董新平， 閆潤瑛， 趙正印， 楊佳俊， 武義娜, 馮志波

(許昌學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院 河南 許昌 461000)

0 引言

超導(dǎo)約瑟夫森納米電路作為人工原子體系，呈現(xiàn)出良好的量子特性，為人們相干地調(diào)控這一量子體系并研究基本的物理規(guī)律提供了極佳的平臺[1-3]．對超導(dǎo)約瑟夫森納米電路施加電壓和磁通偏置，可以獲得各種預(yù)期的能級結(jié)構(gòu)[4-5]，這為人們利用外場和超導(dǎo)量子體系的相互作用來誘導(dǎo)非阿貝爾和阿貝爾規(guī)范勢提供了潛在的可能性[6]．近年來已有相關(guān)文獻報道[7]，利用不同的量子化的腔模與原子相互作用分別誘導(dǎo)了非阿貝爾和阿貝爾規(guī)范勢．最近，在同一個超導(dǎo)量子電路裝置中，僅通過調(diào)節(jié)外部施加的磁通偏置就可以得到所需要的超導(dǎo)三能級結(jié)構(gòu)，并通過與一維傳輸線諧振子的相互作用誘導(dǎo)非阿貝爾和阿貝爾規(guī)范勢[8]．

如果按照文獻[8]中提出的方案僅選取一組特定的參量進行實驗檢驗，將會對實驗條件提出較高的要求．因而建立一個更加寬泛而合理的取值范圍，將會對實驗操作提供有力的幫助和指導(dǎo)．本文對超導(dǎo)量子電路的三能級結(jié)構(gòu)特性進行了系統(tǒng)的分析研究，并結(jié)合誘導(dǎo)非阿貝爾和阿貝爾規(guī)范勢的條件，給出了更加寬泛而合理的耦合能取值范圍．本文的相關(guān)結(jié)果能夠?qū)ぷ鱗8]涉及的方案進行有益的補充和完善，同時更有利于實驗參數(shù)的選取，為物理上操作超導(dǎo)量子電路研究規(guī)范勢的基本性質(zhì)提供直接的理論依據(jù)．

1 超導(dǎo)量子電路與有效規(guī)范勢

文獻[8]研究的超導(dǎo)量子電路如圖1所示．該電路包含一個具有n個庫珀對的半環(huán)型超導(dǎo)盒子，通過兩個對稱的約瑟夫森結(jié)與另外一個半環(huán)型的超導(dǎo)環(huán)相連，從而構(gòu)成一個閉合的超導(dǎo)環(huán)路．兩個相同的約瑟夫森結(jié)的電容和耦合能均為CJ和EJ0．在閉合環(huán)路中施加磁通偏置Φe，可以調(diào)制約瑟夫森結(jié)的有效耦合能EJ．通過兩個門電容C1和C2，體系分別與兩個一維傳輸線諧振子(TLR1和TLR2)耦合[8-9]，這里的TLR1和TLR2分別具有單模頻率ω1和ω2．在庫珀對基矢│n〉,│n+1〉下，系統(tǒng)的靜態(tài)哈密頓量可表示為[10-11]

(1)

其中,Ec=2e2/(C1+C2+2CJ)為系統(tǒng)的靜電能，nd=(V1dC1+V2dC2)/2e為靜態(tài)門電壓V1d和V2d產(chǎn)生的門電荷．EJ=2EJ0cos(πΦe/Φ0)為有效的約瑟夫森結(jié)耦合能，Φ0=?/2e為磁通量子的基本單位．由方程(1)可知，通過調(diào)節(jié)門電壓和偏置磁通量，可以分別改變超導(dǎo)量子電路的門電荷和耦合能，進而影響系統(tǒng)的能級結(jié)構(gòu)．如文獻[8]所述，在工作點nd=0.45，分別取EJ=1.46Ec和EJ=0.75Ec得到體系3個最低的能級│s1〉、│s2〉和│s3〉．

圖1 超導(dǎo)量子電路通過C1 和C2耦合到具有單模頻率ω1 和ω2的一維傳輸線諧振子TLR1和TLR2Fig.1 The superconducting quantum circuit coupled to TLR1 and TLR2 with respective single-mode frequencies ω1andω2 through the gate capacitors C1 and C2.

