吳 巖，韓其為，白玉川,

斜坡上非均勻沙分組起動(dòng)流速

吳 巖1，韓其為1，白玉川1,2

(1. 天津大學(xué)河流海岸工程泥沙研究所，天津 300072；2. 天津大學(xué)水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

在經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)上，以某一概率為定量標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)斜坡上泥沙的受力狀態(tài)，采用滾動(dòng)模式進(jìn)行理論推導(dǎo)，考慮了作用流速和顆粒位置的隨機(jī)性、非均勻沙不同粒徑之間的相互作用及不同傾角的影響，推導(dǎo)了斜坡上非均勻沙分組起動(dòng)流速公式，通過(guò)實(shí)測(cè)資料驗(yàn)證表明，計(jì)算值與實(shí)測(cè)值符合較好．

斜坡；非均勻沙；暴露度；起動(dòng)概率

泥沙起動(dòng)在泥沙運(yùn)動(dòng)理論中是最基本的問(wèn)題之一，在工程應(yīng)用中，水庫(kù)排沙、河床演變、航道治理以及橋梁沖刷、水環(huán)境保護(hù)等方面與泥沙起動(dòng)均有密切的聯(lián)系．在物理模型試驗(yàn)、數(shù)學(xué)模型計(jì)算中，起動(dòng)流速又是必要的參數(shù)，因此泥沙起動(dòng)規(guī)律及起動(dòng)流速的研究在理論和實(shí)際應(yīng)用方面均具有很重要的意義．

天然河流中的泥沙大多都是非均勻沙，即其粒徑的尺寸是有一定范圍的，是不同粒徑的混合沙．對(duì)非均勻沙起動(dòng)，國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者曾對(duì)此進(jìn)行了研究，錢寧等[1]考慮床沙粗化過(guò)程來(lái)研究非均勻沙的起動(dòng)問(wèn)題；秦榮昱等[2]根據(jù)泥沙受力，推導(dǎo)了起動(dòng)流速和最大起動(dòng)粒徑計(jì)算公式；孫志林等[3]對(duì)起動(dòng)顆粒的作用力臂進(jìn)行隨機(jī)分析，導(dǎo)出考慮非均勻沙隱暴效應(yīng)的起動(dòng)概率表達(dá)式，建立非均勻沙第k粒級(jí)的起動(dòng)公式．

冷魁等[4]與劉興年等[5]在非均勻床沙暴露度的基礎(chǔ)上，對(duì)非均勻沙的起動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了探討，提出了非均勻沙起動(dòng)流速的計(jì)算公式；韓其為等[6]認(rèn)為由于工程泥沙問(wèn)題沖刷和粗化的需要，研究非均勻沙中不同粒徑的起動(dòng)問(wèn)題尤為重要，即分組泥沙起動(dòng)問(wèn)題．

以往多研究平坡上泥沙的起動(dòng)，當(dāng)河道比降大時(shí)忽略泥沙顆粒自重沿水流方向的分力，就會(huì)有一定的誤差．對(duì)于斜坡上泥沙起動(dòng)條件的研究至今較少．文獻(xiàn)[7]從休止角的角度出發(fā)，研究了均勻沙的臨界起動(dòng)力的狀況；陳奇伯等[8]利用水槽試驗(yàn)研究了三峽壩區(qū)非黏性均勻花崗石沙粒的起動(dòng)流速情況，何文社等[9]從理論上推導(dǎo)了非均勻沙的臨界起動(dòng)剪切力，但其理論缺少試驗(yàn)資料的支持．筆者從暴露度(隱蔽度)的角度出發(fā)，建立了斜坡上非均勻沙的起動(dòng)流速公式，更符合天然河流中的實(shí)際情況，理論計(jì)算值與試驗(yàn)值符合較好．

1 理論分析

1.1暴露度分析

目前非均勻沙起動(dòng)規(guī)律研究中，表示泥沙之間的相互影響常采用附加作用力法[2]和暴露度法[9-11]．筆者則沿用韓其為等[12]提出的相對(duì)暴露度概念，即任意一泥沙顆粒在床面的位置是隨機(jī)的，可能被其他周圍泥沙所掩蓋而不能起動(dòng)，即完全遮蔽；也可能位于前后泥沙的頂部，很容易起動(dòng)，即完全暴露；一般情況的泥沙位置是介于這二者之間，如圖1所示．可用研究顆粒最低點(diǎn)a至與其相鄰的下游顆粒接觸點(diǎn)b之間的豎直距離Δ來(lái)表征顆粒在床面的位置，Δ可簡(jiǎn)稱為暴露度；Δ愈小，表示暴露愈充分．它較后來(lái)Paintal[13]提出的暴露度既簡(jiǎn)單又能在力學(xué)分析時(shí)引入有關(guān)公式中[14]，而不只是一種校正系數(shù)．

