路洪香

數學思想是對數學知識和方法本質的認識，數學方法是解決數學問題、體現(xiàn)數學思想的手段和工具。數學思想方法是數學基礎知識的精髓，是形成學生良好認識結構的紐帶，是由知識轉化為能力的橋梁。日本數學教育家米山國藏在《數學的精神、思想與方法》中指出：“我搞了多年的數學教育，發(fā)現(xiàn)學生們在初中、高中接受數學知識，出校后不到一二年很快就忘掉了，然而不管從事什么業(yè)務工作，唯有深深銘刻于頭腦的數學精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點，都隨時的發(fā)生作用，使他們終身受益?！?/p>

數學教材中，不少題目隱含著常用的數學思想方法，這就是我們訓練學生掌握解決問題的能力，擺脫“題?！睉?zhàn)術，提高學生素質的有效的材料?，F(xiàn)行高中數學課程的具體目標也指出：“獲得必要的數學基礎知識和基本技能，理解基本的數學概念、數學結論的本質，……體會其中所蘊涵的數學思想和方法以及它們在后續(xù)學習中的作用?！笨v觀整個高中教材，主要的數學思想方法有：抽象概括、化歸、數學模型、優(yōu)化思想、函數思想、數形結合、歸納猜想、分類、類比、特殊化、換元法、配方法、統(tǒng)計思想等。而高中函數教學中常見的數學思想方法有如下四種：一是數形結合思想，二是分類討論思想，三是等價轉化思想，四是數學建模。

一、引舊啟新，反復讓學生感性地認識分類的誘因

結合一次函數，反比例函數，二次函數的值域問題，借助圖像，通過分類討論一次項系數、反比例系數、二次項系數的符號，得出不同的值域范圍，給學生以形象、直觀的感性認識，引導學生通過觀察圖像得出函數的值域范圍，并總結出要根據一次項系數、反比例系數、二次項系數的符號來分情況下結論。

結合分段函數的教學內容，進一步加深分類必要性的理解，明確分情況解題的合理性，感受分情況解題的原則——不重不漏。

二、引導學生，總結分類討論的時機與原則

結合教材2.3函數單調性的教學，啟發(fā)、引導學生自主地總結概括出分類討論的時機與原則：

（1）創(chuàng)設問題情景，引舊啟新：函數y=x2的圖像在y軸右側的部分是上升的，說明什么？怎樣用數學語言表示呢？同理，我們注意到y(tǒng)軸左側部分是下降的，明顯與前者不同，自然不能混為一談，必須分開來說明；

（2）師生互動，提升概念：增函數與減函數，由圖像提供的不同情況，我們清楚地知道函數圖像的變化趨勢可概括為這樣兩種情況，就必須針對這兩種情況去討論函數的單調性，從而得到概念。既不能“節(jié)外生枝”，也不能“丟三落四”，必須體現(xiàn)函數單調性的完整性與獨立性，即分類時針對各種情況逐一討論，不重不漏，這樣有利于學生把定義與直觀圖像結合起來（數形結合與分類討論），加深對概念的理解，學會有層次的，由整體到局部，再由局部到整體的邏輯思維能力，善于用運動變化的觀點去觀察分析事物。然后及時給出這種分析問題解決問題的數學思想方法就是分類討論。

（3）獨立填表，加深感性印象與理解。讓學生通過教材60頁習題2.3-2獨立填表，再通過對函數y=■，（k≠0）與yy=kx，（k≠0）中的系數k分k>0與k<0的討論得出各種不同情況，同時借助圖像直觀地得出單調區(qū)間及單調性，加深感性的印象與理解。

三、明確分類討論的內涵及使用依據與原則

1. 分類討論的內涵。分類思想是依據數學對象本質屬性的相同點和不同點，將數學對象劃分為不同種類分別進行研究或求解的一種數學思想。即針對問題的情況，首先選定一個標準，由始至終按照這個標準進行分類，然后“各個擊破”，它能幫助我們在解題、分析問題、解決問題時做到思維縝密、嚴謹、不重復、不遺漏，使我們在遇到對事物整體研究有困難時，可轉化成研究事物的各個局部。

2. 分類討論的使用依據。（1）根據數學概念進行分類討論，如求函數y=x2-1（0≤x≤1）x2（-1≤x≤0）的反函數。（2）根據函數性質進行分類討論，如例：如果a■大于a■（其中a>0，a≠0），求x的取值范圍。（3）根據圖形的形狀或位置進行分類討論：我們在研究指數函數y=ax（a>0且a≠1）的圖像和性質時，是先畫出y=2x與y=（■）x的圖像，然后由特殊到一般，得到a>1與00且a≠1）的圖像，然后進一步觀察得到指數函數y=ax（a>0且a≠1）的性質。在學習“對數函數的性質”時，同理亦可得到。

四、創(chuàng)設問題情景，引領學生自主提升

教師努力為學生創(chuàng)設問題情境，將學生置于分類討論的數學問題情境之中，讓學生不由自主地依據函數的性質進行分類討論來解題。

舉例說明：求函數f（x）=lg（ax-k2x），（a>0且a≠1，k∈R）的定義域。分析：要使函數f（x）有意義，則ax-k2x>0，得（■）x>k，這是一個指數不等式，我們知道指數函數的值域是（0，+∞），那么如果k非正，則此式恒成立；若k>0，則需對（■）x>k兩邊取對數，這時根據對數函數的性質，我們知道：當底數大于1時，對數函數為增函數；當底數小于1，大于0時，對數函數為減函數。這里指數的底含有參數，則需要對其討論；特別的，當a=2時，k<1，則當00的前提下，否則必錯。這要求分類的層次必須清晰，對參數的討論結果必須是分類下結論；而對自變量的討論，在每一討論層里，取交集；在下結論時，應是各討論層間取并集。

滲透數學思想方法的教學，是個慢功夫，不能一蹴而就，還要注意反復強化訓練。但在滲透教學的過程中師生均受益。首先，能夠加深教師對教材內容的理解程度，提高教師對數學知識的駕馭能力；如果教師能夠有效地將數學知識與數學思想方法進行有機結合，并能深入淺出的滲透給學生，那可謂該教師為自己與學生開掘了一眼“泉”，能夠高屋建瓴。其次，學生一旦接受并領悟到數學思想方法的內涵與真諦，必將如虎添翼，能夠深刻理解知識、靈活運用知識解決問題，并形成分析問題、解決問題的能力，更主要的是獲得了終生受益的數學思維能力。

世界著名的數學家和數學教育家喬治·波利亞說過：“完善的思想方法就猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路?！?/p>