個(gè)信箱有2封信，有C13×C22×A24=36(種).

第三類：四個(gè)信箱中某三個(gè)信箱各有1封信的收信方法有24種.

因此收信方法共有4+36+24=64(種).

注不少排列組合的問題中，某個(gè)元素或某個(gè)位置有特殊的作用，這個(gè)特殊元素或特殊位置是解題的關(guān)鍵，抓住關(guān)鍵進(jìn)行展開，問題往往就會(huì)迎刃而解，如此例中的“數(shù)學(xué)課”或“體育課”便是特殊元素.

3倍分法

例6從0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)字中取出5個(gè)組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？

分析該題我們可以按照取出的5個(gè)數(shù)字來分為有0和無0兩類.

“取與不取”“含與不含”“在與不在”等等，在解排列組合的應(yīng)用題中，?？苫y為易，將一個(gè)事件劃分為幾個(gè)互相對立的事件，這便是形式邏輯中的“二分法”.

三、幾種技巧

1被格子，坐位置

這是排列組合問題中一個(gè)最基本、最重要的模型，大量的問題都可以用這個(gè)模型取套解.

例7從A，B，C，D，E五名同學(xué)中選三名，到甲、乙、丙三個(gè)位置中的一處，有多少種方法？

分析我們把甲、乙、丙看做三個(gè)位置，于是問題就轉(zhuǎn)化為五名同學(xué)選三個(gè)位子坐下的問題.

2畢茸楹笈

有不少問題需要分為“先組合，再排列”兩步完成，如例3第二類.

3畢群蝦蠓幀—捆綁法

有一類問題要求某些元素必須排在一起，在解題時(shí)，我們可將這些元素先合一，即視為一個(gè)單元，與其他元素進(jìn)行排列，然后再對一個(gè)這樣的排列考慮單元內(nèi)各元素的不同排列.

4畢擾藕蟛濉—插空法

某些元素不相鄰排列時(shí)，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空當(dāng)，這種方法稱為“插空法”.