劉琳

高三的數(shù)學教學既要圍繞著鞏固基礎、訓練基本技能、掌握數(shù)學思想，又要培養(yǎng)學生的分析和解決問題能力.如何在比較緊的時間內(nèi)，盡可能地提高復習效率和質(zhì)量，從而提高學生分析和解決問題的能力呢？筆者在高三復習中，把互相關(guān)聯(lián)的知識通過變式教學融合在一起，使學生深刻理解所學知識，識別問題的本質(zhì)，從而有效提高教育教學質(zhì)量.所謂變式教學，具體地說，就是對概念、性質(zhì)、定理、公式以及數(shù)學問題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，使一題多解、一題多變、一法多題.下面談談變式的類型及其作用.

一、通過一題多變培養(yǎng)思維的深刻性，提高知識的深度

一題多變是在原題基礎上進行變通推廣，創(chuàng)設適當?shù)淖兪?，能讓學生多角度地理解知識，掌握知識的外延與內(nèi)涵，使其對知識能融會貫通.教師可通過改變例題中的一個條件、一個字、甚至一個標點符號，使原題意完全改變，打亂了學生的思維方式，讓學生在“似曾相識”但卻“似是而非”的問題中培養(yǎng)思維的深刻性，提高知識認識的深度.

例 解不等式：（x+3）（x-1）<0.設計下列的變式：

（1）解不等式：x+3[]x-1<0；（2）解不等式：x+3[]x-1<2；

（3）解不等式：x+3[]x-1≥2；（4）解不等式：x+3[]x-1≥2x；

（5）解不等式：x-a[]x-a2<0；（6）解不等式：a（x-1）[]x-2>1.

這些變式，由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，強化了解法中的易錯點，揭示出蘊含其中的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想方法，題量雖少，思維量卻很大，提高了課堂的容量和復習的效率.

二、通過多題一解開拓學生的思維，增加知識的廣度

在復習中將有關(guān)聯(lián)的高考題以題組的形式出現(xiàn)，使學生的認識以思想方法為線索將不同知識聯(lián)系起來，既達到數(shù)學思想方法的專項訓練，又能貫通知識提高應試的能力.

例 （1）已知函數(shù)f（x）=x3-4x2-3x與函數(shù)g（x）=bx的圖像恰有3個交點，求實數(shù)b的范圍.（等價于方程﹛（x2-4x-3-b）=0恰有3個不等實根，轉(zhuǎn)化為方程x2-4x-3-b恰有兩個非零不等實根，運用二次函數(shù)知識解決）

（2）曲線f（x）=x3-x2-x+a與x軸僅有一個交點，求實數(shù)a的范圍.（數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為f（x）的極大值小于零或極小值大于零求解）

（3）使函數(shù)f（x）=-x2+8x與g（x）=6lnx+m的圖像有且只有三個不同的交點.求出m的取值范圍.（構(gòu)造函數(shù)h（x）=x2-8x+6lnx+m與x軸有三個不同的交點，通過﹉（x）的極大值大于零且極小值小于零求解）

（4）設f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，ゝ（1）>0，求證：方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)有兩個實根.（即證F（x）=ax3+bx2+cx在（0，1）內(nèi)有一個極大值和極小值）

這組題可以讓學生對導數(shù)的極值與單調(diào)性有更新的認識，在探究中對這類問題的處理方法有足夠的認識，通過解一道題學會解一類題，達到舉一反三、觸類旁通的目的.

三、通過一題多解培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力

著名數(shù)學家波利亞曾經(jīng)說過，掌握數(shù)學就意味著要善于解題.一題多解的能力體現(xiàn)了學生對所學知識加以融會貫通的能力，體現(xiàn)了解題能力的強弱，是一種培養(yǎng)創(chuàng)新能力的重要思維方法而在復習中使用效果更佳.

例 已知a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求證：-1[]3≤c≤1.

根據(jù)問題的特征將式子轉(zhuǎn)化為a+b=1-c，

a2+b2=1-c2，

讓學生通過類比聯(lián)想，得到了幾種有代表性的解法：

（1）聯(lián)想到運用基本不等式a2+b2[]2≥a+b[]2；

（2）聯(lián)想到x+y=1-c，

x2+y2=1-c2，運用線性規(guī)劃知識，求得c的范圍；

（3）注意到-1≤a，b≤1，聯(lián)想到三角換元，令a=1-c2cosθ，b=1-c2sinθ，由輔助角公式得到；

（4）由a+b=1-c，

ab=c2-c，

構(gòu)造以a，b為根的一元二次方程，問題轉(zhuǎn)化為方程在[-1，1]有根和分布等.

這些解法包含了對函數(shù)、三角函數(shù)、基本不等式、線性規(guī)劃等知識的靈活應用，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新思維，提高了解決問題的創(chuàng)新意識.

四、通過學生自主變式發(fā)掘?qū)W習潛力

以課本的例題為基礎，要求學生盡可能多的自己改變題目、題型，大膽創(chuàng)新，以一題之例知百題之解，開放式例題變式教學更能淋漓盡致地發(fā)揮學生的創(chuàng)新能力.如：

原題 過拋物線y2=2px（p>0）的焦點的一條直線和此拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，求證：y1y2=-p2.

讓學生根據(jù)這一條件，展開聯(lián)想，得到：

求證：（1）x1x2=p2[]4；（2）AB=x1+x2+p=2p[]sin2θ，（θ為直線AB的傾斜角）；（3）S△AOB=p2[]2sinθ，（θ為直線AB的傾斜角）；（4）以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切等等.

還讓學生嘗試著對命題“加、減、反、變”進行思考，又得到了：

（1）逆命題：一條直線與拋物線y2=2px（p>0）交于〢（x1，獃1），B（x2，y2）兩點，滿足y1y2=-p2或x1x2=p2[]4，則這條直線過此拋物線的焦點.

（2）設過M（a，0）（a∈R）的一條直線與拋物線y2=2px（p>0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則x1x2=a2，﹜1y2=-2pa.

（3）過拋物線y2=2px（p>0）焦點的一條直線和此拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸，證明直線AC過原點.

總之，增值高三課堂復習效益，關(guān)鍵在于抓落實，如何以學生為主體，給學生提供一個思維平臺，讓他們都能動手動腦思考，使“雙基”更加扎實，獨立分析、解決問題能力得到充分發(fā)揮并有提高，變式就是一條有效的途徑.