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語(yǔ)義真值在謂詞邏輯中的運(yùn)用

2012-04-29 20:18:20唐曉陽(yáng)蔡愛國(guó)
群文天地 2012年6期
關(guān)鍵詞:函數(shù)

唐曉陽(yáng) 蔡愛國(guó)

摘要:討論了謂詞邏輯的語(yǔ)義真值情況,闡明了邏輯學(xué)中數(shù)學(xué)函數(shù)概念的引入,探討了量詞二次函數(shù)概念的產(chǎn)生,得到了三條定理:謂詞表達(dá)的語(yǔ)義真值是函數(shù);函數(shù)具有延展性,如果函數(shù)f和函數(shù)g有著相同的延展,那么f=g;謂詞表達(dá)是一次函數(shù),自變量為物體輸出真值;真值連接函數(shù)為一次函數(shù),自變量為真值輸出真值;量詞為二次函數(shù),自變量為真值函數(shù)輸出真值。

關(guān)鍵詞:語(yǔ)義真值;謂詞邏輯;函數(shù)

語(yǔ)義真值在謂詞邏輯中的運(yùn)用是弗雷格的一個(gè)重大發(fā)現(xiàn),他成功的把數(shù)學(xué)中的函數(shù)概念引入到邏輯中,從而使得許多問題迎刃而解。本文就數(shù)學(xué)函數(shù)是如何引入到邏輯學(xué)中的,以及如何形成真值連接函數(shù)等問題進(jìn)行了探討,并研究了與其相關(guān)的定理。

1.純數(shù)學(xué)角度的函數(shù)(function)

試舉一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)“y=3x”,那么這里y就是x的函數(shù)。當(dāng)x取不同的自然數(shù)時(shí)候,我們也會(huì)得到不同的y。這里的x我們就稱之為函數(shù)的自變量。所以自變量是1,得到3;自變量是2,得到6;自變量是3,得到9......我們可以把這個(gè)函數(shù)表達(dá)成下面這種形式:

{(0,0),(1,3),(2,6)(3,9),(4,12),(5,15).......}

我們把這種形式稱之為函數(shù)的延展。y=x可以稱之為“一個(gè)自變量的函數(shù)”,當(dāng)然也可以有“兩個(gè)自變量的函數(shù)”,如:z=x+y。這里有兩個(gè)自變量,要得到函數(shù)的結(jié)果就必須同時(shí)給x,y分別一個(gè)自然數(shù),運(yùn)用上面的形式可以表達(dá)成

{(0,0,0),(1,0,1),(1,1,2),(2,1,3),(2,2,4).....}

回顧一下函數(shù)的整個(gè)運(yùn)作過程,例如“y=3x”,那么當(dāng)我們?nèi)為1的時(shí)候,1*3=3,所以y=3.當(dāng)我們?nèi)為2的時(shí)候,2*3=6,所以y=6.依次類推3*3(y=9),4*3(y=12)。我們可以看出這種表達(dá)實(shí)際上就是“y=3()”,然后我們把一個(gè)個(gè)自然數(shù)添入到()里面去。這就是未知數(shù)x的本質(zhì)意義,x可以代表任何自然數(shù),相當(dāng)于一個(gè)(),而為了方便數(shù)學(xué)運(yùn)算,我們引入了x這個(gè)符號(hào)代表這一意義。這樣,當(dāng)我們不給x取值的時(shí)候,整個(gè)函數(shù)就沒有辦法輸出結(jié)果。而當(dāng)寫下“y=3x”的時(shí)候,本質(zhì)上還是“y=3()”。這里x沒有任何的輸入,所以在弗雷格的觀點(diǎn)中,函數(shù)是不飽和或者不完整。與此相對(duì)的,特有名詞和陳述句子是飽和的。這里我們就解釋了弗雷格眼中的數(shù)學(xué)函數(shù)概念,下面解釋如何用這一觀點(diǎn)來(lái)看連接詞。