圖1 顆粒在床面位置的暴露度示意Fig.1 Exposure degree diagram of particles in bed position

式中：Δξ′為Δ′的隨機(jī)變量；mΔ′為Δ′的最小值，對(duì)于均勻顆粒，且緊密排列時(shí)，mΔ′=0.134，如圖1所示．

式(1)還表明mΔ′＜0.134及mΔ′＞1是不可能的，因?yàn)榍罢弑硎緵]有光滑床面；后者則表示當(dāng)Δ′=1時(shí)，顆粒已位于床面第2層，而沒有暴露，故不可能起動(dòng)．

Δ′的數(shù)學(xué)期望為

對(duì)于非均勻沙，一般按實(shí)測(cè)床沙級(jí)配資料，定義其概率函數(shù)為

式中：1,lP為床沙級(jí)配，即第l組粒徑的泥沙(D(l-1)≤D＜D(l))所占質(zhì)量分?jǐn)?shù)；D為泥沙粒徑；Dl為該組的平均粒徑；D(l-1)及D(l)為其上、下界限粒徑．上、下界限粒徑的平均粒徑為

式中n為粒徑分組數(shù)、非均勻沙在床面位置的分布較為復(fù)雜[15-16]．其相對(duì)暴露度仍定義為

將泥沙分為粗顆粒、中等顆粒和細(xì)顆粒，3種不同粒徑的數(shù)學(xué)期望分別為

當(dāng)Dl≤時(shí)為細(xì)顆粒，有

1.2斜坡泥沙起動(dòng)公式的建立

從圖2中可以看出，泥沙顆粒受力為

圖2 顆粒在床面的位置以及受力Fig.2 Particles diagram in bed position and force

式中：Fx為正面推力；Fy為上舉力；G為水下重力；Cx為正面推力系數(shù)，取為0.4；Cy為上舉力系數(shù)，取為0.1[6]；為起動(dòng)的臨界水流瞬時(shí)底速；ρs和ρ分別為泥沙及水的密度；D為泥沙粒徑．

從圖2中可得

由圖2的力矩平衡可得顆粒的起動(dòng)概率為

式中：參數(shù)a為正面推力到泥沙顆粒中心的垂直距離；參數(shù)b為上舉力到泥沙顆粒中心的垂直距離；β為傾斜面與水平面的夾角．

將石油安全評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)矩陣X=(xij)m×n各個(gè)數(shù)據(jù)帶入到相應(yīng)的白化權(quán)函數(shù)中，運(yùn)用式(8)計(jì)算得出各指標(biāo)的灰色統(tǒng)計(jì)數(shù)，見表7。然后，根據(jù)表7中的灰色統(tǒng)計(jì)數(shù)及式(9)，可得出石油安全模糊評(píng)價(jià)權(quán)矩陣R。

令

即

因?yàn)樗魉矔r(shí)底速bV服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為

式中：Vb為瞬時(shí)縱向底速；為時(shí)均底速；σ為均方差．

因此，式(18)可表示為

顆粒逆流方向起滾的概率是非常小的，對(duì)研究泥沙起動(dòng)來(lái)說(shuō)意義不大[6]，一般忽略不計(jì)，故

均值滿足對(duì)數(shù)公式由于是粗糙床面，故1x=．底層流速作用點(diǎn)的位置取床面粗糙度s2kd=[17]，由此可得到

竇國(guó)仁[18]將泥沙的起動(dòng)概率分為：弱動(dòng)(個(gè)別泥沙顆粒起動(dòng))時(shí)，P=0.0014；中動(dòng)(少量泥沙顆粒起動(dòng))時(shí)，P=0.0227；強(qiáng)動(dòng)(大量泥沙顆粒起動(dòng))時(shí)，P=0.1585．本文以泥沙少量起動(dòng)時(shí)起動(dòng)概率作為起動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)，即P=0.0227．

垂線平均流速V與u?之間有[6]

由式(25)可得水流垂線平均流速為

對(duì)于非均勻沙，僅需將式(26)中的D用lD代替，0ω用0,lω代替，l表示粒徑組，而與Δ′相對(duì)應(yīng)的有，其中，lR為l組泥沙的半徑．

2 斜坡非均勻沙起動(dòng)流速公式驗(yàn)證

采用文獻(xiàn)[6]對(duì)式(26)進(jìn)行了驗(yàn)證．

表1列出了本文中的起動(dòng)流速公式與文獻(xiàn)[6，19]起動(dòng)流速公式以及試驗(yàn)的結(jié)果．

表1 較緩斜坡非均勻沙起動(dòng)流速實(shí)測(cè)值與計(jì)算值比較Tab.1 Comparison between experimental and calculated non-uniform sediment incipient velocity on moderate slope

從表1和圖3可以看出，在不同水深、比降以及泥沙粒徑的條件下，本文的起動(dòng)流速計(jì)算值與文獻(xiàn)[6]的起動(dòng)流速計(jì)算值以及試驗(yàn)實(shí)測(cè)起動(dòng)流速值都很接近．通過(guò)計(jì)算可知，本文的計(jì)算起動(dòng)流速值與實(shí)測(cè)的起動(dòng)流速值的相關(guān)系數(shù)為0.977，說(shuō)明本文的起動(dòng)流速公式可以很好地預(yù)測(cè)坡度較緩情況下的泥沙起動(dòng)流速．

