喻璟

數(shù)學(xué)同其他各學(xué)科一樣，在其發(fā)展過程中，形成了一套行之有效的數(shù)學(xué)思想.所謂數(shù)學(xué)思想，是對數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容和所使用的方法的本質(zhì)認識，是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識當中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果.數(shù)學(xué)思想除了指數(shù)學(xué)本身的論證、運算及應(yīng)用的手段以外，還應(yīng)包括關(guān)于對數(shù)學(xué)概念、理論、方法以及形態(tài)的產(chǎn)生與發(fā)展規(guī)律的認識.

培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要任務(wù)之一，數(shù)學(xué)能力包括學(xué)習數(shù)學(xué)的能力以及創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)能力.學(xué)習數(shù)學(xué)的能力，也就是在數(shù)學(xué)學(xué)習中，迅速而成功地掌握適當知識和技能的能力.蘇聯(lián)心理學(xué)家克魯捷茨基認為：學(xué)習數(shù)學(xué)的能力是創(chuàng)造性數(shù)學(xué)能力的一種表現(xiàn)，因此，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決問題的實踐能力的重要手段.

學(xué)生數(shù)學(xué)能力的形成大致可以分為三個階段，即由“三基”到“數(shù)學(xué)思想”最終形成“數(shù)學(xué)能力”.基本數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下駕馭數(shù)學(xué)知識，才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力，這不僅使數(shù)學(xué)學(xué)習變得容易，而且使其他學(xué)科的學(xué)習也變得容易，也只有通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力才會有一個大幅度的提高，掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓.按照上述觀點，數(shù)學(xué)教學(xué)不能滿足于單純的知識灌輸，而是要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西，用數(shù)學(xué)思想統(tǒng)領(lǐng)具體知識、具體問題的解決，循此培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.所以說，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要想深入領(lǐng)會數(shù)學(xué)的本質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，重視數(shù)學(xué)思想的滲透對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力所具有的重要意義.

數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容相當豐富，在日常教學(xué)過程中常用的有以下幾種數(shù)學(xué)思想：

1.函數(shù)與方程思想

函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)與方程思想是指從問題的數(shù)量關(guān)系入手，提出問題的數(shù)學(xué)特征，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進行問題的研究，有時還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，達到解決問題的目的.函數(shù)思想涉及的知識點多，范圍廣，經(jīng)常利用的性質(zhì)有：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性，函數(shù)的最大值和最小值，函數(shù)圖像的轉(zhuǎn)化等.在解決問題過程中，善于挖掘問題當中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)的解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)與方程思想的關(guān)鍵.對所給問題觀察、分析、判斷比較深入、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)模型.另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，用函數(shù)思想加以解決.

2.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又提示其幾何直觀，使數(shù)量間的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決.華羅庚先生說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.使用數(shù)形結(jié)合思想解題，往往能避免冗長的計算與推理，又能考評結(jié)論是否完整.數(shù)學(xué)中的許多知識，有的本身就可以看作是數(shù)形結(jié)合，比如，任意角的三角函數(shù)就是借助于直角坐標系或單位圓來定義的.

3.類比轉(zhuǎn)化思想

類比轉(zhuǎn)化思想是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法.通過不斷地轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題.類比轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中無處不見.眾所周知，直線與曲線這兩個數(shù)學(xué)概念是有嚴格區(qū)別的，初等幾何正是以這種區(qū)別為基礎(chǔ)建立起自己的理論體系的.但是，直線與曲線又是有著內(nèi)在聯(lián)系的，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化.比如在高等數(shù)學(xué)中，“無限”的條件下，直線與曲線可以當成是一回事.求曲邊梯形面積的計算就是先將曲線轉(zhuǎn)化成直線，然后再將直線轉(zhuǎn)化成曲線，充分體現(xiàn)了曲線與直線相互轉(zhuǎn)化的思想.正是運用這種思想，高等數(shù)學(xué)解決了很多初等數(shù)學(xué)碰得頭破血流也無法解決的課題.

4.分類討論思想

有時在解答某些數(shù)學(xué)問題時，會遇到多種情況，這時需要選定一個標準，根據(jù)這個標準將問題劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，并將這些小問題逐個加以求解，然后進行歸納小結(jié)，最后綜合得出結(jié)論，這就是分類討論思想.分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種典型的邏輯方法，有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探究性，能訓(xùn)練學(xué)生的思維條理性和概括性.進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏，不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級討論.

例如，設(shè)p≥1，求極限﹍im﹏→∞1+p+p2+…+p﹏-11+p+p2+…+p琻，在解題過程中，需要運用分類討論的思想，分p=1和p>1兩種情況加以討論：當p=1時，原式=﹍im﹏→∞猲n+1=﹍im﹏→∞11+1n=1；當﹑>1時，原式=﹍im﹏→∞1-p琻1-p﹏+1=﹍im﹏→∞1p琻-11p琻-p=1p，從而得解.

作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該深入地研究各種常用的數(shù)學(xué)思想，要透徹理解、熟練掌握它們的特點和作用；要把數(shù)學(xué)思想滲透在有關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)當中；要注意選擇適當?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容向?qū)W生系統(tǒng)地介紹各種數(shù)學(xué)思想；要有注意培養(yǎng)學(xué)生有意識地、主動地運用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題的習慣.只有這樣，才能開拓解題思路，才能改善解題方法的合理性和正確性，才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平和能力.