權(quán)小剛

摘要： 利用待定系數(shù)法可將一元四次多項(xiàng)式分解為兩個(gè)二次多項(xiàng)式的乘積，通過(guò)解兩個(gè)一元二次方程達(dá)到求解四次方程的目的.

關(guān)鍵詞： 一元四次方程待定系數(shù)法分解因式方程的解

一、引言

一元四次方程有根式解法，就是費(fèi)拉里（Ferrari）解法．此解法亦稱(chēng)差分配方法．此方法是受一元三次方程求解方法的啟發(fā)而得到的．一元三次方程是在進(jìn)行了巧妙的換元之后，把問(wèn)題歸結(jié)成了一元二次方程從而得解的．于是，如果能夠巧妙地把一元四次方程轉(zhuǎn)化為一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解．本文利用待定系數(shù)法解一元四次方程.

二、主要結(jié)論

引理1：四次方程ax+ax+ax+ax+a=0（aa≠0）①可變形為四次方程y+ay+by+c=0②的形式．其中是a=，b=，c=．

由上述引理1知，所有的一元四次方程均可變形為y+ay+by+c=0（aa≠0），故只需討論②式的解法即可．當(dāng)b=0時(shí)，②式變?yōu)閥+ay+c=0，得y=，即y=±．下面總設(shè)b≠0．

定理2：y+ay+by+c=（y+py+m）（y-py+n），其中p，m，n是關(guān)于a，b，c的待定系數(shù)．

證明：設(shè)方程②有四根y，y，y，y，則有y+ay+by+c=（y-y）（y-y）（y-y）（y-y），因?yàn)閥-y，y-y，y-y，y-y四個(gè)式子中任取兩式相乘，必得首項(xiàng)為1的二次三項(xiàng)式，故y+ay+by+c=（y+py+m）（y+qy+n）．比較兩邊三次項(xiàng)系數(shù)有p+q=0，即p=-q，故y+ay+by+c=（y+py+m）（y-py+n）．

定理3：四次方程y+ay+by+c=0的根為y=和y=．其中p，m，n可通過(guò)a，b，c的有限次加、減、乘、除運(yùn)算得到．

證明：由定理2可設(shè)

y+ay+by+c=（y+py+m）（y-py+n）=y+（m+n-p）y+（pn-pm）y+mn.

比較上式兩邊系數(shù)，可得

m+n=p+a （Ⅰ）m-n=-（Ⅱ）mn=c （Ⅲ）③

由（Ⅰ），（Ⅱ）可得

m=p+a-?搖n=p+a+?搖④

上式代入（Ⅲ）有p+2ap+a-4c-=0即p+2ap+（a-4c）p-b=0⑤.令p=t，則⑤式變?yōu)閠+2at+（a-4c）t-b=0⑥．若t為⑥式的任一解，則p=±也滿(mǎn)足⑤式，由b≠0知t≠0，代入④式可得

m=p+a-?搖n=p+a+?搖

則（t，m，n）為③式的一組解．為了方便表示，令（p，m，n）為③式的一組解．故有

y+ay+by+c=（y+py+m）（y-py+n）.

解y+py+m=0和y-py+n=0兩個(gè)方程得②式的解為：

y=和y=.

三、應(yīng)用舉例

例1：解方程x+4x-2x+12x+9=0

解：令x=y-1，原方程變形為y-8y+24y-8=0.

令y-8y+24y-8=（y+py+m）（y-py+n）①

比較上式兩邊系數(shù)，可得：

m+n=p-8 （Ⅰ）m-n=-（Ⅱ）mn=-8 （Ⅲ）

由（Ⅰ），（Ⅱ）可得

m=p-8-?搖n=p-8+?搖②

上式代入（Ⅲ）有p-16p+96-=0

即p-16p+96p-576=0③

令p=t，則上式變?yōu)閠-16t+96t-576=0.

解上面的方程得t=12為其一解．則p=2為方程③的解．代入②式得：

m=2-2n=2+2

則（12，2-2，2+2）為方程①的一組解．故有：

y-8y+24y-8=（y+2y+2-2）（y-2y+2+2）.

解y+2y+2-2=0和y-2y+2+2=0兩個(gè)方程得方程①的解為：

y=-±和y=-±.

則原方程的解為：x=-（+1）±和x=-（+1）±.

例2：解方程x-4x+x+4x+1=0 ①

解：令x=y+1代入式①得：y-5y-2y+3=0.

設(shè)y-5y-2y+3=（y+py+m）（y-py+n）②，比較兩邊系數(shù)得：

m+n=p-5m-n=mn=3，故有m=p-5+?搖n=p-5-?搖③，代入mn=3得p-10p+13p-4=0.

令p=t，得t-10t+13t-4=0，解此方程得t=1為其一解，代入③得：m=-1，n=-3.將m=-1，n=-3代入②有：y-5y-2y+3=（y+y-1）（y-y-3），得y=，y=，即原方程的解為：x=，y=.

參考文獻(xiàn)：

［1］張禾瑞，郝鈵新編.高等代數(shù)［M］.高等教育出版社，2007.6.

［2］李長(zhǎng)明，周煥山編.初等數(shù)學(xué)研究［M］.高等教育出版社，2007.4.