袁紅霞

概率是處理隨機(jī)現(xiàn)象（不確定現(xiàn)象）的一門科學(xué)，這些內(nèi)容是一種“不確定性數(shù)學(xué)”內(nèi)容，與傳統(tǒng)的“確定性數(shù)學(xué)”內(nèi)容有較大區(qū)別。最近聽了不同年級關(guān)于概率的幾節(jié)課，引發(fā)了我對概率知識及課堂處理的思考。

片段一：在二年級課題為“可能性”的公開課上，老師講了可能性的一些例子后，設(shè)計(jì)了讓學(xué)生講一講生活中的“一定”“可能”“不可能”的例子。許多學(xué)生講對了，但有一個(gè)學(xué)生講的例子是：“我們一定要注意安全?！崩蠋煪q豫了一下，給出的評價(jià)是“好”。受此影響，接下來幾個(gè)學(xué)生講的例子是：“上課我們一定要認(rèn)真聽講。”“媽媽明天一定會(huì)來看我?！薄俺燥埱耙欢ㄒ词??！崩蠋煯?dāng)時(shí)沒有反應(yīng)過來，未能及時(shí)糾正學(xué)生的錯(cuò)誤。

思考：概率上的“一定”、“可能”、“不可能”分別對應(yīng)概率為1、0—1、0，和生活中的語言“一定”是有本質(zhì)區(qū)別的。課堂上學(xué)生講的例子“上課我們一定要認(rèn)真聽講”、“吃飯前一定要洗手”中的“一定”其實(shí)是“應(yīng)該”，是一種倡導(dǎo)性的語言。而“媽媽明天一定會(huì)來看我”中的“一定”其實(shí)是很可能。我們不能因?yàn)檎Z句中出現(xiàn)了“一定”“可能”“不可能”等詞匯，就認(rèn)為它屬于數(shù)學(xué)“可能性”的研究范疇。我認(rèn)為教師在實(shí)際教學(xué)中不要設(shè)計(jì)這樣的問題，以避免和生活語言混淆，而應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平，設(shè)計(jì)能判斷的不確定現(xiàn)象或隨機(jī)現(xiàn)象，例如，“任意找兩個(gè)自然數(shù)，它們的和可能是雙數(shù)，可能是單數(shù)?！钡?。

片段二：三年級的“等可能性”，四人小組在裝有3個(gè)紅球、3個(gè)黃球的口袋中重復(fù)摸球40次。6個(gè)小組合計(jì)摸到紅球119次，黃球121次。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：摸到紅球的次數(shù)和黃球的次數(shù)差不多。老師對此作推理：在口袋里任意摸一個(gè)球，摸到每個(gè)球的可能性一樣大；由于紅球和黃球的數(shù)量相等，因此摸到紅球和黃球的可能性相等。

思考：根據(jù)口袋里有3個(gè)紅球、3個(gè)黃球，學(xué)生憑直覺能判斷摸到紅球與黃球的可能性相等。但是，這個(gè)年齡階段的學(xué)生不適宜通過這樣的推理得出結(jié)論，只有在直觀的操作活動(dòng)中加以感受。尚且操作活動(dòng)得出的結(jié)果并不是事件發(fā)生的可能性，而是事件發(fā)生的頻率。因此如果不理解教材的編排特點(diǎn)，不理解教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)，在教學(xué)過程當(dāng)中稍不留意就會(huì)出現(xiàn)“越位”。

為了讓學(xué)生逐步感受、體會(huì)概率知識，從二年級開始，概率的基本思想方法即有序進(jìn)入學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)視野。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求和學(xué)生的認(rèn)知水平，教材在第一、二兩個(gè)學(xué)段分四次安排教學(xué)可能性的知識。教材編排不僅在取材上以“摸球”“轉(zhuǎn)盤”的相似情境貫穿前后，體現(xiàn)出很強(qiáng)的連貫性和整體感，而且在教學(xué)要求上也是逐漸提升，各有側(cè)重，既有連續(xù)性又有發(fā)展性，層層推進(jìn)，拾級而上。這樣，就能使教學(xué)的針對性、有效性更強(qiáng)。

片段三：四年級的“游戲規(guī)則的公平性”，通過“拋硬幣”讓學(xué)生理解“出現(xiàn)正面和反面的可能性都是一樣的”。小組活動(dòng)“拋硬幣”后，一位老師巡視了各小組記錄單后，只讓那些正反面次數(shù)相差不大的小組匯報(bào)，而沒有讓那些正反面次數(shù)相差較大的小組匯報(bào)。然后，老師指著匯總的數(shù)據(jù)說：“同學(xué)們經(jīng)過試驗(yàn)，大部分同學(xué)出現(xiàn)正反面的次數(shù)相差不多，所以，任意拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的可能性都是一樣的?！?/p>

思考：老師對學(xué)生“拋硬幣”的結(jié)果這樣處理，顯然是一種錯(cuò)誤的概率觀。其實(shí)只要符合獨(dú)立重復(fù)的條件，學(xué)生的試驗(yàn)都是正確的，他們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也是有價(jià)值的。教師可以將學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果全部匯報(bào)出來，縱觀各組數(shù)據(jù)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：有時(shí)正面朝上多，有時(shí)反面朝上多，有時(shí)一樣多，正面朝上的次數(shù)和反面朝上的次數(shù)差不多。說明游戲是公平的。這樣讓學(xué)生做出比較和分析，對公平性有一個(gè)豐富的、全面的、正確的認(rèn)識。

