陳旭勇

(武漢工程大學環(huán)境與城市建設(shè)學院, 湖北 武漢430074)

0 引 言

優(yōu)化搜索法是進行非概率可靠性研究的主要工具，其主要計算量花費在搜索驗算點，避免了區(qū)間運算，因此，不存在區(qū)間擴張的問題.驗算點又稱最可能失效點(Most Probable failure Point，簡稱MPP)，可用于判定結(jié)構(gòu)的安全可靠性能.非概率可靠性指標本質(zhì)上是標準化空間中坐標原點到失效面的最短距離(按無窮范數(shù)度量)，即坐標原點到MPP的距離，其求解過程是一個有等式約束的優(yōu)化問題.在極限狀態(tài)函數(shù)不是很復雜的情況下，郭書祥[1]提出了3種計算方法：定義法、轉(zhuǎn)換法及優(yōu)化法.這些方法各有其特點和不足，對于定義法，在極限狀態(tài)方程較復雜的情況下，計算工作量非常大，甚至計算無法實施；轉(zhuǎn)換法主要實用于區(qū)間變量的單調(diào)性易于確定的情況，但對于非線性方程，多數(shù)區(qū)間變量的單調(diào)性不易確定；而優(yōu)化法是一種近似解法，且對于復雜函數(shù)，其上、下邊界往往不易求得.也可以經(jīng)簡單優(yōu)化法求解[2]，一般情況下，極限狀態(tài)函數(shù)形式復雜，沒有統(tǒng)一規(guī)律可循，需要采用優(yōu)化、加速、迭代進行搜索求解.羅陽軍等[3]研究發(fā)現(xiàn)，當極限狀態(tài)函數(shù)非線性程度較高時，迭代過程經(jīng)常會發(fā)生迂回振蕩現(xiàn)象，甚至不收斂.為了解決此問題，在Hasofer-Lind Rackwitz-Fiessler(HL-RF)算法的基礎(chǔ)上，針對非概率可靠性指標的計算，以夾角θ值的相對大小為檢測嚴重迂回振蕩的判據(jù)，提出了一種能有效消除迂回振蕩的修正迭代算法.馬超等[4]針對凸集模型比例因子的非概率可靠性指標相對隱式極限狀態(tài)方程難以求解問題，提出一種基于支持向量機(support vector machine, 簡稱SVM)回歸的非概率可靠性指標分析方法.針對區(qū)間運算非概率可靠性指標擴張的問題，文獻[5]利用仿射型表示變量的不確定性，由仿射運算計算出結(jié)構(gòu)的響應區(qū)間(功能函數(shù)的上下界)，并由響應區(qū)間與其許用區(qū)間獲得非概率可靠性指標.江濤等提出了響應面法的非概率可靠性指標求解[6]，主要通過多樣本點進行響應面的擬合，再求解非概率可靠性指標，通過計算驗證了所提方法的有效性，但該方法沒有明確樣本點選擇多少是合適的.江濤等[7]提出了一維優(yōu)化算法，證明了非概率可靠性指標只可能存在于標準化區(qū)間變量張成的對稱凸域及其擴展空間中通過原點和凸域頂點的有限條射線與失效面的某一個交點處，在此證明的基礎(chǔ)上提出了求取非概率可靠性指標的一維優(yōu)化方法，該方法將求取非概率可靠性指標轉(zhuǎn)化成有限個一元代數(shù)方程的求根問題.一維優(yōu)化方法能很好的計算非概率可靠性指標，優(yōu)于其它計算方法，但當方程的變量較多時，計算量較大.在此基礎(chǔ)上，陳旭勇等[8]提出了改進一維優(yōu)化算法，使得非概率可靠性指標的計算量極大減小，但主要針對極限狀態(tài)方程明確的求解.總體來說，通用的有效搜索方法并不存在，原因是算法上客觀存在數(shù)學困難，但研究者們根據(jù)具體的研究對象可以尋求解決問題的途徑.因此，為了非概率可靠性理論在實踐工程中得到有效利用，發(fā)展一種有效的非概率可靠性計算方法是必要的.

