楊在榮

【摘要】類比是一種重要的非邏輯方法，通過類比可以實現(xiàn)思維的再創(chuàng)造，其過程中存在著必然的心智活動，這種心智活動能導(dǎo)致人們作出新的判斷和預(yù)見，從而有所發(fā)現(xiàn)、發(fā)明和創(chuàng)造。本文主要論述類比與數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)及其過程中的心智活動。

【關(guān)鍵詞】類比；非邏輯方法；發(fā)現(xiàn)；數(shù)學(xué)命題；心智活動

數(shù)學(xué)命題的不斷發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)的生命力。正如美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P。R。Halmos）所說：“數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題與解?！睌?shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)，一方面是一個重要而又難以論述的課題，它涉及思維科學(xué)、認(rèn)識論、方法論、邏輯學(xué)、心理學(xué)以及數(shù)學(xué)的思想方法等，非常令人信服的完整的論述仍然處在探索和討論之中；另一反面，長期以來數(shù)學(xué)教科書都是按演繹邏輯的方法編寫的，數(shù)學(xué)的訓(xùn)練也幾乎都是證明、推理的邏輯訓(xùn)練，形成了對數(shù)學(xué)認(rèn)識上的偏頗，只重視邏輯的方法。然而，對于數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)，非邏輯方法更為重要。正如龐加萊所說，邏輯告訴我們走這條路保證不會遇到任何障礙，但它不會告訴我們走哪一條路能達(dá)到目的。本文所論述的正是非邏輯方法中的類比與數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)及其過程中的心智活動。

一、類比與數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)

類比是根據(jù)不同的兩個（或兩類）對象在某些方面相同或相似，從而推出它們在其他方面也相同或相似的一種推理方法。它是一種以比較為基礎(chǔ)的從特殊到特殊的推理，是一種合情推理，是數(shù)學(xué)命題發(fā)現(xiàn)的重要方法。

例1 類比勾股定理：“在△ABC中，AB⊥AC,則AB2+AC2=BC2。”

在幾何學(xué)中，三角形是最基本、最重要的幾何圖形，構(gòu)成了幾何學(xué)的基礎(chǔ)，平面幾何如此，立體幾何亦如此。三角形是幾何圖形中最簡單的多邊形，四面體是立體幾何中最簡單的多面體。另外，從圖形結(jié)構(gòu)上分析，三角形是連接線段外一點和線段兩個端點構(gòu)成的圖形，四面體是連接三角形（面）外一點和三角形的三個頂點構(gòu)成的圖形，也就是說三角形和四面體存在相同或相似方面，互相成為類比對象，通過三角形性質(zhì)的升維類比，可發(fā)現(xiàn)四面體的一些性質(zhì)。

按類比規(guī)律，勾股定理中三角形有兩條邊垂直，類比到四面體中應(yīng)為同一頂點的三個側(cè)面兩兩互相垂直，三角形的邊的長度應(yīng)類比到四面體中三角形的面積，平方類比為三次方，從而得S3△ABC+S3△ABD+S3△ACD=S3△BCD，但通過檢驗可知，該結(jié)論是錯誤的，對該結(jié)論進行修正，保持勾股定理中“平方”的特點不變得到：