潘建丹

【摘要】數(shù)學(xué)教材中，無論是概念的引入、應(yīng)用，還是問題的設(shè)計、解答，或是知識的復(fù)習(xí)、整理，隨處可見化歸思想方法的滲透和應(yīng)用.談?wù)劥髮W(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中常見的化歸思想.

【關(guān)鍵詞】化歸方法；大學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)法

一、化歸思想的含義與意義

數(shù)學(xué)是探討數(shù)與形運(yùn)動規(guī)律的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)法是研究數(shù)學(xué)規(guī)律的，即研究在教學(xué)過程中如何最有效地向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識、發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生能力和個性的學(xué)科.辯證法告訴我們：任何事物都不是孤立、靜止和一成不變的，而是在不斷地發(fā)展變化著.因此，作為一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，其組成要素之間的相互依存和相互聯(lián)系的形式是可變的，正是這種可變的性質(zhì)，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)化歸.

簡單地說，數(shù)學(xué)化歸就是在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，將解決或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一類已解決或比較容易解決的問題，最終求得原數(shù)學(xué)問題的解答.美國著名數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“解題過程就是不斷變更題目的過程.”所以，化歸如同“翻譯”，從不同的特征出發(fā)，把同一問題用不同的形式在不同的水平上轉(zhuǎn)化出來.因此，在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中突出數(shù)學(xué)化歸思想對提高教學(xué)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有重要的作用.

二、大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中常見的化歸思想

1.將化歸思想引入未定式型極限的運(yùn)算教學(xué)

已知∞[]∞,0[]0型未定式可直接用洛必達(dá)法則求極限.但對于∞-∞,0?∞，1∞，00，∞0型特殊未定式極限的運(yùn)算中，由于類型多，且沒有直接的求極限方法，從而使得這部分知識成為教學(xué)的難點(diǎn).但將化歸思想引入到此部分內(nèi)容的教學(xué)中，能夠使極限的運(yùn)算方法更加簡單明了.

化歸過程如下圖所示：

例1 求┆玪im獂→0+玸in玿┆玸in玿.

解 這是一個00型的未定式，先將其化歸成0?∞型的未定式，再化歸成∞[]∞型的未定式.

（若化歸成0[]0型未定式也可以，但會使后面的計算└叢櫻┆

設(shè)y=玸in玿┆玸in玿，兩端取對數(shù)，則玪n珁=玸in玿?玪n玸in玿.

因為，當(dāng)x→0+時，玸in玿?玪nsin玿為0?∞型的未定式，

利用無窮小與無窮大的倒數(shù)關(guān)系，得：オ玸in玿?玪nsin玿=玪nsin玿[]1[]玸in玿=玪nsin玿[]玞sc玿.

﹍im玿→0+玸in玿?玪nsin玿=﹍im玿→0+玪nsin玿[]玞sc玿=﹍im玿→0+玞os玿[]玸in玿[]-玞os玿[]玸in2玿=﹍im玿→0+-玸in玿=0.

所以，﹍im玿→0+玸in玿┆玸in玿=﹍im玿→0+e┆玸in玿?玪nsin玿=e0=1.

2.將化歸思想引入二重積分化累次積分的教學(xué)

計算二重積分是多元函數(shù)微積分部分的重點(diǎn)和難點(diǎn).顯然，依定義計算二重積分并非易事.下面以求“玐—型”區(qū)域D上的曲頂柱體的體積為例，說明如何將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分.

設(shè)函數(shù)f(x,y)>0，它在“玐—型”區(qū)域：D={（x,y）|φ1(x)≤﹜≤φ2(x),a≤x≤b}上連續(xù)，則К氌璂f(x,y)玠σ表示以曲面z=ゝ(x,獃)為頂,以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積.我們用計算“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法來計算這個曲頂柱體的體積.

（1）計算截面面積

在區(qū)間［a,b］上任取點(diǎn)x0，作平面x=x0，截曲頂柱體得一截面：以區(qū)間［φ1(x0),φ2(x0)］為底邊，以曲線z=f(x0,y)為曲頂?shù)那吿菪?如圖所示的陰影部分).該截面的面積為：

A(x0)=А要│摘2(x0)│摘1(x0)f(x0,y)玠珁.

故過區(qū)間［a,b］上任一點(diǎn)x且平行于面yOz的平面，截曲頂柱體所得的截面面積為：

A（x)=А要│摘2(x)│摘1(x)f(x,y)玠珁.

（2）根據(jù)“平行截面面積為已知的立體體積”的方法得所求曲頂柱體體積

所求體積為：V=А要琤璦A(x)玠玿=А要琤璦ИА要│摘2(x)│摘1(x)f(x,y)玠珁玠玿.