1 非概率響應面法

1951年，Box和Wilson最早提出了響應面法(RSM)，通過一系列的輸入與對應的響應擬合一個近似功能函數(shù)，用近似功能函數(shù)模擬實際功能函數(shù).實際工程中，極限狀態(tài)方程一般沒有解析表達式，結(jié)構(gòu)是用有限元分析得到相應數(shù)值，因此，傳統(tǒng)的可靠性方法不能求解.在此基礎(chǔ)上，F(xiàn)aravelli等[9]首次將響應面法引入到概率模型中求解可靠性問題，此后，響應面法在概率模型中得到了極大的發(fā)展并用于實踐工程中.響應面法中近似的響應面函數(shù)的模擬精度和計算效率是最關(guān)心的問題，函數(shù)的次數(shù)越高，模擬的精度將越高，所需的樣本點越多，其計算量較大，效率比較低，同時，精度不一定有較大的提高.因此，找到一計算效率高且模擬精度也高的響應面是科學家關(guān)心的問題.大量的研究顯示，二次多項式能兼顧精度和效率的要求.蘇永華等[10]對含一次項及二次交叉項與不帶交叉項的二次多項式的響應面函數(shù)進行了對比研究，發(fā)現(xiàn)兩者精度相差不大，但后者的計算效率高得多.程進[11]對5種響應面函數(shù)模型進行對比分析，得出了不帶交叉項的二次多項式的響應面函數(shù)所需樣本點最少，但計算精度較高的結(jié)論.因此，工程中一般用不帶交叉項的二次多項式的RSM法進行求解.構(gòu)造失效面函數(shù)：

(1)

式(1)中：a，bi(i= 1,2，…,n)，ci(i= 1,2，…,n)均為待定系數(shù)，共2n+1個待定系數(shù).

對于結(jié)構(gòu)的非概率可靠性求解，計算中需進行結(jié)構(gòu)分析、方程組求解、非概率可靠性指標的求解.因此，要用到兩個工具，如結(jié)構(gòu)分析可采用商業(yè)有限元軟件MIDAS、ANSYS或SAP等.方程組及可靠性指標的求解可利用MATLAB進行編程得到.

1.1 非概率響應面法

目前，對結(jié)構(gòu)進行可靠性評估的響應面研究與應用主要集中在隨機變量，而區(qū)間變量不同于隨機變量，因此，不能用隨機變量的響應面法進行可靠性分析.江濤[6]等將RSM的思想與基于區(qū)間變量的非概率可靠性模型結(jié)合，提出了一種基于區(qū)間模型的非概率響應面法，該法能很好地解決極限狀態(tài)方程沒有解析表達式的結(jié)構(gòu)非概率可靠性問題，是目前解決此類結(jié)構(gòu)的一種有效方法.但該算法存在兩個問題：一是該模型選擇的含一次項及和二次交叉項函數(shù)，當變量較大時，計算量非常大；二是樣本點數(shù)量的選擇不明確，從而對其結(jié)果無法驗證.本節(jié)在已有的研究基礎(chǔ)上，構(gòu)造出一種基于響應面法和改進一維優(yōu)化算法相結(jié)合的非概率響應面法.

對n個區(qū)間變量x1,x2,...,xn的情況，二次多項式表達為同公式(1).應用響應面法構(gòu)造一函數(shù)來近似模擬真實功能函數(shù)，再利用改進一維優(yōu)化算法[8]進行非概率可靠性分析的步驟如下：

a. 選取2n+1組初始點x10,x20,...,xn0和x10±x1r,x20±x2r, …,xn0±xnr，其中x10,x20,...,xn0為區(qū)間變量中值，xir為xi0的離差，利用結(jié)構(gòu)有限元數(shù)值分析方法求得2n+1個功能函數(shù)值g.

b. 求解線性方程組(1)式，得到2n+ 1個待定系數(shù)a，bi，ci(i= 1,2，…,n)，從而得到由二次多項式表示的響應面函數(shù)M0=g(x0)(初始響應面函數(shù)).

