周會(huì)會(huì)

【摘要】70年代初，F(xiàn)isher Black和Myron Scholes取得了一個(gè)重大突破，推導(dǎo)出基于無(wú)紅利支付股票的任何衍生證券的價(jià)格f必須滿足的方程：筬箃+rS筬筍+12σ2S22f筍2=rf.他們運(yùn)用該方程推導(dǎo)出股票的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值.本文我們利用風(fēng)險(xiǎn)中性估值工具來(lái)證明Black睸choles公式及其在歐式期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】Black睸choles公式；風(fēng)險(xiǎn)中性；期權(quán)定價(jià)

一、Black睸choles微分方程的性質(zhì)

筬箃+rS筬筍+12σ2S22f筍2=rf.

1蓖頻

dS=μSdt+σSdBt，

df=筬筍μS+筬箃+12·2f筍2σ2S2dt+筬筍σSdBt.

因?yàn)楣善眱r(jià)格和衍生證券價(jià)格都受同一種不確定性的影響，即股價(jià)變動(dòng)，所以可以建立無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合.在無(wú)套利機(jī)會(huì)條件下，該證券組合的收益必定為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r.（因?yàn)槿绻⒘艘环N恰當(dāng)?shù)墓善焙脱苌C券的投資組合，股票頭寸的盈利（損失）總是會(huì)與衍生證券的損失（盈利）相抵消，因而在短時(shí)期內(nèi)，證券組合的總價(jià)值就確定了.）

2斃災(zāi)

該方程不包含任何受投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好影響的變量，只出現(xiàn)：股票價(jià)格S，時(shí)間t，股票價(jià)格方差σ，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r等變量，它們都獨(dú)立于風(fēng)險(xiǎn)偏好.

如果方程中不存在風(fēng)險(xiǎn)偏好，那么風(fēng)險(xiǎn)偏好將不會(huì)對(duì)其解產(chǎn)生影響，因此，在對(duì)f進(jìn)行定價(jià)時(shí)，我們可以使用任何一種風(fēng)險(xiǎn)偏好.特別地，我們可以提出一個(gè)非常簡(jiǎn)單的假設(shè)，即所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的.在一個(gè)所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，所有證券的預(yù)期收益率皆為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，因而將其期望值用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)可獲得任何現(xiàn)金流的現(xiàn)值.

二、歐式看漲期權(quán)的Black睸choles公式推導(dǎo)

dSt=μStdt+σStdBt.

風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)過(guò)程θ=μ-rσ，它對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)中性概率為Q，其中，dQdP=exp(θBt)=exp-θBt-12θ2t.

Bt=Bt+θt在測(cè)度Q下是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)，

三、結(jié)論

本文在風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè)下對(duì)Black睸choles公式進(jìn)行了簡(jiǎn)單的證明，并給出了歐式看漲和看跌期權(quán)的定價(jià)公式.另外，利用風(fēng)險(xiǎn)中性估值工具，還可以對(duì)其他期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，如美式期權(quán)定價(jià).

【參考文獻(xiàn)】

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