鄭新芒

［摘要］ 庫存經(jīng)濟(jì)批量的計算，在物流、企業(yè)管理、會計等專業(yè)中都具有非常的作用。在高職高專教材，甚至是大學(xué)本科教材中，只簡單給出計算公式，沒有詳細(xì)地推導(dǎo)，對學(xué)生的知識理解極其不利。本文給出公式的詳細(xì)推導(dǎo)，特別是允許缺貨的進(jìn)貨批量模式，利用中學(xué)數(shù)學(xué)知識推導(dǎo)得出公式，幫助學(xué)生理解經(jīng)濟(jì)批量的確定方法。

［關(guān)鍵詞］ 庫存經(jīng)濟(jì)批量； 訂購費用； 保管費用

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2012 . 10. 047

［中圖分類號］F273［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］A［文章編號］1673 - 0194（2012）10- 0086- 02

經(jīng)濟(jì)批量控制法是側(cè)重企業(yè)本身經(jīng)濟(jì)效益來綜合分析物料訂購和庫存保管費用的一種科學(xué)的方法。經(jīng)濟(jì)批量模型一般有以下3種：

（1） 不允許缺貨的經(jīng)濟(jì)批量；

（2） 不允許缺貨，一次訂貨分批進(jìn)貨的經(jīng)濟(jì)批量；

（3） 允許缺貨的進(jìn)貨批量。

下面我們一一分析，并推導(dǎo)最佳訂貨批量計算公式。

1不允許缺貨的經(jīng)濟(jì)批量

它是研究物料訂購和保管費用、保管次數(shù)和訂購數(shù)量之間關(guān)系的。假定企業(yè)在一定時間內(nèi)對某種物料的需要量一定，如果訂購次數(shù)少，用于訂購的費用就少，而每次訂購批量就大，物料單價下降相當(dāng)于優(yōu)惠批發(fā)價，但支出的保管費用就越多。相反，訂購次數(shù)多，用于訂購的費用就多，而每次訂購批量就少，單價相對高些，但支出的保管費用相應(yīng)變少。

可以看出，訂購費用與貨物價值同方向變化，與保管費用呈反方向變化，訂購批量多大為優(yōu)，沒有特殊點能確定這個問題。何為優(yōu)，衡量標(biāo)準(zhǔn)是什么，我們只能追求總費用最少。至于什么情況下總費用最少，我們建立數(shù)學(xué)函數(shù)求其極值。

為了討論方便，我們忽略訂貨批量對物料價格的影響。假定企業(yè)在一個時期對某物料的需求量是Ｄ，每次訂貨所需費用為Ｃ，平均保管單位物料支出費用是Ｋ，最佳訂貨批量是Ｑ，那么總訂購費用是ＤＣ/Ｑ；進(jìn)貨之日存貨Ｑ，用完之日存貨為０，平均存貨是Ｑ/２，那么整個時期的庫存平均保管費用就是ＫＱ/２，則總費用

ＴＣ ＝ ＫＱ/２ ＋ ＤＣ/Ｑ

其中Ｑ為變量，要求ＴＣ的極值，先對ＴＣ求Ｑ的導(dǎo)數(shù)：

== -， 令其為０， -＝ ０，解得Q = 。

即訂貨經(jīng)濟(jì)批量 =。

2不允許缺貨，一次訂貨分批進(jìn)貨的經(jīng)濟(jì)批量

企業(yè)在經(jīng)營過程中，往往有不少物料是一次訂貨分批進(jìn)貨的。這樣就形成前期一邊入庫，一邊出庫耗用，后期只出不進(jìn)直至庫存為０的狀態(tài)，然后又開始下一循環(huán)。

這種模式下，總費用仍然是包括物料價值、訂購費用與保管費用。訂貨批量多大為優(yōu)，判斷標(biāo)準(zhǔn)仍然是總費用最少。什么情況下總費用最少，我們建立數(shù)學(xué)函數(shù)求其極值。

