孔慧

隨著素質(zhì)教育的深入開展，數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)這一對提高學(xué)生各方面能力有巨大促進作用的獨立課程將受到學(xué)校教學(xué)的高度重視。中學(xué)數(shù)學(xué)研究性課題的開發(fā)也將備受重視。

目前，在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中，課堂仍是主陣地。因此，立足于課堂，深入挖掘教材是開發(fā)研究性課題的基礎(chǔ)。本文從如何充分使用挖掘教材的角度來淺談研究性課題的開發(fā)。

1.從例題中發(fā)掘研究性課題

經(jīng)過新一輪的數(shù)學(xué)教科書的改革，現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材更加注重例題中情境的創(chuàng)設(shè)，許多例題不但具有明顯的開放性，蘊含著更多的時代氣息，而且與現(xiàn)實生活和社會有著更緊密的聯(lián)系。以教材中的例題作為研究性課題的開發(fā)源泉，有利于研究性課題與學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)基本知識緊密結(jié)合，既體現(xiàn)了可行性原則又使學(xué)生看到和感受到所學(xué)的數(shù)學(xué)知識不僅是一個理論的空架子，而且是具有實際用途的工具，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強學(xué)生投身于研究性學(xué)習(xí)的積極性。

如人教版高中數(shù)學(xué)新編教科書A版124頁例6：某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表1：

（1）根據(jù)表1提供的數(shù)據(jù)，你能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似的反應(yīng)這個地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的關(guān)系？試寫出這個函數(shù)模型的解析式。

（2）若體重超過相同身高男性體重平均的1.2倍為偏胖低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為175cm體重為78kg的在校男生的體重是否正常？

此例突破以往數(shù)學(xué)例題中條件與結(jié)論的和諧性，例題具有真實性，貼近在校學(xué)生生活實際，學(xué)生樂意學(xué)習(xí)。通過學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)歷直觀發(fā)現(xiàn)、觀察猜想、大膽設(shè)計、合理推證。整個解題過程中貫穿了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)與方程思想，通過學(xué)習(xí)使學(xué)生進一步加深了對函數(shù)建模的理解。其中三角函數(shù)的應(yīng)用發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。鑒于此題的優(yōu)點再結(jié)合研究性課題開發(fā)的原則。可設(shè)計如下源于課本知識又高于課本知識的研究性課題。

課題1：與體重有關(guān)的因素的調(diào)查研究：

（1）參照124頁例6你能否調(diào)查出咱班男生的體重還與哪些因素有關(guān)？

（2）選出一種你認(rèn)為與體重關(guān)系比較密切的因素搜集相關(guān)數(shù)據(jù)，整理成表格并分析此種因素是如何對體重產(chǎn)生影響的？

（3）嘗試建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型；

（4）驗證你的模型是否正確。

上述設(shè)計的課題較課本例題多了調(diào)查與搜集數(shù)據(jù)的過程，使學(xué)生不再局限于課堂學(xué)習(xí)，鍛煉了學(xué)生提出問題和搜集數(shù)據(jù)的能力。而第四個問題對學(xué)生能力的要求比較高。但學(xué)生只要“跳一跳就夠得著”。針對第四個問題老師可以指出有關(guān)的參考書如：《中學(xué)數(shù)學(xué)建?！?，葉其孝著，湖南教育出版社，1998年9月?！吨袑W(xué)數(shù)學(xué)建模讀本》，孔凡海編，江蘇教育出版社。還可以給出一些網(wǎng)站供學(xué)生查詢。此類課題不僅可鍛煉學(xué)生查閱，搜集資料的能力，還可以鍛煉學(xué)生的自學(xué)能力。通過自學(xué)可以讓學(xué)生接觸到建立數(shù)學(xué)模型的一種常用方法——數(shù)據(jù)擬合法。這就與大學(xué)的課程聯(lián)系了起來，從而讓研究性課題上升到一定的高度，并有助于學(xué)生消除頭腦中所形成的“數(shù)學(xué)僅是高考敲門磚”的錯誤思想。同時要求學(xué)生利用圖形計算器研究他所選擇的因素與體重有怎樣的變化規(guī)律。這種由實際問題引入，建立數(shù)學(xué)模型，利用圖形計算器直觀地反映實際問題的變化規(guī)律，可使學(xué)生更好地理解函數(shù)的意義，認(rèn)識到數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，既體現(xiàn)數(shù)學(xué)解決實際問題的價值，又增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的動機和信心。

2.從閱讀材料中發(fā)掘研究性課題

人教版高中數(shù)學(xué)教科書A版中每章都有一到兩篇“閱讀材料”，為我們開發(fā)研究性課題提供了好的素材。

閱讀材料中有些介紹了一些數(shù)學(xué)的發(fā)展史，通過這些閱讀材料，我們可以探尋數(shù)學(xué)歷史中的重大事件，發(fā)現(xiàn)隱藏在這些事件背后的故事。使學(xué)生了解某一方面數(shù)學(xué)知識的發(fā)展歷史，了解此數(shù)學(xué)知識在社會發(fā)展中的作用。如：高三數(shù)學(xué)第二章的閱讀與思考介紹了斐波那契數(shù)列的產(chǎn)生背景，重要性質(zhì)及與斐波那契數(shù)列相關(guān)的一些社會現(xiàn)象或生命活動，同時還介紹其在社會生活中的應(yīng)用。

