王清德

隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展和計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，數(shù)學(xué)日益成為一種技術(shù)，其手段就是計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建.在教學(xué)過(guò)程中如何適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，不僅可以使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)并非只是一門抽象的學(xué)科，而且可以使學(xué)生感受到利用數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的思想結(jié)合數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的妙處，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更大的興趣.

下面結(jié)合本人教學(xué)實(shí)踐，談幾種常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方法，與同行們共切磋.

一、方程與不等式模型

這類型的數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，常以市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)為背景，或以環(huán)保、當(dāng)前時(shí)事為載體，綜合各種代數(shù)知識(shí)考查分析、綜合與分類討論的能力.

例1國(guó)家為了關(guān)心廣大農(nóng)民群眾，增強(qiáng)農(nóng)民抵御大病風(fēng)險(xiǎn)的能力，積極推行農(nóng)村醫(yī)療保險(xiǎn)制度，某市根據(jù)本地的實(shí)際情況，制定了納入醫(yī)療保險(xiǎn)的農(nóng)民醫(yī)療費(fèi)用報(bào)銷規(guī)定，享受醫(yī)保的農(nóng)民可到定點(diǎn)醫(yī)院就醫(yī)，在規(guī)定的藥品品種范圍內(nèi)用藥，由患者墊付醫(yī)療費(fèi)用，年終到醫(yī)保中心報(bào)銷、醫(yī)療費(fèi)的報(bào)銷辦法：

報(bào)銷比例標(biāo)準(zhǔn)不予報(bào)銷70%80%

（1）設(shè)某農(nóng)民一年的實(shí)際醫(yī)療費(fèi)為x元（500

（2）若某農(nóng)民一年內(nèi)自付醫(yī)療費(fèi)為2600元（自付醫(yī)療費(fèi)=實(shí)際醫(yī)療費(fèi)-按標(biāo)準(zhǔn)報(bào)銷的金額），則該農(nóng)民當(dāng)年實(shí)際醫(yī)療費(fèi)為多少元？

（3）若某農(nóng)民一年內(nèi)自付醫(yī)療費(fèi)不少于4100元，則該農(nóng)民當(dāng)年實(shí)際醫(yī)療費(fèi)至少為多少元？

評(píng)析解決本題關(guān)鍵是準(zhǔn)確獲取圖表中的信息，抓住自付醫(yī)療費(fèi)為2600元及不少于4100元，把生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題——方程或不等式的模型，同時(shí)把實(shí)際醫(yī)療費(fèi)分段進(jìn)行討論.

解（1）y=710（x-500）(500

（2）設(shè)該農(nóng)民一年內(nèi)實(shí)際醫(yī)療費(fèi)為x元，則當(dāng)x≤500時(shí)，不合題意.

當(dāng)500

答：該農(nóng)民一年內(nèi)實(shí)際醫(yī)療費(fèi)為7500元.

（3）設(shè)該農(nóng)民一年內(nèi)實(shí)際醫(yī)療費(fèi)為x元.

∵500+（10000-500）×0.3=3350<4100，∴x>10000.

∴500+（10000-500）×0.3+（x-10000）×02≥4100，解得x≥13750.

答：該農(nóng)民當(dāng)年實(shí)際醫(yī)療費(fèi)至少為13750元.

二、方程與函數(shù)模型

函數(shù)與方程是中學(xué)代數(shù)的重點(diǎn)，它主要以函數(shù)為主線，建立函數(shù)圖像及性質(zhì)，相關(guān)知識(shí)的綜合，提煉并構(gòu)建方程模型或函數(shù)模型.

例2通過(guò)實(shí)際研究，專家們發(fā)現(xiàn)：初中學(xué)生聽(tīng)課的注意力指標(biāo)數(shù)是隨著老師講課時(shí)間的變化而變化的，講課開(kāi)始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時(shí)間的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開(kāi)始分散，學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x（min）變化的函數(shù)圖像如圖（y越大表示注意力越集中），當(dāng)0≤x≤10時(shí)，圖像是拋物線的一部分；當(dāng)10≤x≤20和20≤x≤40時(shí)，圖像是線段.

（1）當(dāng)0≤x≤10時(shí)，求注意力指標(biāo)數(shù)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）一道數(shù)學(xué)綜合題，需要講解24 min，則老師能否經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，使學(xué)生聽(tīng)這道題時(shí)，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于36？

評(píng)析此問(wèn)題是發(fā)生在學(xué)生身邊的實(shí)際問(wèn)題，先建立兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式的數(shù)學(xué)模型，然后利用數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用待定系數(shù)構(gòu)造幾個(gè)方程，使問(wèn)題得到解決.

解（1）設(shè)0≤x≤10時(shí)的拋物線為y=ax2+bx+c，由圖像知拋物線過(guò)（0，20），（5，39），（10，48）三點(diǎn)，

∴c=20，

25a+5b+c=29，

100a+10b+c=48，解得a=-15，

b=245，

c=20.

∴y=-15x2+245x+20(0≤x≤10).

（2）設(shè)20≤x≤40時(shí)，直線解析式為y=kx+m，由圖像知直線過(guò)（20，48），（40，20）兩點(diǎn)，

∴20k+m=48，

40k+m=20，解得k=-75，

m=76.∴y=-75x+76.

當(dāng)0≤x≤10時(shí)，令y=36，得36=-15x2+245x+20，

解得x1=4，x2=20（舍去）；

當(dāng)20≤x≤40時(shí)，令y=36，得36=-75x+76，

解得x=2007=2847.

因?yàn)?847-4=2447>24，所以老師可以通過(guò)適當(dāng)安排，在學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)不低于36時(shí)，講授完這道數(shù)學(xué)綜合題.

三、幾何模型

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》理論指導(dǎo)下的基礎(chǔ)課程，在幾何內(nèi)容的設(shè)置上，著重加強(qiáng)“幾何模型構(gòu)建及其探究過(guò)程，培養(yǎng)應(yīng)用能力”等方面的內(nèi)容.因此，考查學(xué)生建立幾何模型解決問(wèn)題能力的試題已日益受到中考命題專家的青睞和使用，此處不再舉例說(shuō)明.

總之，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建是解決問(wèn)題的過(guò)程，也是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.在這一過(guò)程中，數(shù)學(xué)模型構(gòu)建是關(guān)鍵，也是難點(diǎn).解題時(shí)應(yīng)注意：（1）仔細(xì)審題，理解實(shí)際背景材料和所掌握的信息，對(duì)問(wèn)題作出簡(jiǎn)化，并且提出假設(shè).（2）數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，將實(shí)際問(wèn)題利用數(shù)學(xué)工具尋求有關(guān)事物之間的聯(lián)系轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決.（3）求解數(shù)學(xué)模型與檢驗(yàn)，從而得到實(shí)際問(wèn)題的解答.

【參考文獻(xiàn)】

張幫球.淺談初中數(shù)學(xué)模式的建立［J］.教師（理論研究版），2009(2).