圖2 能級與外場的耦合Fig.2 The couplings between energy levels and external fields

由以上方案可知，選定靜態(tài)門電壓工作點后，只需要調(diào)節(jié)系統(tǒng)的一個參數(shù)即偏置磁通量就可以改變系統(tǒng)的耦合能，進而改變系統(tǒng)的能級結(jié)構(gòu)，在量子化外場的作用下即可誘導(dǎo)有效的非阿貝爾和阿貝爾規(guī)范勢．如果期望通過實驗對以上方案進行驗證，本文希望對整個可能的能級結(jié)構(gòu)而不是僅對一組特定的能級結(jié)構(gòu)進行檢驗，為此需要確定系統(tǒng)耦合能EJ的合理取值范圍，為有效地進行實驗驗證提供有益的指導(dǎo)．

2 產(chǎn)生可調(diào)控規(guī)范勢的能級結(jié)構(gòu)分析

根據(jù)以上分析，本文將對利用超導(dǎo)量子電路誘導(dǎo)有效規(guī)范勢的條件進行系統(tǒng)分析，并為利用實驗驗證以上方案所需的物理參數(shù)進行細(xì)致地分析，并確定其合理的取值范圍．利用超導(dǎo)量子電路裝置誘導(dǎo)規(guī)范勢，需要調(diào)節(jié)系統(tǒng)的能級結(jié)構(gòu)使其與TLR的頻率ω1和ω2耦合．選定工作點nd= 0.45，由方程(1)可以求出系統(tǒng)最低的3個能級E1、E2和E3的數(shù)值解．根據(jù)數(shù)值結(jié)果，以耦合能EJ為參數(shù)，3個能級間的轉(zhuǎn)變頻率ωji=(Ej-Ei)/?(i,j=1,2,3)與EJ的對應(yīng)關(guān)系如圖3所示,式中Ei和Ej為系統(tǒng)最低的3個能級，ωji表示系統(tǒng)在2個不同的能級Ei和Ej之間躍遷時相應(yīng)的轉(zhuǎn)變頻率．轉(zhuǎn)變頻率ωji以及耦合能EJ均以Ec作為基本單位．由于TLR1和TLR2只有2個單模頻率，本文期望利用系統(tǒng)的能級結(jié)構(gòu)分別構(gòu)建2個或1個共振模式與其耦合，從而分別誘導(dǎo)非阿貝爾和阿貝爾規(guī)范勢．

(a)ω32與EJ的關(guān)系 (b)ω32(ω21)與EJ的關(guān)系 (c)ω31與EJ的關(guān)系

圖3各能級間轉(zhuǎn)變頻率ωji與耦合能EJ的關(guān)系
Fig.3The transition frequenciesωjias functions of coupling energyEJ．

首先，若適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié)偏置磁通量轉(zhuǎn)變頻率ω32的數(shù)值，使其與TLR2的單模頻率ω2匹配，如圖3所示．對圖3(a)中數(shù)據(jù)進行線性擬合得到的結(jié)果為

ω32=1.860 1-1.187 2EJ+1.405 7EJ2-0.383 1EJ3.

(2)

從圖3(a)以及擬合結(jié)果(2)可以發(fā)現(xiàn)，在0.3Ec≤EJ≤1.0Ec范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)變頻率ω32的取值相對于直線EJ= 0.54Ec對稱．如果在圖3(a)中0.3Ec≤EJ≤1.0Ec區(qū)間內(nèi)取一對關(guān)于EJ= 0.54Ec對稱的點，則相應(yīng)點的轉(zhuǎn)變頻率ω32相等．如果在此區(qū)間內(nèi)能找到這樣一些對稱點，使相應(yīng)的轉(zhuǎn)變頻率ω31與TLR1的腔膜頻率ω1分別相等或滿足大失諧狀態(tài)，同時轉(zhuǎn)變頻率ω21與TLR1和TLR2的腔膜頻率ω1和ω2都處于較大失諧狀態(tài)，那么就能根據(jù)圖2相應(yīng)的方案，利用一個相同的超導(dǎo)量子電路同時誘導(dǎo)2種不同的規(guī)范勢．由于EJ=2Eccos(πΦe/Φ0)，顯然只需調(diào)節(jié)一個參數(shù)Φe能夠通過對耦合能EJ的連續(xù)調(diào)節(jié)調(diào)控系統(tǒng)的能級結(jié)構(gòu)．因此，在工作點nd= 0.45時耦合能EJ的取值范圍應(yīng)限制在0.3Ec≤EJ≤1.0Ec內(nèi)．

其次，從圖3可以看到為使系統(tǒng)的轉(zhuǎn)變頻率ωji只與TLR1和TLR2的2個單模頻率ω1和ω2匹配，要求轉(zhuǎn)變頻率ω21遠(yuǎn)大于TLR2的腔膜頻率ω2引起的耦合強度λ12(約等于0.2Ec)．根據(jù)數(shù)值計算結(jié)果，ω21與ω31相差較多，不會引起與腔膜頻率ω1的耦合．但是從圖3(b)可以看出，在0.8Ec≤EJ≤1.0Ec范圍內(nèi),ω21與ω32的差值小于0.2Ec，接近耦合強度λ12，這樣可能出現(xiàn)ω21與ω32均與ω2匹配的情況．為了避免產(chǎn)生這種現(xiàn)象，要求EJ≤0.8Ec．綜合對圖3(a)的分析結(jié)果，得到0.3Ec≤EJ≤0.8Ec．從圖2以及文獻[8]的方案可以明確看出,此條件限制對于產(chǎn)生等效非阿貝爾和阿貝爾規(guī)范勢都是必要的．

