蔡顥

摘要文章在簡(jiǎn)要介紹了微積分和土木工程兩個(gè)學(xué)科基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，全面分析了兩者的內(nèi)在聯(lián)系，并提出了微積分在土木工程學(xué)科領(lǐng)域的主要方面應(yīng)用。

關(guān)鍵詞微積分木工程應(yīng)用

1土木工程與微積分的概述

1.1土木工程與微積分二者的學(xué)科聯(lián)系

土木工程是建造各類工程設(shè)施的科學(xué)技術(shù)的統(tǒng)稱土木工程是建造各類工程設(shè)施的科學(xué)技術(shù)的統(tǒng)稱。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和工程實(shí)踐的發(fā)展，土木工程這個(gè)學(xué)科也已發(fā)展成為內(nèi)涵廣泛、門類眾多、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合體系。微積分（Calculus）則指高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分（Differentiation）、積分（Integration）以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。

兩者分屬不同學(xué)科，但在實(shí)踐中卻有著密切的聯(lián)系。為了便于理清兩者的關(guān)系，首先有必要簡(jiǎn)單地介紹一下微積分和土木工程這兩個(gè)不同學(xué)科。

現(xiàn)在我們通常所說(shuō)的土木工程，泛指用石、磚、鋼材、木材、合金材料及塑料等材料在地球表面的土層或巖層上建造起來(lái)的與人類生活、生產(chǎn)活動(dòng)有關(guān)的工程設(shè)施。土木工程設(shè)施的類型包括建筑工程、公路與城市道路工程、鐵路工程、橋梁工程、隧道工程、水利工程、港口工程、給水排水工程、環(huán)境工程及海洋工程等。①土木工程是一門學(xué)科，稱為“土木工程學(xué)”，它運(yùn)用數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科知識(shí)和力學(xué)、材料科學(xué)等技術(shù)科學(xué)知識(shí)，以及“土木工程學(xué)”方面的工程技術(shù)知識(shí)等來(lái)綜合研究工程的設(shè)計(jì)原理、施工技術(shù)和實(shí)施手段。

微積分（Calculus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分（Differentiation）、積分（Integration）以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。其內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)主要包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，則包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。

通過(guò)上述的介紹，我們已清楚地知道在土木工程項(xiàng)目的前期計(jì)算、施工過(guò)程與工程造價(jià)中是無(wú)法離開(kāi)微積分的。只有通過(guò)微積分的科學(xué)而具體的計(jì)算，才能使土木工程項(xiàng)目的具體實(shí)踐活動(dòng)變得更加精確、具體、高效和科學(xué)。

1.2微積分的發(fā)展歷程

微積分起源與古代。在公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問(wèn)題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的《莊子·天下篇》一書中也有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”之說(shuō)。②三國(guó)時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中也提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無(wú)所失矣?！边@些都是樸素的、典型的極限概念。

到了十七世紀(jì)，許多科學(xué)問(wèn)題需要用微積分來(lái)解決，歸結(jié)起來(lái)，主要有四種類型的問(wèn)題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問(wèn)題；第二類是求曲線的切線問(wèn)題；第三類問(wèn)題是求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題；第四類是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力問(wèn)題。

十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問(wèn)題作了大量的研究工作，從而為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。例如，1666年牛頓建立了“反流數(shù)術(shù)”，即現(xiàn)在的積分法，同年，牛頓將他的研究成果整理成一篇總結(jié)性的論文《流數(shù)簡(jiǎn)論》，確定了現(xiàn)代微積分的基本方法。這篇文獻(xiàn)是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。而德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲則在系統(tǒng)研讀了笛卡爾、費(fèi)馬、帕斯卡等人的著作，從巴羅的“微分三角形”開(kāi)始了微積分的研究工作，創(chuàng)立“無(wú)窮小算法”。牛頓與萊布尼茲兩位數(shù)學(xué)家最大的功績(jī)就是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問(wèn)題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問(wèn)題（微分學(xué)的中心問(wèn)題），一個(gè)是求積問(wèn)題（積分學(xué)的中心問(wèn)題）。19世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來(lái)又經(jīng)過(guò)德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。

