王新艷

【摘要】筆者在教學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)蘇科版九年級(jí)上冊(cè)把一元二次方程根的判別式安排在用公式法解一元二次方程一節(jié)課內(nèi)容之中，課本只作簡(jiǎn)單的介紹，學(xué)生綜合運(yùn)用能力比較薄弱，因此在中考第一輪復(fù)習(xí)備課時(shí)，我仔細(xì)研究教材和歷年的中考試題，分類(lèi)例談它的運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】一元二次方程；根的判別式Δ=b2-4ac；拓展延伸；歸納總結(jié)

一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常數(shù)，a≠0),當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=b2-4ac＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.反之亦成立.把Δ=b2-4ac稱(chēng)為根的判別式，本文將對(duì)運(yùn)用“Δ”解題進(jìn)行探討.

一、不解方程，判斷方程根的情況

例1（2010年上海）已知一元二次方程x2+x-1=0，下列判斷正確的是().

A備梅匠逃辛礁魷嗟鵲氖凳根

B備梅匠逃辛礁霾幌嗟鵲氖凳根

C備梅匠濤奘凳根

D備梅匠談的情況不確定

分析計(jì)算Δ=b2-4ac的值，判斷方程根的情況.

解∵Δ=b2-4ac=12-4×1×（-1）=5＞0，

∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選B.

拓展延伸觀察題中a，c的符號(hào)有什么特點(diǎn)及符合這一特點(diǎn)的方程根的情況.

歸納總結(jié)判斷數(shù)字系數(shù)的一元二次方程根的情況先計(jì)算Δ=b2-4ac的值，再判斷方程根的情況，其中a，c異號(hào)時(shí)，一元二次方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

例2（2008年山東威海）關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+(m-2)=0的根的情況是（）.

A庇辛礁霾幌嗟鵲氖凳根

B庇辛礁魷嗟鵲氖凳根

C泵揮惺凳根

D蔽薹ㄈ范

分析計(jì)算“Δ”的值，判斷出方程根的情況；在解題時(shí)要能對(duì)根的判別式進(jìn)行配方是本題的關(guān)鍵.

解∵關(guān)于x的方程x2-2mx+(m-2)=0中，

Δ=m2-4×（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4＞0，

∴無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選A.

拓展延伸已知：關(guān)于x的方程mx2-(3m-2)x+2m+2=0，求證：方程總有實(shí)數(shù)根.

歸納總結(jié)判斷字母系數(shù)方程的根的情況的關(guān)鍵：(1)對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)要分類(lèi)討論，先確定方程的類(lèi)型；(2)再對(duì)根的判別式配方，確定Δ的符號(hào)，判斷方程根的情況.

二、已知方程根的情況，求未知的字母系數(shù)的取值范圍

例3（2011年重慶江津區(qū)）已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）.

分析根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得出Δ＞0，注意二次項(xiàng)系數(shù)a-1≠0.

解Δ＝4-4（a-1）＝8-4a＞0，得a＜2.

又a-1≠0，∴a＜2且a≠1.故選C.

拓展延伸如題目改為：若方程（a-1）x2-2x+1＝0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍？

歸納總結(jié)根據(jù)方程根的情況，確定待定系數(shù)的范圍：（1）對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)要分類(lèi)討論，先確定方程的類(lèi)型；（2）再根據(jù)方程根的情況，列出不等式或方程；（3）解不等式或方程.

三、拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題

拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0),令y=0，得ax2+bx+c=0，方程的解就是拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此當(dāng)Δ=b2-4ac＞0時(shí),拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，拋物線(xiàn)與x軸相交；當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，拋物線(xiàn)與x軸相切；當(dāng)Δ=b2-4ac＜0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，拋物線(xiàn)與x軸相離.反之亦成立.

例4（2011年江蘇南京）已知函數(shù)y=mx2-6x+1（m是常數(shù)）.

（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)y軸上的一個(gè)定點(diǎn)；

（2）若該函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值.