最后，為了產(chǎn)生非阿貝爾規(guī)范勢，要求ω31能夠與TLR1的腔膜頻率ω1匹配．在圖3(c)中，區(qū)間0.3Ec≤EJ≤0.8Ec內(nèi)ω31均能夠與TLR1的腔膜頻率ω1匹配，因此在此范圍內(nèi)所有EJ的取值都可以誘導(dǎo)非阿貝爾規(guī)范勢．為了能通過改變耦合能EJ同時達到誘導(dǎo)阿貝爾規(guī)范勢的目的，希望轉(zhuǎn)變頻率ω31與TLR1的腔膜頻率ω1的失諧程度遠(yuǎn)大于單模頻率之間的耦合強度0.2Ec．但是根據(jù)圖3(c)的數(shù)值結(jié)果以及線性擬合結(jié)果(2)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)0.48Ec≤EJ≤0.6Ec時，關(guān)于EJ= 0.54Ec對稱的一些點的取值雖然與ω32相同，但是相應(yīng)的ω31之間的差值卻小于0.2Ec．這有可能會導(dǎo)致這些對稱點之間的轉(zhuǎn)變頻率ω31都與TLR1之間的腔膜頻率ω1發(fā)生耦合，從而不能誘導(dǎo)非阿貝爾規(guī)范勢．因此，若要求通過改變耦合能EJ同時可靠地誘導(dǎo)2種不同的規(guī)范勢，EJ不能取0.48Ec≤EJ≤0.6Ec之間的數(shù)值．

綜上所述，取工作點nd= 0.45時，若0.48Ec≤EJ≤0.6Ec只能誘導(dǎo)等效阿貝爾規(guī)范勢；而在0.3Ec≤EJ≤0.48Ec和0.6Ec≤EJ≤0.8Ec兩個區(qū)間內(nèi)，可以找到關(guān)于EJ= 0.54Ec對稱的一個取值點.當(dāng)EJ分別取這些對應(yīng)的取值時，分別能夠誘導(dǎo)阿貝爾和非阿貝爾規(guī)范勢．根據(jù)EJ=2Eccos(πΦe/Φ0)，可以分別誘導(dǎo)阿貝爾和非阿貝爾規(guī)范勢的合理的偏置磁通量的取值范圍為

0.15≤cos(πΦe1/Φ0)≤0.24;0.3≤cos(πΦe2/Φ0)≤0.4.

(3)

由以上分析，在上述區(qū)間內(nèi)能夠誘導(dǎo)不同規(guī)范勢的EJ的取值關(guān)于EJ= 0.54Ec對稱，

cos(πΦe1/Φ0)+cos(πΦe2/Φ0)=0.54.

(4)

由式(4)，對于固定的TLR1和TIR2的腔膜頻率ω1和ω2，若在滿足條件(3)的一個區(qū)間內(nèi)取定了一個偏置磁通量Φe1能夠誘導(dǎo)非阿貝爾規(guī)范勢，則在另一個區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的偏置磁通量為Φe2=Φ0cos-1[0.54-cos(πΦe1/Φ0)]/π時可以誘導(dǎo)阿貝爾規(guī)范勢．

3 結(jié)論

根據(jù)超導(dǎo)量子電路的能級結(jié)構(gòu)的數(shù)值解以及外場誘導(dǎo)有效規(guī)范勢的條件，針對外場作用下的一個超導(dǎo)量子體系，本文通過改變體系的約瑟夫森耦合能進而改變體系的能級結(jié)構(gòu)，來調(diào)控地產(chǎn)生非阿貝爾和阿貝爾規(guī)范勢.研究表明，在靜態(tài)門電壓工作點nd= 0.45處，對于固定的腔膜頻率ω1和ω2而言，當(dāng)EJ滿足取值范圍0.48Ec≤EJ≤0.6Ec時，由此決定的能級結(jié)構(gòu)使得腔模只能誘導(dǎo)阿貝爾規(guī)范勢，而不能誘導(dǎo)非阿貝爾規(guī)范勢；若EJ的取值在0.3Ec≤EJ≤0.48Ec和0.6Ec≤EJ≤0.8Ec兩個區(qū)間內(nèi)，可以通過改變超導(dǎo)量子電路裝置的偏置磁通量分別誘導(dǎo)非阿貝爾和阿貝爾規(guī)范勢.研究結(jié)果對誘導(dǎo)規(guī)范勢的條件給出了更為完整的分析，相關(guān)結(jié)論為將來通過實驗利用同一個超導(dǎo)量子電路裝置誘導(dǎo)規(guī)范勢提供了有益的幫助和指導(dǎo)．

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