張曉鳳

【摘要】差分和差分方程是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課內(nèi)容，在實際問題中許多變量的變化都是通過差分來分析的，差分方程x璶+1=Ax璶描述了動態(tài)系統(tǒng)的長期行為和演化，但由于中學(xué)生知識的局限性，并不能對這個長期行為進(jìn)行合理的分析.本文通過系統(tǒng)動力學(xué)及其研究工具讓學(xué)生體會動態(tài)系統(tǒng)的長期行為，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.

【關(guān)鍵詞】差分；系統(tǒng)動力學(xué)；中學(xué)數(shù)學(xué)

本文以數(shù)學(xué)課堂知識為背景，運用系統(tǒng)的觀點以及系統(tǒng)動力學(xué)的工具展開對相關(guān)問題的研究與討論，通過實驗、觀察、分析與想象，經(jīng)計算機進(jìn)行模擬和驗證，激發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中產(chǎn)生探究的欲望，通過系統(tǒng)思考和Stella的模擬，讓學(xué)生體會變量之間的關(guān)系，觀測動態(tài)系統(tǒng)的長期行為，在我們的實際教學(xué)活動中取得了較好的效果，在此給出兩個具體案例.

案例一 教師職業(yè)轉(zhuǎn)換預(yù)測問題

在某城市有15萬人具有本科以上學(xué)歷，其中有1.5萬人是教師，據(jù)調(diào)查平均每年有10%的人從教師職業(yè)轉(zhuǎn)化為其他職業(yè)，又有1%的人從其他職業(yè)轉(zhuǎn)化為教師職業(yè)，試預(yù)測5年后這15萬人中還有多少人在從事教師職業(yè).

這是一個簡單的差分方程問題，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)解法可以用x璶表示第n年后從事教師職業(yè)的人數(shù)，y璶表示第n年后從事其他職業(yè)的人數(shù)，則有

x璶+1=0.9x璶+0.01y璶，

y璶+1=0.1x璶+0.99y璶.ふ饈嗆有兩個未知數(shù)列{x璶}，{y璶}的一階線性差分方程組.如果已知初始值x0=1.5，y0=13.5，用迭代法求差分方程的解，把x0=1.5，y0=13.5代入方程組可得x1=1.48，y1=13.52.

通過計算學(xué)生們發(fā)現(xiàn)教師的人數(shù)一直在減少，其他職業(yè)的人數(shù)一直在增加，但教師人數(shù)是不是會一直減少下去而其他職業(yè)的人數(shù)一直增加呢？這種趨勢會不會因為教師和其他職業(yè)之間轉(zhuǎn)化率的改變而改變呢？我們通過Stella對教師人數(shù)和其他職業(yè)人數(shù)的長期行為進(jìn)行了模擬.按照題目設(shè)定參數(shù)，運行后的結(jié)果顯示11年后，教師人數(shù)和其他職業(yè)人數(shù)不再發(fā)生變化.學(xué)生們驚奇地發(fā)現(xiàn)，不論教師和其他職業(yè)人數(shù)的轉(zhuǎn)化率為多少，教師人數(shù)和其他職業(yè)人數(shù)的長期行為都將不會發(fā)生改變，系統(tǒng)最終存在穩(wěn)定狀態(tài).

案例二 捕食者與被捕食者系統(tǒng)

在某個生態(tài)環(huán)境中，貓頭鷹以鼠為食.因此，鼠數(shù)量增加，貓頭鷹數(shù)量也會增加，貓頭鷹數(shù)量的增加，又會使鼠的數(shù)量減少.而鼠數(shù)量減少，由于食物缺乏貓頭鷹的數(shù)量還會相應(yīng)地減少.顯然，它們的數(shù)量關(guān)系是相互制約的.為了更好地研究此生態(tài)系統(tǒng)中鼠和貓頭鷹的相互制約關(guān)系，下面考慮一個簡化“鼠—貓頭鷹生態(tài)模型”.

假設(shè)如果沒有鼠作食物，每個月只有40%的貓頭鷹可以存活；如果沒有貓頭鷹捕食，鼠的數(shù)量每個月會增長20%.如果鼠充足，貓頭鷹的數(shù)量會增加30%，另外平均每個月一只貓頭鷹可以吃掉鼠1000p只，我們把p稱為捕食參數(shù)，當(dāng)捕食參數(shù)發(fā)生變化時，系統(tǒng)也會隨之發(fā)生變化.如果用x璶表示第n年后貓頭鷹的數(shù)量，y璶表示第n年后鼠的數(shù)量，則有差分方程

x璶+1=0.4x璶+0.3y璶，

y璶+1=-px璶+1.2y璶.

如果已知初始值x0和y0，用迭代法求可以求出差分方程的解.但對于p的不同取值，生態(tài)系統(tǒng)會發(fā)生什么樣的變化呢？

首先建立系統(tǒng)模型，嘗試p分別取值0.1，0.2，0.3時，STELLA運行結(jié)果顯示，貓頭鷹和鼠的數(shù)量呈現(xiàn)出指數(shù)增長；而嘗試p值為0.4時，運行結(jié)果顯示貓頭鷹和鼠的數(shù)量在逐年增加后趨于穩(wěn)定狀態(tài)；最后嘗試p的取值大于0.4，貓頭鷹和鼠的數(shù)量先逐年增加，然后不斷地減少直至滅絕.

從以上的運行結(jié)果學(xué)生們清晰地看到，經(jīng)過充分長的時間之后，當(dāng)捕食參數(shù)小于0.4時，兩個種群都會增長，生態(tài)系統(tǒng)不斷膨脹；當(dāng)捕食參數(shù)等于0.4時，兩個種群數(shù)量都趨于一個穩(wěn)定值，生態(tài)系統(tǒng)趨于平衡；當(dāng)捕食參數(shù)大于0.4時，兩個種群終將滅絕，生態(tài)系統(tǒng)崩潰.

我們用情境教學(xué)的方法力求每名學(xué)生都能在輕松氛圍中學(xué)到知識，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.以課本知識為基礎(chǔ)，設(shè)立系統(tǒng)的情境教學(xué)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)思考的微妙法則，建立系統(tǒng)思考的基本概念，讓學(xué)生在學(xué)中玩兒，在玩兒中學(xué)，逐步讓教師的教授式學(xué)習(xí)退出課堂.實踐證明，通過系統(tǒng)的思考及Stella的模擬，加深了學(xué)生對問題的理解，并進(jìn)一步明確了變量之間的關(guān)系，為提高學(xué)生運用系統(tǒng)思考的方法在現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力起到了推動作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳錫軍，袁永根.系統(tǒng)思考和決策試驗.南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2001.

[2]吳錫軍.系統(tǒng)思考與系統(tǒng)動力學(xué)教程.南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2009.