由于教師概率知識缺乏，對“頻率與概率”“試驗(yàn)與結(jié)果”等概念認(rèn)識不清，一些教師往往會(huì)在潛意識中對試驗(yàn)結(jié)果有一些錯(cuò)誤的希望，例如在裝有4個(gè)紅球和4個(gè)白球的袋中重復(fù)摸球，“摸得次數(shù)足夠多，摸到紅球和白球的次數(shù)會(huì)相等”“摸的次數(shù)足夠多，摸到紅球和白球的次數(shù)相差很小”“摸的總次數(shù)越多，摸到紅球和白球的次數(shù)相差得越小”“公平的游戲輸贏的次數(shù)應(yīng)該差不多”“公平的游戲平的次數(shù)最多”等。也有的教師試圖用概率的統(tǒng)計(jì)意義（即用頻率估計(jì)概率的方法），引導(dǎo)學(xué)生用“猜想—驗(yàn)證”的方式來讓學(xué)生理解等可能性，或證明設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則是否公平，這是違背概率論的。“等可能性”可以從概率的古典定義的角度去認(rèn)識——因?yàn)閽伒慕Y(jié)果只有兩種可能，且兩種結(jié)果的可能性相等，所以該隨機(jī)事件的概率是二分之一，卻不能通過試驗(yàn)、游戲來驗(yàn)證、證明；而試驗(yàn)、游戲可以讓學(xué)生體驗(yàn)等可能性和隨機(jī)性的辯證統(tǒng)一，培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)思維。在課堂上引入隨機(jī)試驗(yàn)，既不是讓學(xué)生得出次數(shù)相等的結(jié)果，又不是要驗(yàn)證、證明規(guī)則的公平性，更不是要利用試驗(yàn)得到概率的估計(jì)值，而是讓學(xué)生在進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)和收集數(shù)據(jù)的過程中，進(jìn)一步體會(huì)隨機(jī)的思想，感受、領(lǐng)悟等可能性。在教學(xué)中，教師要想心中有數(shù)、有的放矢地駕馭好涉及簡單概率知識這部分教材，必須較完整地學(xué)習(xí)概率知識，理清邏輯順序，梳理知識結(jié)構(gòu)，理解基本概念。

片段四：在教學(xué)“用分?jǐn)?shù)表示可能性大小”這一內(nèi)容時(shí)，例題1以猜左右爭奪發(fā)球權(quán)為情境，在教學(xué)這個(gè)例題時(shí)，老師引導(dǎo)討論交流:這樣的規(guī)則是公平的嗎?為什么?學(xué)生這樣解釋：人有兩只手，乒乓球在一只手里，所以可能性是二分之一。與例題2配套的“試一試”是在裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黃球的袋中摸球，摸到紅球的可能性是多少？學(xué)生這樣解釋五分之三的意義：一共有5個(gè)球，其中3個(gè)是紅球，所以摸到紅球的可能性是五分之三。

思考：例題和試一試提供的素材都是靜止的材料，即使學(xué)生沒有學(xué)習(xí)這一知識也能根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義得到表示可能性大小的分?jǐn)?shù)。于是老師認(rèn)為教材太簡單了，沒有多大的意義。實(shí)則不然，用分?jǐn)?shù)表示的概率，其分母表示一共有多少種可能性相等的情況，分子表示其中可能發(fā)生的幾種情況。這一教學(xué)內(nèi)容不僅要教會(huì)學(xué)生正確計(jì)算概率的方法，而且要注意引導(dǎo)學(xué)生理解概率的意義。如果一堂課下來，學(xué)生沒有這些概括、認(rèn)識，那么本堂課的知識目標(biāo)也就沒有達(dá)成，如解決練習(xí)十八第六題：小芳和小娟做“石頭、剪刀、布”的游戲，小芳獲勝的可能性是幾分之幾？學(xué)生就不能真正明白：求小芳獲勝可能性的大小要列舉出所有可能出現(xiàn)的情況和小芳獲勝的情況。

這里需要注意的是另一種思路：一回合的結(jié)果有三種：小強(qiáng)勝，小強(qiáng)負(fù)，平手，所以小強(qiáng)勝的可能性是三分之一。這種分析方法在這個(gè)具體問題當(dāng)中是正確的，但這不是一般的分析方法，因?yàn)檫@里的“小強(qiáng)勝”、“小強(qiáng)負(fù)”、“平手”都不是基本事件，都包含若干個(gè)基本事件，比如“小強(qiáng)勝”這個(gè)事件就包含“小強(qiáng)出石頭—小麗出剪刀，小強(qiáng)出剪刀—小麗出布，小強(qiáng)出布—小麗出石頭”這三種情況。之所以這里用這種方法得到的答案是正確的，是因?yàn)椤靶?qiáng)勝”“小強(qiáng)負(fù)”“平手”這三個(gè)事件包含的基本事件數(shù)都是三個(gè)，是相等的。

客觀地說，現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)教師系統(tǒng)學(xué)習(xí)過概率論知識的并不多，因此出現(xiàn)本位性知識缺失、知識體系把握不準(zhǔn)、數(shù)學(xué)思想挖掘不夠的現(xiàn)象不足為奇。而要引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)事件發(fā)生的隨機(jī)性、事件發(fā)生結(jié)果的必然性、大量隨機(jī)現(xiàn)象中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，教師就必須較深入地學(xué)習(xí)這些知識，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教師具備了扎實(shí)的數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)，才能夠全面把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識，教學(xué)才能統(tǒng)攬全局，還課堂教學(xué)以生命的靈性。