朱遠(yuǎn)軍

“分類(lèi)討論”是高中數(shù)學(xué)的重要思想之一，也是每年高考的必考內(nèi)容.而含參一元二次不等式的解法是這一思想方法的具體體現(xiàn)，但同學(xué)們學(xué)起來(lái)難度很大，往往會(huì)出現(xiàn)解題思路亂，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不清，寫(xiě)不出準(zhǔn)確結(jié)果等現(xiàn)象.筆者愿以教學(xué)過(guò)程中對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的思考與讀者交流，以便同學(xué)們的學(xué)習(xí)和老師的教學(xué).

筆者認(rèn)為，此類(lèi)型解法的基本思路和步驟與“數(shù)字型”的一元二次不等式的解法的思路和步驟是一樣的.第一步，將其化為ax2+bx+c>0（或<0)；第二步，求判別式（或因式分解）；第三步，求根和確定兩根大小，并利用相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像寫(xiě)出解集.下面舉例說(shuō)明.

例1解關(guān)于x的不等式：x2-3x+2≤3ax-6a.

分析按“數(shù)字型”的解法的思路和步驟依次進(jìn)行.

解原不等式等價(jià)于x3-3(a+1)x+2(3a+1)≤0，

Δ=9(a+1)2-8(3a+1)=(3a-1)2≥0，

相應(yīng)的一元二次方程的根為x=3(a+1)±(3a-1)2，

即x1=3a+1，x2=2，x1-x2=3a-1.

（1）若3a-1<0，即a<13時(shí)，x1

（2）若3a-1=0，即a=13時(shí)，x1=x2.

此時(shí)，原不等式化為x2-4x+4≤0，∴x=2.

（3）若3a-1>0，即a>13時(shí)，x1>x2，此時(shí)2≤x≤3a+1.

綜上所述，當(dāng)a<13時(shí)，解集為{x|3a+1≤x≤2}；

當(dāng)a=13時(shí)，解集為{2}；

當(dāng)a>13時(shí)，解集為{x|2≤x≤3a+1}.

點(diǎn)評(píng)1鄙鮮黿夥ǖ諞?、恫脚c“數(shù)字型”的思路完全一樣，只是第三步在求出根時(shí)，由于兩根大小與a的取值有關(guān)，故用x1-x2的值大于（等于或小于）0來(lái)確定兩根大小并求出相應(yīng)的a的范圍，最后根據(jù)相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像寫(xiě)出解集.

2鄙鮮鑾蟾時(shí)，也可用“十字相乘法”因式分解求得.

例2解關(guān)于x的不等式axx-1<1.

2庇捎詼次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)a，看似很復(fù)雜，但整體上只分兩類(lèi)a=1（一元一次不等式）和a≠1（一元二次不等式）.

3痹詰詼類(lèi)a≠1中，由x1，x2的大小關(guān)系分了三類(lèi)并求出相應(yīng)的a的范圍，根據(jù)a的范圍再考慮二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，根據(jù)相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像寫(xiě)出解集.

4痹赼≠1的①類(lèi)中，又分兩類(lèi)，主要是因?yàn)閍<0或a>1時(shí)，雖然都有x2

5薄白凵纖述”這一步是為了讓結(jié)果更加清晰、集中，最好是按a的取值大小從左到右寫(xiě)出，這樣思路更清晰.

總之，含參型一元二次不等式的解法，首先要按“數(shù)字型”一元二次不等式的解法的基本思路和步驟進(jìn)行，在此基礎(chǔ)上，要確定兩根的大小，由此算出相應(yīng)參數(shù)的范圍，再由參數(shù)的范圍確定二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，最后寫(xiě)出相應(yīng)的解集.