課題2：通過閱讀與斐波那契數(shù)列的有關(guān)資料及通過觀察驗證斐波那契數(shù)列，請研究如下的問題：

（1）你能否發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的其他一些性質(zhì)？

（2）瀏覽互聯(lián)網(wǎng)或查閱相關(guān)書籍看看可能你得出的結(jié)論是否正確？從你搜集的資料中你又能得到斐波那契數(shù)列的那些性質(zhì)？

（3）考查斐波那契數(shù)列在實際生活中有哪些應(yīng)用？

有些閱讀材料講述了一些數(shù)學(xué)家的偉大發(fā)現(xiàn)及生平趣聞。從中我們可以開辟新的途徑去設(shè)計研究性課題使學(xué)生不但能了解杰出的數(shù)學(xué)家及其貢獻(xiàn)，還可以探尋出數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)其偉大發(fā)現(xiàn)時是如何思考，如何進行探索的。這有助于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維能力。如：數(shù)2第三章的閱讀與思考“笛卡爾與解析幾何”通過這則閱讀材料可以設(shè)計研究性課題。

還有些閱讀材料介紹了與現(xiàn)實生產(chǎn)或生活中密切相關(guān)的一些數(shù)學(xué)知識。如：數(shù)學(xué)3第二章中的閱讀材料“生產(chǎn)過程中的質(zhì)量控制圖”。通過這則閱讀材料可以設(shè)計如下的研究性課題：

課題3：（1）談?wù)勀銓?biāo)準(zhǔn)差的認(rèn)識；（2）舉出一個總體分布在產(chǎn)品質(zhì)量控制中的應(yīng)用的例子，并說明總體分布是如何實現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量控制的？

3.從教材中的數(shù)學(xué)概念及定理中發(fā)掘研究性課題

整個中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，貫穿其中的是“定義—定理—證明—應(yīng)用”，如此規(guī)范的模式展示給學(xué)生的只是組織好了的，近似完美的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，卻掩蓋了數(shù)學(xué)產(chǎn)生及數(shù)學(xué)家學(xué)創(chuàng)造活動的其他重要因素。對這些概念及定理從何而來？為何而來？幾乎茫然無知。弗賴登塔爾認(rèn)為教學(xué)不應(yīng)該將數(shù)學(xué)作為一種現(xiàn)成的產(chǎn)品提供給學(xué)生，而應(yīng)該讓學(xué)生在自主的活動中把數(shù)學(xué)“做出來”，這種活動的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”，“再創(chuàng)造”為學(xué)生記憶數(shù)學(xué)知識提供直接經(jīng)驗的支持，是彌補語言信息局限、健全記憶結(jié)構(gòu)的重要手段。良好的記憶結(jié)構(gòu)不僅包含抽象系統(tǒng)的學(xué)科知識，還包括大量隱性的、形象的經(jīng)驗背景。所以挖掘和揭示教科書中的概念和定理的產(chǎn)生與形成過程，并將學(xué)生的思維引入知識的發(fā)現(xiàn)及再發(fā)現(xiàn)的過程中去，以促進學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力的發(fā)展。同時，還可研究一些定理的應(yīng)用，從而加深對定理的理解及增強對知識的靈活應(yīng)用能力。針對某個概念或定理，我們可以設(shè)計相關(guān)的研究性課題。

課題4：函數(shù)概念的由來與發(fā)展

函數(shù)知識是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。學(xué)生是否真正理解函數(shù)概念關(guān)鍵在于其表象（函數(shù)的解析式、圖像等）的形成與發(fā)展水平。這一研究性課題的開設(shè)不但可使學(xué)生頭腦中對函數(shù)有一個清醒的認(rèn)識，為學(xué)習(xí)以后的各種函數(shù)打下堅實的基礎(chǔ)，而且可使學(xué)生意識到數(shù)學(xué)是不斷發(fā)展變化的，每一次發(fā)展變化都凝結(jié)著人類的智慧。

課題5：韋達(dá)定理的應(yīng)用

韋達(dá)定理也就是根與系數(shù)的關(guān)系定理是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容，開展對此定理的應(yīng)用的研究，不但可以鞏固學(xué)生所學(xué)的知識，而且可以開闊學(xué)生的思維，使學(xué)生全面地看待問題。

4.從教材的其他教學(xué)內(nèi)容中發(fā)掘研究性課題

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容除例題、概念、定理外還含有大量豐富多彩的內(nèi)容，其中必蘊含著大量的可供研究的課題。這種來源于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的研究性課題不但讓學(xué)生有效地鞏固了所學(xué)的內(nèi)容，更重要的是可讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)是一個有機整體，很多知識不是像教科書所呈現(xiàn)的那樣好像彼此之間是孤立的，而是相互聯(lián)系的。這有助于學(xué)生從多角度、多層次思考問題，從而使解決問題的策略更加靈活多樣。若我們從數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容上發(fā)掘研究性課題，則將使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識及鍛煉數(shù)學(xué)能力達(dá)到事半功倍的效果。在學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之后，可讓學(xué)生對數(shù)進行一番研究。

課題6：漫談e：

（1）通過查閱資料談?wù)剶?shù)e的由來；

（2）談?wù)剶?shù)e的發(fā)展史；

（3）以為底的對數(shù)為何稱為自然對數(shù)？

（4）談?wù)勚笖?shù)函數(shù)ex，對數(shù)函數(shù)lnx的一些應(yīng)用.

通過以上方面讓學(xué)生開展研究性課題，從而使學(xué)生揭開e，ex及l(fā)nx的神秘面紗，使學(xué)生通過親身體會感悟到現(xiàn)實的需要產(chǎn)生了數(shù)學(xué)，然后又用數(shù)學(xué)的結(jié)論去解決更多的實際問題。從而有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。