2.連接詞(connective)

考慮下面一個(gè)陳述連接詞,否定“-”,如果給這個(gè)陳述連接詞加上一個(gè)“p”,變成“-p”那么當(dāng)“p”為真的時(shí)候“-p”就為假,“p”為假的時(shí)候,“-p”就為真。那么我們可以把此表達(dá)成:

-{(T,F),(F,T)}

這樣就變成了一個(gè)擁有有限延展的函數(shù),自變量是真值,輸出結(jié)果也是真值。像這種輸出和輸入結(jié)果都是真值的函數(shù)我們稱之為真值連接函數(shù),同理利用邏輯真值知識(shí),我們可以寫出其余陳述表達(dá)詞的函數(shù)延展。

&{(F,F,F),(F,T,F),(T,F,F),(T,T,T)}

V{(F,F,F),(F,T,T),(T,F,T),(T,T,T)}

P→Q{(F,F,T),(F,T,T),(T,F,F),(T,T,T)}

P?Q{(F,F,T),(F,T,F),(T,F,F),(T,T,T)}

這里討論了用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看連接詞,下面討論謂詞的語(yǔ)義真值和函數(shù)在其中發(fā)揮的作用。

3.謂詞和量詞(predicate and quantifier)

首先讓我們考慮下面一個(gè)表達(dá):

①.....是偶數(shù)

通過上面數(shù)學(xué)函數(shù)的知識(shí),我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)表達(dá)不飽和,有一個(gè)空缺的地方等待數(shù)值的添入,我們隨意填進(jìn)去幾個(gè)數(shù)字

②2是偶數(shù)

③3 是偶數(shù)

④4 是偶數(shù)

很明顯,“2是偶數(shù)”和“4是偶數(shù)”是正確的,也就是說語(yǔ)義真值為真。“3是偶數(shù)”是錯(cuò)誤的,也就是說語(yǔ)義真值為假。那么順著這個(gè)思路,我們用函數(shù)延展形式來(lái)表達(dá)①

{(0,T),(1,F(xiàn)),(2,T),(3,F(xiàn)),(4,T),(5,T)......}

所以①可以看成是一個(gè)函數(shù),自變量是自然數(shù),得出的結(jié)果是真值。

同樣的我們可以再舉一個(gè)例子

⑤ .......是圓的

那么用同樣的表述方式可以將此寫成:

{(網(wǎng)球,T),(足球,T),(籃球,T),(保齡球,T),(書桌,F(xiàn))}

那么我們可以看出,⑤也是一個(gè)函數(shù),自變量是生活中物體,輸出結(jié)果是真值。一般來(lái)說謂詞邏輯總是一個(gè)自變量為物體,輸出結(jié)果為真值的函數(shù)。弗雷格把函數(shù)的輸出結(jié)果總是真值的函數(shù)稱之為真值函數(shù)(concept)。

這里,我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)謂詞表達(dá)中起到?jīng)Q定真值決定作用的是函數(shù),那么得到定理1:

定理1:謂詞表達(dá)的語(yǔ)義真值是函數(shù)

又因?yàn)槲覀冎篮瘮?shù)是延展性的,并且結(jié)合陳述邏輯中的定理“替換一個(gè)復(fù)雜表達(dá)其中一部分表達(dá)成另外一個(gè)具有相同語(yǔ)義真值的表達(dá),該復(fù)雜表達(dá)的語(yǔ)義真值保持不變”.我們可以得出定理2:

定理2:函數(shù)具有延展性:如果函數(shù)f和函數(shù)g有著相同的延展,那么f=g

這樣我們就得到了謂詞邏輯的兩條公式。下面讓我們看謂詞邏輯中比較特殊的量詞。首先讓我們看一個(gè)全稱量詞的情況。首先確定全稱量詞的范圍.