（3）根據(jù)二重積分的幾何意義，曲頂柱體體積就是二重積分的值

К氌璂f(x,y)玠σ=А要琤璦ИА要│摘2(x)│摘1(x)f(x,y)玠珁玠玿.

類似地,若D為“玒—型”區(qū)域：D={(x,y)|ψ1(y)≤﹛≤ψ2(y),c≤y≤d}，

可得К氌璂f(x,y)玠σ=А要琩璫И玠珁А要│轉(zhuǎn)2(y)│轉(zhuǎn)1(y)f(x,y)玠玿.

由此可見，在此部分教學(xué)中，利用二重積分的幾何意義，將求二重積分的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求空間直角坐標(biāo)系中曲頂柱體體積的幾何問題，然后，把曲頂柱體（三維）看作平行截面（二維）面積為已知的立體.從而通過計算已知平行截面面積的立體的體積把二重積分化為累次積分.如此，既能使二重積分的問題得以順利解決，又能在教學(xué)過程中，讓學(xué)生感受到數(shù)與形的轉(zhuǎn)化產(chǎn)生的化歸魅力、三維向二維轉(zhuǎn)化產(chǎn)生的化歸力量.

3.將化歸思想引入求冪級數(shù)的和函數(shù)教學(xué)

求冪級數(shù)的和函數(shù)最常用的方法是逐項求導(dǎo)與逐項積分法，此方法就是在函數(shù)項級數(shù)一致收斂的前提下，對其進(jìn)行逐項微分或積分形成一個已知或易求和函數(shù)的級數(shù)，然后求和，最后再反過來求一次積分或微分，便可得到原級數(shù)的和函數(shù).其實(shí)，這是一種化歸思想.

我們常見的最簡單的函數(shù)項級數(shù)是幾何級數(shù).例如，А啤轠]n=0x琻.

當(dāng)|x|≥1時，А啤轠]n=0x琻發(fā)散；當(dāng)|x|<1時，А啤轠]n=0x琻收斂，且其和函數(shù)為：s(x)=1[]1-x.

對于一致收斂的冪級數(shù)求和函數(shù)，我們都可以利用逐項求導(dǎo)或逐項積分等方法，將其轉(zhuǎn)化成幾何級數(shù)求和函數(shù)，最后再利用合理的方法，實(shí)現(xiàn)問題求解.

例2 求級數(shù)А啤轠]n=0(-1)琻x2n+2猍]2n+1在收斂區(qū)間(-1,1)內(nèi)的和函數(shù).

解 設(shè)h(x)=x?А啤轠]n=0(-1)琻x2n+1猍]2n+1，s(x)=x?h(x)，則逐項求導(dǎo)得：

h′(x)=А啤轠]n=0(-1)﹏獂2n=А啤轠]n=0(-x2)琻=1[]1+x2,x∈(-1,1).

對上式積分得：h(x)-h(0)=А要瑇0h′(t)玠玹=А要瑇01[]1+t2玠玹=玜rctan玿.

因為h(0)=0，因而得h(x)=玜rctan玿，s(x)=x?玜rctan玿.

即x玜rctan玿=А啤轠]n=0(-1)琻x2n+2猍]2n+1，x∈(-1,1)為所求.

當(dāng)然根據(jù)冪級數(shù)的不同特征，我們還可以利用裂項相消法、代數(shù)方程法、有限遞推法、構(gòu)造微分方程法、柯西方法、差分算子求和法、微分算子求和法等方法求得冪級數(shù)的和函數(shù).這些方法處處都滲透著化歸思想.在教學(xué)過程中完整地向?qū)W生呈現(xiàn)將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的化歸思想，有利于優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

三、結(jié) 語

通過以上的論述可知，化歸思想體現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)教材的各個方面，在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們既要注意挖掘，在傳授知識的同時滲透數(shù)學(xué)化歸思想和方法，揭示知識內(nèi)在聯(lián)系，掌握知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，又要注重把握學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從教材的呈現(xiàn)程序方面促進(jìn)化歸.引導(dǎo)學(xué)生變換角度思考、分析、解決問題，帶領(lǐng)學(xué)生集思廣益，共同探求同一問題的不同解法和引申，激勵學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和廣闊性，促進(jìn)學(xué)生求異思維和創(chuàng)造性思維的發(fā)展.

但是化歸思想的應(yīng)用離不開其他思想方法的有機(jī)配合.數(shù)學(xué)的各種思想方法之間總是相互依存、相互滲透的，沒有哪一種思想方法是萬能的，也沒有一種思想能夠孤立存在.此外，化歸思想是一種解決問題的思想和方法，而不是發(fā)現(xiàn)問題的方法，這是化歸思想本身的局限性.

【參考文獻(xiàn)】オ

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