王憲

【摘要】本文通過對莫比烏斯圈和普通環(huán)圈的制作過程與生成機理的比較后發(fā)現(xiàn)：莫比烏斯圈不是三維物體；再通過對生成莫比烏斯圈的不同方式的敘述，最終得出莫比烏斯圈不是三維物體的結(jié)論；如果能夠確定莫比烏斯圈不是三維物體，對正確認識莫比烏斯圈有現(xiàn)實意義.（因為我國正在小學教育階段推進介紹和認識莫比烏斯圈）

【關(guān)鍵詞】莫比烏斯圈；主體坐標系；從屬坐標系；雙重三維坐標；非三維物體；合成運動

一、關(guān)于莫比烏斯圈

1蹦比烏斯圈的形成

莫比烏斯圈是由［德國］數(shù)學家莫比烏斯先生在150年前公布于世的.

隨后，科學家就把莫比烏斯圈定位在數(shù)學領(lǐng)域的拓撲學分支里，其數(shù)學定義：單側(cè)的、閉路的、反轉(zhuǎn)定向的曲面.這樣的莫比烏斯圈最終只剩下一個“表面”和一條“邊緣”了.（見圖1下部和圖2）

2蹦比烏斯圈與普通環(huán)圈不同

經(jīng)過觀察不難發(fā)現(xiàn)：普通環(huán)圈和莫比烏斯圈除了在制作方法和制作過程上完全不同以外，還表現(xiàn)在——如果在普通環(huán)圈和莫比烏斯圈的表面劃線并沿線進行裁剪，其裁剪結(jié)果竟會完全不同.

當對普通環(huán)圈的表面劃線并沿線裁剪時，能得到也只能得到——若干個與原圈等周長的“窄”普通環(huán)圈，而不會得到其他種類的環(huán)圈.

當對莫比烏斯圈的表面劃線并沿線裁剪時，其裁剪結(jié)果卻有兩種：

（1）在莫比烏斯圈表面劃一條中線并沿線將該圈剪開，會得到一個比原圈周長長一倍、比原圈寬度窄一半的普通環(huán)圈（見圖3）.

（2）在莫比烏斯圈表面劃2條平均分布的等距離線條并沿線條將該圈剪開，則不僅能得到一個比原圈周長長一倍、比原圈寬度窄23的普通環(huán)圈，同時還能在其中心部位再得到一個單獨的、比原圈寬度窄23，且周長與原圈等長的“窄”莫比烏斯圈（見圖4）.

（以上關(guān)于莫比烏斯圈的裁剪結(jié)果已經(jīng)成為所有中外數(shù)學書籍里，對莫比烏斯圈進行介紹的一部分）唯此，從莫比烏斯圈和普通環(huán)圈的制作方法與裁剪結(jié)果的不同可以說明，它們并不是同類物體！

二、莫比烏斯圈不是三維物體

為了證明普通環(huán)圈與莫比烏斯圈不是同類物體，下面通過兩種不同的制作和生成該兩種環(huán)圈的方法來比較并進一步證明.

1鋇諞恢種譜骱蛻成方法

制作普通環(huán)圈的方法如前文（1以及圖1）中描述的步驟進行.

而制作和生成莫比烏斯圈則需要通過兩個相互關(guān)聯(lián)的三維坐標系統(tǒng)（下文稱雙重三維坐標體系）來共同完成的.

首先，看第一個三維坐標系（xOy）（下文稱主導三維坐標系）（見圖5）.其原點位置為O，該主導三維坐標系x-y平面上有一個以O(shè)為圓心的“正圓”.該“正圓”就是莫比烏斯圈表面中心位置的基本軌跡線.

其次，看第二個三維坐標系（x′O′y′）（下稱從屬三維坐標系）（見圖6）.該從屬三維坐標系的原點位置為O′，處在主導三維坐標系內(nèi)的“正圓”與x軸的交點上，從屬三維坐標系內(nèi)x′—y′平面上的設(shè)定目標可以繞O′進行有規(guī)則運動.但該設(shè)定目標的有規(guī)則運動必須按照主導、從屬兩個三維坐標系之間相互依存，對應旋轉(zhuǎn)、位移、扭轉(zhuǎn)的特殊函數(shù)關(guān)系進行.

必須明確的是：主導和從屬三維坐標系在立體空間具體的相對位置關(guān)系上是相互平行或垂直的（見圖5，6），其中（xOy）的三個參數(shù)（xn，yn，zn）為自變量，（x′O′y′）的三個參數(shù)（x′n，y′n，z′n）為因變量，且主體和從屬三維坐標系之間應服從（x′，y′）=F（x，y）的對應關(guān)系.