微積分發(fā)展為越來(lái)越復(fù)雜的土木工程項(xiàng)目提供了科學(xué)的運(yùn)算手段。

2微積分在土木工程中的具體應(yīng)用

目前，在某些大學(xué)中的土木工程專業(yè)本科培養(yǎng)計(jì)劃中，其主要課程設(shè)置包括大學(xué)數(shù)學(xué)、大學(xué)物理、理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)土力學(xué)、土木工工程制圖、混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理、鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理、土木工程施工等。其中，專業(yè)基礎(chǔ)課中必修課有8門，與微積分有密切聯(lián)系的占了4門，專業(yè)課程共有8門，同樣有4門與微積分密切相關(guān)（測(cè)量學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、土力學(xué)、房屋建筑學(xué)等）。③不僅如此，只要我們上網(wǎng)瀏覽一下相關(guān)高校的土木工程本科培養(yǎng)計(jì)劃就會(huì)發(fā)現(xiàn)，幾乎所有大學(xué)的土木工程專業(yè)本科培養(yǎng)計(jì)劃中的課程設(shè)置都離不開(kāi)微積分和三大力學(xué)（理論力學(xué)、材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)）。

2.1微積分在土木工程中的建筑設(shè)計(jì)的作用

目前，我們可以毫不夸張地說(shuō)，微積分貫穿于每一項(xiàng)具體的土木工程項(xiàng)目之中。例如，在建筑的設(shè)計(jì)過(guò)程中，一些長(zhǎng)度較大的跨江或跨海大橋，以及高速公路、高速鐵路等，它們的設(shè)計(jì)會(huì)因?yàn)榈匦位虻貏?shì)的原因，從而無(wú)法避免地出現(xiàn)彎道和有弧度的路面、護(hù)坡剖面、隧道。在這種情況下，如何去計(jì)算道路建造的長(zhǎng)度和開(kāi)挖土方量等？很顯然，在橋梁、隧道或道路修好后，再去現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量是不現(xiàn)實(shí)的。正因?yàn)槿绱?，在每一個(gè)土木工程項(xiàng)目施工前，就必須科學(xué)編制一個(gè)詳細(xì)的項(xiàng)目施工說(shuō)明書（或招投標(biāo)書）。而要編制該項(xiàng)目書，就必須用到微積分的相關(guān)知識(shí)，對(duì)每一路段、橋涵或標(biāo)段的圓弧進(jìn)行積分，將一小段的圓弧取極限，將它們看作是一段直線，最后對(duì)各個(gè)小直線進(jìn)行相加，以此來(lái)算出總的彎道和弧度長(zhǎng)度，從而科學(xué)計(jì)算出總工程量，以便招投標(biāo)和科學(xué)施工。

另外，某些建筑物的殼體型屋頂，它在每一高度下應(yīng)該彎曲多大的角度，也會(huì)用到微積分中多元求導(dǎo)的知識(shí)。例如，法國(guó)巴黎國(guó)家工業(yè)與技術(shù)展覽中心大廳的混凝土薄殼結(jié)構(gòu)是當(dāng)今世界上跨度最大的薄殼結(jié)構(gòu)。它平面呈三角形，邊長(zhǎng)219米，殼體離地46米，是雙洪波拱體，支撐在三角部墩座上，墩座由預(yù)應(yīng)力拉桿而成。在它的設(shè)計(jì)過(guò)程中，就必須考慮到在不同的高度其x、y，還有z方向的彎曲角度。此時(shí)就必須用到微積分中的多元求導(dǎo)的知識(shí)。在室內(nèi)的旋轉(zhuǎn)樓梯中，因?yàn)閷?duì)與樓梯的總高度與旋轉(zhuǎn)的總角度是由于具體的施工場(chǎng)所而決定的。但是，在具體的施工過(guò)程中，其具體在某一個(gè)高度它的旋轉(zhuǎn)角度數(shù)值大小，同樣需要用微積分知識(shí)來(lái)計(jì)算出來(lái)。所以微積分關(guān)于對(duì)長(zhǎng)度和弧度等計(jì)算在土木工程是非常有用的。