分析（1）根據(jù)解析式可知，當(dāng)x=0時(shí)，與m值無(wú)關(guān)，故可知不論m為何值，函數(shù)y=mx2-6x+1的圖像都經(jīng)過(guò)y軸上一個(gè)定點(diǎn)（0，1）.

（2）應(yīng)分兩種情況討論：①當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，利用根的判別式解答.

解（1）（0，1）.

（2）①當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)y=-6x+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

②當(dāng)m≠0時(shí)，若函數(shù)y=mx2-6x+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程mx2-6x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ=（-6）2-4m=0，m=9.

綜上所述，若函數(shù)y=mx2-6x+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為0或9.

拓展延伸題中拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)會(huì)是拋物線(xiàn)的什么點(diǎn)？拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離如何求呢？說(shuō)說(shuō)自己的想法.

歸納總結(jié)拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)與x軸的交點(diǎn)取決于Δ=b2-4ac的值，并且與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這個(gè)交點(diǎn)一定是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)距離=Δ|a|.

四、拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題

直線(xiàn)y=kx+m(k，m是常數(shù)，k≠0)與拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)交點(diǎn)的坐標(biāo)即是方程組y=kx+m，

y=ax2+bx+c的解，消去y得一元二次方程ax2+bx+c=kx+m，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與直線(xiàn)y=kx+m交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=kx+m的根，因此一元二

次方程ax2+bx+c=kx+m根的情況就決定了直線(xiàn)y=kx+m與拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，當(dāng)Δ=b2-4ac＞0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交；當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，直線(xiàn)是拋物線(xiàn)的切線(xiàn)；當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相離.反之亦成立.

例5（2008年湖南益陽(yáng)）我們把一個(gè)半圓與拋物線(xiàn)的一部分合成的封閉圖形稱(chēng)為“蛋圓”，如果一條直線(xiàn)與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線(xiàn)叫做“蛋圓”的切線(xiàn).如圖，點(diǎn)A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為(1，0)，半圓半徑為2.

(1)請(qǐng)你求出“蛋圓”拋物線(xiàn)部分的解析式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；

(2)你能求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的“蛋圓”切線(xiàn)的解析式嗎？試試看；

(3)開(kāi)動(dòng)腦筋想一想，相信你能求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線(xiàn)的解析式.

分析（1）由A，B，D三點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線(xiàn)解析式.

（2）連接CM,作CE⊥CM交x軸于E,直線(xiàn)CE就是半圓的切線(xiàn).

（3）Δ=0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切.

解（1）由題意可知A(-1,0)，B(3,0)，D(0,-3)，拋物線(xiàn)為y=x2-2x-3,-1≤x≤3.

(2)連接CM,作CE⊥CM交x軸于E,直線(xiàn)CE就是半圓的切線(xiàn).

∵OM=1,CM=2，∴OC=3，即C(0,3).

由題意可知△CEO∽△MCO,OE=3，即E（-3,0）.

∴直線(xiàn)CE的解析式為y=33x+3.

（3)設(shè)過(guò)D(0,-3)的切線(xiàn)為y=kx-3,則拋物線(xiàn)y=x2-2x-3與直線(xiàn)y=33x+3有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程x2-2x-3=33x+3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，Δ=0，∴k=-2,過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)為y=-2x-3.

拓展延伸a取何值時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2+2x+4與直線(xiàn)y=-2x有一個(gè)交點(diǎn)、兩個(gè)交點(diǎn)、沒(méi)有交點(diǎn)？

歸納總結(jié)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題，根的判別式Δ=b2-4ac的值決定了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交點(diǎn)的個(gè)數(shù).反之亦成立.

根的判別式Δ=b2-4ac在代數(shù)式變形、解方程（組）、解不等式、研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中都有廣泛的應(yīng)用，由于篇幅有限，筆者只是粗淺地談了它的四個(gè)應(yīng)用，未盡之處，敬請(qǐng)諒解.