這就建立了具有相互依存關(guān)系的雙重三維坐標系統(tǒng).在該系統(tǒng)里，整個從屬三維坐標系是主導三維坐標系里的一個整體運動單元，隨主體三維坐標系做有規(guī)律的運動——公轉(zhuǎn)；而從屬三維坐標系里運動單元自身的運動，則與主導運動有著嚴格的對應受控運動關(guān)系——自轉(zhuǎn).因此，處在該系統(tǒng)內(nèi)設(shè)定目標的最終運動形式為合成運動.（既有公轉(zhuǎn)，又有自轉(zhuǎn)）

圖7是從屬三維坐標系整體在（xOy）x—y平面上，沿“正圓”軌跡移動的示意圖.（圖中未畫出0°~45°等處對應圖形）

在圖8里有一個左邊帶小圓圈的“⊥”形符號，該符號中的豎直線是一條起始于O′點，且垂直于x′軸，同時，它又是一條既平行于（xOy）z軸，也平行于（x′O′y′）y′軸的直線.另外，該符號中左邊帶小圓圈的橫線是一條既平行于（xOy）x軸，也平行于（x′O′y′）x′軸，且屬于該x′軸的一條直線，并且該直線的中點過（x′O′y′）原點坐標O′，且垂直y′軸的直線.

下面就以圖8中“⊥”形符號作為基本單元來描述生成莫比烏斯圈的過程：當從屬三維坐標系整體在（xOy）x—y平面內(nèi)繞O旋轉(zhuǎn)2°（或1°）的同時，（x′O′y′）內(nèi)x′—y′平面上過O′的直線也對應旋轉(zhuǎn)1°（或0.5°）.當從屬三維坐標系整體沿（xOy）x—y平面上的基圓旋轉(zhuǎn)、位移一周（360°）回到起始點O時，左邊帶小圓圈的“⊥”形符號也在x′—y′平面上繞O′旋轉(zhuǎn)半周（180°）回到起始位置O′，此時該符號卻正好被顛倒過來（見圖8）.如果將雙重三維坐標體系中被逐漸位移、旋轉(zhuǎn)的“⊥”形符號的空間中各點依次順序連接起來，就可以生成標準的莫比烏斯圈.（用“⊥”形符號的目的是使讀者易于觀察）

由此看出：生成莫比烏斯圈必須由相互依存的雙重三維坐標體系共同完成，單獨的三維坐標系無法生成莫比烏斯圈.（理由一）

2鋇詼種制作和生成方法

制作和生成普通環(huán)圈可以用下面的方式：先在主導三維坐標系的x—y平面內(nèi)生成以原點O為圓心的“正圓”，然后在z軸的“正、負”方向上對“正圓”進行拉伸，就可以制作和生成普通環(huán)圈（見圖9）.

制作和生成莫比烏斯圈可以這樣完成：以x軸和“正圓”的交點為（x′O′y′）的原點O′，將已生成的外表面是藍顏色的、內(nèi)表面是紅顏色的普通環(huán)圈剪開.

在（x′O′y′）的x′—y′平面內(nèi)，以原點O′為扭轉(zhuǎn)中心，對普通環(huán)圈的一個端頭進行有規(guī)律的對應扭轉(zhuǎn)，其對應扭轉(zhuǎn)規(guī)律為：（x′O′y′）沿（xOy）在X—Y平面內(nèi)連續(xù)旋轉(zhuǎn)的同時，將（x′O′y′）內(nèi)x′—y′平面上的普通環(huán)圈肌體的對應段進行對應扭轉(zhuǎn)；當（x′O′y′）整體沿（xOy）基圓在x—y平面上旋轉(zhuǎn)、位移一周（360°）回到起始點O時，普通環(huán)圈的肌體也在x′—y′平面上繞O′扭轉(zhuǎn)半周（180°）回到起始位置O′，該環(huán)圈的肌體表面正好被翻轉(zhuǎn)過來，也就生成了莫比烏斯圈.（圖10是電腦用此法生成的莫比烏斯圈）

從圖10中可以看到：設(shè)定目標的運動結(jié)果是由雙重三維坐標體系中各坐標軸參數(shù)之間相互影響、連續(xù)變化的結(jié)果.正是這個相互影響和連續(xù)變化，才使得莫比烏斯圈的肌體上根本無法找到二維、三維線段或曲線.唯此足可以證明：莫比烏斯圈不是三維物體?。ɡ碛啥?/p>

三、莫比烏斯圈是“非三維”產(chǎn)物

下面用圖5，6，7，8，9，10來進一步證明莫比烏斯圈不是三維產(chǎn)物.

（1）在圖5的雙重三維坐標體系中（xOy）的三個平面與（x′O′y′）的三個平面之間有著一一對應的關(guān)系.

（2）當圖6里（x′O′y′）的x′—y′平面上y′軸的數(shù)值發(fā)生變化時，必然會影響并導致（xOy）的x—z平面上z軸的數(shù)值產(chǎn)生變化（其余軸類推），最終導致整個雙重三維坐標體系內(nèi)所有數(shù)軸上的數(shù)值發(fā)生變化.

