彭進(jìn)喜

求數(shù)列的通項(xiàng)是數(shù)列中的常見(jiàn)題型，根本方法是利用等差數(shù)列或等比數(shù)列。接下來(lái)，舉例幾個(gè)已知遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)的題目。

例1：已知a1=1an=2an-1+1，求an。

分析：根據(jù)遞推公式，不難求出a2=3，a3=7,a4=15,a5=31，于是可以猜想an=2n-1。接下來(lái)拓展思路，如果an=2n-1，則數(shù)列{an+1}就是等比數(shù)列，于是我們可以先證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列。證明：∵===2為常數(shù)，∴{an+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，∴an+1=2×2n-1=2n, ∴an=2n-1。

例2：已知a1=1an=2an-1+n，求an。

分析：（過(guò)程略）根據(jù)遞推公式，不難求出a2、a3、a4、a5，于是可以猜想an=2n-1+2×2n-2+…+(n-1)×2+n；根據(jù)錯(cuò)位相減法不難求出an=2n+1-n-2，接下來(lái)需求思路，如果an=2n+1-n-2,則數(shù)列{an+n+2}就是等比數(shù)列。于是，我們可以先證明數(shù)列{an+n+2}是等比數(shù)列?！郺n=2n+1-n-2.

例3：已知a1=1an=2an-1+2n，求an。

分析：（過(guò)程略）根據(jù)遞推公式，不難求出a2、a3、a4，于是可以猜想an=2n-1+(n-1)2n=(2n-1)2n-1，接下來(lái)需求思路，如果an=(2n-1)2n-1，則數(shù)列{}就是等差數(shù)列，于是我們可以先證明數(shù)列{}是等差數(shù)列?！郺n=(2n-1)2n-1。

例4：已知a1=1an=2an-1+3n，求an。

分析：（過(guò)程略）根據(jù)遞推公式，求出a2、a3、a4、a5，于是可以猜想：an=3n+1-2n+2，接下來(lái)需求思路，如果an=3n+1-2n+2，則數(shù)列{3n+1-an}就是等比數(shù)列，于是我們可以先證明數(shù)列{3n+1-an}是等比數(shù)列。最后得出：an=3n+1-2n+2 .

對(duì)于4個(gè)例題，可以推廣到一般的情況，分別是：(1)已知a1=can=pan-1+q，其中c、p、q為常數(shù)，求an；(2)已知a1=can=pan-1+n，其中c、p為常數(shù)，求an；(3)已知a1=can=pan-1+pn，其中c、p為常數(shù)，求an；(4)已知a1=can=pan-1+qn，其中c、p、q為常數(shù)，求an。

下面僅對(duì)第一類情況進(jìn)行分析說(shuō)明。分析：（過(guò)程略）根據(jù)遞推公式，不難求出a2、a3、a4，于是可以猜想，an=+(c-)pn-1,接下來(lái)需求思路，如果an=+(c-)pn-1，則數(shù)列{an+}就是等比數(shù)列，于是我們可以先證明數(shù)列{an+}是等比數(shù)列。最后得出：an=（c+)×pn-1+。

上面的五種情況可以概括為一種題型。已知a1=can=pan-1+f(n)，其中c、p為常數(shù)，f(n)為等差數(shù)列或者等比數(shù)列，求an。如果p=1，則直接用累加法或累乘法就可以解決，如果p≠1,則都可以用歸納猜想來(lái)獲取思路，并求解。對(duì)于(4)這種類型，也可以對(duì)an=pan-1+pn的兩邊同時(shí)除以pn，會(huì)更加簡(jiǎn)單，對(duì)于(1)也可以用待定系數(shù)法來(lái)求解。

（樂(lè)清市柳市中學(xué)）