{李白,杜甫,老子,孔子}

然后是謂詞表達(dá):

⑥所有人都是中國(guó)人

用函數(shù)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)就是:x:所有人;Gx:.....是中國(guó)人。所以⑥就表達(dá)成 ( x)Gx。這里就出現(xiàn)了兩個(gè)函數(shù),先選一個(gè)人物帶入其中試試看。取值“x=李白”,很明顯李白是中國(guó)人,所以Gx語(yǔ)義真值為T。到了這一步?jīng)]有辦法進(jìn)行下去,因?yàn)?x是所有的人,而這里只討論了李白的情況,所以接下來(lái)把全稱量詞范圍中剩余人名寫出來(lái),很明顯其余情況Gx也是T。那么所有的x得到的Gx都是真, x的語(yǔ)義真值也是真。讓我們把x用函數(shù)延展表達(dá)出來(lái):{(TTTT,T)},這里的函數(shù)是多對(duì)一的情況。

上述過程可以看出,全稱量詞表達(dá)也是一個(gè)函數(shù),但是它是第二步計(jì)算的函數(shù)。必須把其它函數(shù)的真值全部算出來(lái)才能考慮全稱量詞的函數(shù)。同理,一個(gè)存在量詞表達(dá)也是第二步計(jì)算的函數(shù)。弗雷格把量詞表達(dá)稱之為二次函數(shù),二次函數(shù)的自變量為真值函數(shù)(concept)?,F(xiàn)在回過頭來(lái)看(x)Gx這個(gè)函數(shù),我們可以先列出高等級(jí)的二次函數(shù)形式,把一次函數(shù)看成自變量。于是得到:

(x)()

那么如果 x要為真,那么 x的所有自變量都必須要為真。而我們又知道 x的自變量是真值函數(shù)Gx,列出Gx的函數(shù)延展形式:

{(李白,T),(杜甫,T),(老子,T),(孔子,T)}

那么這里Gx中所有自變量輸出值都是T,因此x的所有自變量都是T。因?yàn)閤的所有自變量都是T,所以x為T。這樣就利用了二次函數(shù)的概念,重新解釋了一下該命題。下面讓我們把命題做一個(gè)小小改動(dòng),來(lái)看一下存在量詞。

存在量詞取值范圍:{李白,杜甫,孔子,愛迪生},表達(dá)如下:

⑦ 有些人是中國(guó)人。

同樣我們可以表達(dá)成( x)Gx。那么(x)()為真的條件就是存在自變量為真的情況。下面列出Gx的函數(shù)延展。

{(李白,T),(杜甫,T),(老子,T),(愛迪生,F(xiàn))}

盡管Gx的輸出結(jié)果有一個(gè)F,但是它滿足了x的自變量至少有一個(gè)為真的情況,所以 x的語(yǔ)義真值為真。

通過學(xué)習(xí)這些最基本的函數(shù)在邏輯中的運(yùn)用。便可歸納成定理3:

定理3:謂詞表達(dá)是一次函數(shù),自變量為物體輸出真值;真值連接函數(shù)為一次函數(shù),自變量為真值輸出真值;量詞為二次函數(shù),自變量為真值函數(shù)輸出真值。

了解了語(yǔ)義真值在謂詞邏輯中的運(yùn)用,如能結(jié)合語(yǔ)義真值在陳述邏輯中的運(yùn)用,便可對(duì)語(yǔ)義真值這一概念有一個(gè)較為全面的認(rèn)識(shí)。

參考文獻(xiàn):

[1]常立濤. 勃克斯因果陳述邏輯理論評(píng)析[J].畢節(jié)學(xué)院學(xué)報(bào), 2010(6).

[2]王寅. 認(rèn)知語(yǔ)言學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ): 體驗(yàn)哲學(xué)[J].外語(yǔ)教學(xué)與研究, 2002(2).

[3]王路譯,《弗雷格哲學(xué)論著選輯》[M].北京:商務(wù)印書館,2006.

(作者單位:江南大學(xué)人文學(xué)院)

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