（3）當圖7中（xOy）的x—y平面上，以原點O為圓心旋轉(zhuǎn)，則（x′O′y′）里z′軸上的數(shù)值就會發(fā)生變化，這就必然導致（xOy）里各個數(shù)軸上的各數(shù)值直接或間接參與了、或發(fā)生了變化！

（4）當圖8中的“⊥”形符號整體沿x—y平面上繞O旋轉(zhuǎn)360°的同時，還在x′—y′平面內(nèi)繞O′對應扭轉(zhuǎn)180°，如果連接該符號在空間相互對應的各個點，就會產(chǎn)生一種空間弧線.（該空間弧線不能產(chǎn)生于單獨的三維坐標體系.因為在單獨的三維坐標體系產(chǎn)生的空間弧線一定是某種對稱旋轉(zhuǎn)體表面的對稱母線，而該空間弧線則需經(jīng)受六個維度上的扭曲變形.）（理由三）

（5）這里假設(shè)圖9所生成的普通環(huán)圈外表面是藍顏色的，內(nèi)表面是紅顏色的.按照圖10的方式對其進行剪斷（假設(shè)剪斷處位于從屬三維坐標系的原點O′），將該環(huán)圈的各對應部分在雙重三維坐標系統(tǒng)內(nèi)進行有規(guī)律的繞O旋轉(zhuǎn)360°和繞O′扭轉(zhuǎn)180°，并最終回到O′.此時，該普通環(huán)圈已經(jīng)被變化成莫比烏斯圈.唯此可以證明：“非三維”物體可以由三維物體演變而來，條件是雙重三維坐標系統(tǒng)內(nèi)各個維度上的具體參數(shù)必須全部相互影響并參與變化.這是任何一個三維物體所無法具備的.（理由四）

由于莫比烏斯圈是在雙重坐標體系內(nèi)生成的，當在三維環(huán)境里對莫比烏斯圈進行裁剪時，其被裁剪下來的部分就解除了該坐標體系對它的“非三維”約束，其表現(xiàn)為被裁剪下來的是“窄”普通環(huán)圈；而剩余部分仍保留原“非三維”物體的基本形態(tài)，其表現(xiàn)為“窄”莫比烏斯圈.或者說：在莫比烏斯圈的肌體內(nèi)將同時存在兩種狀態(tài)——普通環(huán)圈（三維狀態(tài)）和莫比烏斯圈（“非三維”狀態(tài)），這種狀態(tài)會永久存在，且無法用人為干預的方式將其改變！（相關(guān)內(nèi)容請查閱論文《莫比烏斯圈的反?，F(xiàn)象》）（理由五）

最后引述數(shù)學泰斗談祥柏先生的判斷來證明莫比烏斯圈不是三維物體.談老曾在《數(shù)學廣角鏡》P118中明確指出：在現(xiàn)實世界中克萊因瓶是無法被制造出來的！（其實該論點的本質(zhì)是：克萊因瓶不是三維物體）數(shù)學家已證明：每個克萊因瓶是由兩個莫比烏斯圈組合而成的.而莫比烏斯圈通體圓潤，渾身都是空間曲線，沒有一條二維直線、曲線以及三維直線、曲線.因此，莫比烏斯圈不是三維物體，而是“非三維”物體?。ɡ碛闪?/p>

四、結(jié)論

莫比烏斯圈不是三維物體，而是人類沒有完全認知的“非三維”物體！

五、莫比烏斯圈里仍有未解之謎

是的，莫比烏斯圈里仍然存有許多鮮為人知的奧秘，莫比烏斯圈、莫比烏斯現(xiàn)象及其莫比烏斯原理也沒有得到學術(shù)界的認可，但并不影響我發(fā)表一孔之見，我將在專題論文《莫比烏斯圈的反?，F(xiàn)象》和《重新認識莫比烏斯圈》里進一步闡述和探討莫比烏斯圈的相關(guān)問題.

當然，提交本文的真實目的是渴望能得到您對莫比烏斯圈、現(xiàn)象和原理作出更權(quán)威的準確詮釋和更睿智的思想升華！

【參考文獻】

［1］［德］莫比烏斯（1790—1868），數(shù)學家、天文學家，1858年公布莫比烏斯圈.

［2］［蘇聯(lián)］伏·巴爾佳斯基.拓撲學奇趣.長沙：湖南教育出版社，1999：43.

［3］華應龍.神奇的莫比烏斯帶.北京第二實驗小學精品課程，2005（1）：11-15.

［4］周康玲.上帝的骰子.發(fā)明與革新，2001年連載.

［5］談祥柏.數(shù)學廣角鏡.南京:江蘇教育出版社，1998：118.