圖3 泥沙起動(dòng)流速計(jì)算值與試驗(yàn)值相關(guān)性Fig.3 Correlation of experimental and calculated sediment incipient velocity

陳奇伯等[8]用鐵板制成長(zhǎng)2.00,m、寬0.17,m的傾角可調(diào)式試驗(yàn)用槽．試驗(yàn)中選取的泥沙粒徑D分別為1.5,mm、3.5,mm、7.5,mm．每種粒徑試驗(yàn)了6種底坡，底坡θ分別為5ο、10ο、15ο、20ο、25ο、30ο，共18種組合進(jìn)行了實(shí)測(cè)資料驗(yàn)證．因?yàn)槠湓囼?yàn)采用的是均勻沙，且取P=0.159作為判別泥沙起動(dòng)的統(tǒng)一定量標(biāo)準(zhǔn)，作為非均勻沙起動(dòng)的一種特殊情況，通常當(dāng)河床組成為均勻沙時(shí)，取河床粗糙度Ks=D，由于陳奇伯與筆者采用的判別泥沙起動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)不一樣，泥沙起動(dòng)流速就不一樣．為了便于使用他的試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，筆者也按他的起動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)即P=0.159來(lái)計(jì)算起動(dòng)流速．其計(jì)算值與實(shí)測(cè)起動(dòng)流速對(duì)比結(jié)果列于表2．

從表2的結(jié)果可以看到，計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值比較符合．一般誤差在-25%～6%之間，說(shuō)明將暴露度引入到斜坡泥沙起動(dòng)流速中，并考慮重力沿水流方向的分力是合理的，同一粒徑泥沙顆粒起動(dòng)流速隨著斜坡傾角β的增大而減小，在同一坡度上，粒徑大的顆粒較粒徑小的顆粒起動(dòng)流速大．在泥沙粒徑為1～2,mm時(shí)，起動(dòng)流速計(jì)算值比試驗(yàn)值偏大，但若采用推導(dǎo)公式時(shí)用的“個(gè)別起動(dòng)”標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算值與實(shí)測(cè)值頗為接近．除此之外，造成起動(dòng)流速計(jì)算值比試驗(yàn)值偏大這一結(jié)果，與床面泥沙上舉力系數(shù)的確定也是有一定關(guān)系的．本文中直接取LC為0.1，文獻(xiàn)[20]通過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)粒徑為0.14～2.0,mm的泥沙，上舉力系數(shù)LC至少大于0.25，根據(jù)本文的公式推導(dǎo)過(guò)程，可知隨著上舉力系數(shù)CL的增大，式(26)中的φ(Δ′)值減小，水流垂線平均流速減?。煌哪嗌沉皆谄露圈?30ο時(shí)較其他坡度時(shí)的誤差大，除了由于實(shí)測(cè)資料有一定波動(dòng)外，是否存在一個(gè)臨界坡度，在臨界坡度內(nèi)，此公式更加適合，是有待進(jìn)一步研究的問(wèn)題．

表2 一定坡度泥沙起動(dòng)流速試驗(yàn)值與計(jì)算值的比較Tab.2 Comparison between experimental and calculated sediment incipient velocity on certain slope

3 結(jié) 語(yǔ)

將顆粒在床面的位置參數(shù)相對(duì)暴露度Δ′引入起動(dòng)流速公式中，并考慮了斜坡坡度的影響，非均勻沙的起動(dòng)流速隨斜坡傾角β的增大而減小，β對(duì)起動(dòng)臨界條件的影響較明顯，可見在河流和渠道的比降大時(shí)，考慮自重沿水流方向的分力是極其重要的．

采用實(shí)測(cè)資料對(duì)文中斜坡上非均勻沙起動(dòng)流速公式進(jìn)行了驗(yàn)證，吻合較好．

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Incipient Velocity of Non-Uniform Sediment on Sloping Fluvial Beds

WU Yan1，HAN Qi-wei1，BAI Yu-chuan1,2
(1. Institute of Sediment on River and Coast Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. State Key Laboratory of Hydraulic Simulation and Safety，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

Based on the method of classical mechanics theory combined with a probability as quantitative criteria and according to the sediment stress states on different slopes, a rolling model was adopted to conduct a theoretic deduction. The flow velocity and the random position of non-uniform sediment on the sloping bed, the interaction between different particle sizes and the influence of different angles were taken into account; then the formula for calculating the incipient velocity of non-cohesive and non-uniform sediment on sloping bed was established. The validity of the formula is verified by experimental data.

sloping bed；non-uniform sediment；degree of exposure；probability of starting

TV142

A

0493-2137(2012)03-0209-06

2011-06-29；

2011-10-14.

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)資助項(xiàng)目(2007CB714101)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50809045，51009105)；教育部博士點(diǎn)基金資助項(xiàng)目(200800561098)．

吳 巖（1985— ），女，博士研究生，wuyan@tju.edu.cn.

白玉川，ychbai@tju.edu.cn.