仍然不考慮訂貨批量對價格的影響。假定企業(yè)在一個時期對某物料的需求量是Ｄ，每次訂貨所需費用為Ｃ，平均保管單位物料支出費用是Ｋ，最佳訂貨批量是Ｑ，那么總訂購費用是ＤＣ/Ｑ；前期每次入庫Ｐ，出庫ｄ，每次庫存凈增加Ｐ － ｄ，庫存最大量為（Ｐ － ｄ）Ｑ/Ｐ ＝ Ｑ（１ － ｄ/Ｐ），用完之日存貨為０，平均存貨是Ｑ（１ － ｄ/Ｐ）/２，那么整個時期的庫存保管費用就是ＫＱ（１ － ｄ/Ｐ）/２，則總費用ＴＣ ＝ ＫＱ（１ － ｄ/Ｐ）/２ ＋ ＤＣ/Ｑ 其中Ｑ為變量，要求ＴＣ的極值，先對ＴＣ求Ｑ的導(dǎo)數(shù)： =- ，令其為０， -= 0 解得Q = 。

即訂貨經(jīng)濟(jì)批量 = 。3允許缺貨的進(jìn)貨批量

如果生產(chǎn)不均衡，供貨沒有絕對保證（入庫量小于訂貨量），發(fā)生缺貨不可避免；加大保險儲備的代價又大于因缺貨造成的損失，這時就允許缺貨。此時存貨費用包括訂購費用、保管費用和缺貨損失費用。使總費用最少的訂購批量就是經(jīng)濟(jì)訂購批量。

假定企業(yè)在一個時期對某物料的需求量是Ｄ，最佳訂貨批量是Ｑ，每次訂購所需費用為Ｃ，平均保管單位物料支出費用是Ｋ，每次進(jìn)貨量Ｑ１，維持ｔ１時間；缺貨Ｑ２，維持ｔ２時間，缺貨單位物料平均損失為Ｒ。

參看模型圖1，寫出各項費用的表達(dá)式。

訂購費用是ＤＣ/Ｑ

保管費用：ｔ１時間內(nèi)平均庫存量Ｑ１／２，在ｔ時間內(nèi)平均庫存量為Ｑ１ × ｔ１／（２ｔ），則保管費用為ＫＱ１ × ｔ１／（２ｔ）

缺貨損失費用：ｔ２時間內(nèi)平均缺貨量Ｑ２／２，在ｔ時間內(nèi)平均缺貨量為Ｑ２ × ｔ２／（２ｔ），則缺貨費用為ＲＱ２ × ｔ２／（２ｔ）

總費用ＴＣ＝ ＤＣ／Ｑ ＋ ＫＱ１ × ｔ１／（２ｔ） ＋ ＲＱ２ × ｔ２／（２ｔ）

變量有Ｑ、Ｑ１、Ｑ２、ｔ、ｔ１及ｔ２，顯然太多，最好只有Ｑ一個變量。

根據(jù)模型圖，先替代時間變量。根據(jù)相似三角形，

ｔ１／ｔ ＝ Ｑ１／Ｑｔ２／ｔ ＝ Ｑ２／Ｑ 代入總費用公式，

TC = C + K + R = C + K + R = C + K + R

如何用Ｑ去替代Ｑ１、Ｑ２呢？

根據(jù)題意，保管費用應(yīng)小于缺貨損失費用，否則寧愿多存貨。數(shù)學(xué)表達(dá)式：

ＫＱ１ ≤ ＲＱ２ 臨界點是ＫＱ１＝ ＲＱ２ 整理后Ｑ１ ＝ ＲＱ２/Ｋ

兩邊同加Ｑ２Ｑ ＝ Ｑ１ ＋ Ｑ２ ＝ （１ ＋ Ｒ／Ｋ） Ｑ２分別求Ｑ１和Ｑ２ 得Ｑ２ ＝ ＱＫ／（Ｒ ＋ Ｋ），Ｑ１ ＝ ＱＲ/（Ｒ ＋ Ｋ），代入總費用公式得

TC =C ++

要使ＴＣ出現(xiàn)極值，對ＴＣ求Ｑ的導(dǎo)數(shù)

= - += - +

令其為０，則求得

Q ==

訂貨經(jīng)濟(jì)批量 = × 。

繼續(xù)運算求得：入庫量Q1 = Q =缺貨量Q2 = Q = K。

通過公式推導(dǎo)，學(xué)生能更深入地理解公式內(nèi)涵及影響因素。用中學(xué)數(shù)學(xué)知識解決了變量代換問題，對高職院校的學(xué)生來說簡單易懂，教學(xué)效果會更好一些。

主要參考文獻(xiàn)

［１］ 吳忠平. 現(xiàn)代企業(yè)管理［M］. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，２００6.

［2］ 許兆祥，汪政. 生產(chǎn)與運作管理［M］. 第2版. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，２０11.