2.2微積分在建筑結(jié)構(gòu)荷載方面的應(yīng)用

建筑物的荷載主要為恒載、可變荷載、風(fēng)荷載以及地震作用幾大部分。④

恒載：房屋是由承重的結(jié)構(gòu)構(gòu)件（如基礎(chǔ)、柱、墻、梁、板等）和一些非結(jié)構(gòu)構(gòu)件（如樓地面面層、屋面保溫防水層、頂棚、墻面上的門窗及抹灰層等）構(gòu)成的。在工程中將這些由結(jié)構(gòu)構(gòu)件和非結(jié)構(gòu)構(gòu)件的自重所引起的荷載叫恒載或永久荷載。

可變荷載：建筑物除了承受恒載之外，還會(huì)受人群、家具、儲(chǔ)存物等可變荷載，其作用的位置均可隨時(shí)間而改變。

風(fēng)荷載：風(fēng)的作用是不規(guī)則的，風(fēng)對(duì)建筑物的影響會(huì)隨風(fēng)速、風(fēng)向的變化而不停地改變。而建筑物在這種波動(dòng)風(fēng)的作用下往往會(huì)產(chǎn)生晃動(dòng)。

地震作用：地震會(huì)引起的地面運(yùn)動(dòng)，并通過(guò)房屋影響到上部的建筑結(jié)構(gòu)。地震時(shí)所產(chǎn)生的地基水平、垂直運(yùn)動(dòng)形態(tài)，會(huì)使建筑物受到破壞性影響，如同站在地毯上的人受到某種力的作用而不由自主地?fù)u晃。⑤

例如，在杭州灣跨海大橋的設(shè)計(jì)時(shí)，它的北航道橋?yàn)橹骺?48m的鉆石型雙塔雙索面鋼箱梁斜拉橋，南航道橋?yàn)橹骺?18m的A型單塔雙索面鋼箱梁斜拉橋，由于它采用了斜拉橋的建筑工藝來(lái)建造道橋。對(duì)于橋面的支撐由許多鋼索來(lái)完成，對(duì)于每一根鋼索的受力大小，作建筑設(shè)計(jì)和施工工程中都需要用微積分來(lái)精確計(jì)算。此外，在水利工程中的拱壩修建施工，因拱壩是平面上呈凸向上游的拱形擋水建筑物，借助拱的作用將水流壓力的全部或部分傳給河谷兩岸的基巖。與重力壩相比，在水壓力作用下壩體的穩(wěn)定不需要依靠本身的重量來(lái)維持，主要是利用拱壩兩端基巖的反作用來(lái)支承。所以對(duì)于壩體單位迎水面積的應(yīng)力大小的計(jì)算，也是通過(guò)數(shù)學(xué)中的極限來(lái)進(jìn)行計(jì)算的。當(dāng)然，通過(guò)微積分對(duì)建筑的荷載進(jìn)行受力分析時(shí)，我們還需要用到物理學(xué)中的“結(jié)構(gòu)力學(xué)”相關(guān)知識(shí)。但不管怎樣，在土木工程項(xiàng)目設(shè)計(jì)和施工中的具體求解時(shí)，微積分就是我們最有力的工具。

微積分在土木工程項(xiàng)目設(shè)施和施工中發(fā)揮著舉足輕重的作用，它從建筑目標(biāo)的測(cè)量到工程量計(jì)算，到建筑物的外形設(shè)計(jì)，再到建筑物荷載的分析等等都離不開(kāi)微積分這一科學(xué)的技術(shù)支撐手段。而現(xiàn)代建筑正是因?yàn)橛辛宋⒎e分這一技術(shù)支撐手段，才使我們的土木工程項(xiàng)目設(shè)計(jì)和施工變得更加準(zhǔn)確和科學(xué)，從而也使我們建造的建筑物更加安全、舒適、美觀、環(huán)保和低碳！