張國明

數(shù)學(xué)科學(xué)的知識包括數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法兩部分.數(shù)學(xué)思想是人們對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認識，是從某些具體數(shù)學(xué)認識過程中提煉出的一些普遍存在的規(guī)律.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，它反映在數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容里面，體現(xiàn)在解決問題的過程之中，它是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.只有運用數(shù)學(xué)思想方法，才能把數(shù)學(xué)知識和技能轉(zhuǎn)化為分析問題和解決問題的能力.

一、分類討論的思想

分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對于簡化研究對象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置.所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答.實質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略.分類對象確定，標準統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級討論.明確討論對象，確定對象的全體，確定分類標準，正確進行分類；逐類進行討論，獲取階段性成果；歸納小結(jié)，綜合出結(jié)論.

分類討論的一般步驟是：（1）確定討論對象和確定研究的全域；（2）進行科學(xué)分類（按照某一確定的標準在比較的基礎(chǔ)上分類），“比較”是分類的前提，“分類”是比較的結(jié)果，分類時，應(yīng)不重復(fù)，不遺漏；（3）逐類討論；（4）歸納小結(jié)，整合得出結(jié)論.

例1 (2006年遼寧)已知函數(shù)f(x)=1[]2(玸in玿+玞os玿)-1[]2|玸in玿-玞os玿|,則f(x)的值域是().

獳.［-1,1］ B.-2[]2,1

C.-1,2[]2D.-1,-2[]2

解析 f(x)=1[]2(玸in玿+玞os玿)-1[]2|玸in玿-玞os玿|=玞os玿(玸in玿≥玞os玿),

玸in玿(玸in玿<玞os玿).

即等價于{玸in玿,玞os玿}┆玬in，故選擇答案獵.

點評 本題考查絕對值的定義、分段函數(shù)、三角函數(shù)等知識，同時考查了學(xué)生分類討論思想和估算能力.

二、數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)(量)與圖形結(jié)合起來進行分析、研究、解決問題的一種思維策略.數(shù)形結(jié)合思想可以使抽象的復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來.數(shù)形結(jié)合思想的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相適用的幾何圖形并利用圖形的特征和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息部分或全部轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，削弱或消除形的推理部分，使要解決的形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論.其本質(zhì)是：使抽象的數(shù)與直觀的圖互相聯(lián)系、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化，使抽象問題直觀化，復(fù)雜問題簡單化，從而優(yōu)化解題途徑.

基本方法：（1）數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問題.（2）圖形性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題.（3）數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)相互對照、相互滲透實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖像的對應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；④所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義.

例2 如果實數(shù)x,y滿足(x-2)2+y2=3,則y[]x的最大值為（）.

獳.1[]2 B.3[]3 C.3[]2 D.3

シ治 等式（x-2)2+y2=3有明顯的幾何意義，它表示坐標平面上的一個圓，圓心為（2,0),半徑r=3（如圖），而y[]x=y-0[]x-0，則表示圓上的點(x,y）與坐標原點（0,0)的連線的斜率.如此以來，該問題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：動點A在以（2，0）為圓心，以3為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值.由圖可見，當∠A在第一象限，且與圓相切時，OA的斜率最大，經(jīng)簡單計算，得最大值為玹an60°=3，選獶.

點評 利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，要注意數(shù)與形的完整結(jié)合，由數(shù)想形時，一定要準確、全面，特別是圖形一定要準確.

數(shù)形結(jié)合常用的輔助工具：數(shù)軸(直角坐標系)、兩點間距離公式、向量的模、函數(shù)的圖像、曲線的方程、直線的斜率與截距、二元一次不等式表示平面區(qū)域等.

三、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉，是從函數(shù)各部分內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和整體角度來考慮問題、研究問題和解決問題.所謂方程的思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)、列方程或方程組、解方程或方程組等步驟，達到求值目的的解題思路和策略，它是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎(chǔ).

函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通過方程進行研究.