d. 令初始響應面函數(shù)G(δ)=0，利用改進一維優(yōu)化算法求解非概率可靠性指標η*(k)，其中k=0, 1,…為迭代步數(shù)[11].

e. 利用上步求得的η*(k)，確定新的驗算點.在改進一維優(yōu)化算法確定單調(diào)性的基礎(chǔ)上：若

f. 選取2n+1組驗算點x1k+1,x2k+1,...,xnk+1和x1k+1±m(xù)fx1k+1,x2k+1±m(xù)fx2k+1,...,xnk+1±m(xù)fxnk+1，其中f對應的各變量變異系數(shù)，m為離差控制系數(shù)，在迭代計算中，第一個迭代步(k=1)時m=1/2，以后(k>1)取m=1/4,利用結(jié)構(gòu)有限元數(shù)值分析方法求得2n+1個功能函數(shù)值g，求解線性方程組(1)式，得到第k個迭代步的 2n+1個待定系數(shù)a，bi，ci(i= 1, 2，…,n)，從而得到第k個迭代步的響應面函數(shù)Mk=g(xk).

g. 重復第d～f步，進行非概率可靠性指標的求解，直到滿足收斂條件：│Mk│<ε│M0│和│η*(k)-η*(k-1)│<ε│η*(k-1)│，迭代終止，取非概率可靠性指標η=η*(k)，其中ε為容許誤差極限值，本文中ε按10-4取值，若收斂條件不滿足，迭代兩次后，用線性插值得新非概率可靠性指標：

(2)

以加速迭代過程.

1.2 程序?qū)崿F(xiàn)

在求得近似功能方程后，可借助現(xiàn)有編程軟件MATLAB進行求解，現(xiàn)對程序中主要問題進行闡述.上述步驟中除判斷函數(shù)的單調(diào)性外，其它都容易實現(xiàn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性需進行自編程，現(xiàn)闡述其主要思路及證明.

將式(1)進行標準化得：

(3)

對δi求一階偏導得：

(4)

由于式(4)中存在變量，不易用程序判斷其正負.因此，對式(4)再求導，得：

(5)

2 算例分析

如圖1所示懸臂梁[6]，梁長L=1 m，梁高h=0.2 m，梁寬b=0.1 m，繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量Iz=6.67×10-5m4，彈性模量E∈[21×1011，2.3×1011]N/m2.y軸方向集中荷載P∈[800，1 000]Pa.自由端容許撓度fcr∈[2.4×10-5，2.6×10-5] m.假定自由端撓度輸出f>fcr時，結(jié)構(gòu)發(fā)生失效.用本文所提非概率響應面法和失效點尋優(yōu)法求結(jié)構(gòu)的非概率可靠性指標η.

建模過程：將長1 m的懸臂梁劃分10個單元，一端固結(jié)，即6個變量都約束，梁高和梁寬為一定值，代入不同的E和P值，有限元分析得到自由端不同的撓度值f.構(gòu)造響應面方程z=f-fcr，按照1.1節(jié)介紹的計算步驟，采用非概率響應面法得到的結(jié)果見表1.

圖1 懸臂梁受力圖Fig.1 Force diagram of cantilever beam

表1 非概率響應面法Table 1 Non-probabilistic response surface method

表1中從第3次開始是前兩次的內(nèi)插值.

從表1可知，非概率響應面法得到的非概率可靠性指標η=1.044 768，為了驗證結(jié)果的正確性和有效性，分別與文獻[6]采用的方法和解析法計算的結(jié)果進行對比，見表2.

表2 各種計算方法比較Table 2 Comparison of different caculating method

從表2分析可得以下結(jié)論：

a. 本文提出的非概率響應面法得到的結(jié)果很好，與解析值一致(有限位小數(shù)內(nèi))，從而驗證了方法的有效性.

b. 非概率響應面法雖然有限元計算的次數(shù)較文獻[6]多，但由于它不需進行數(shù)學處理，是傳統(tǒng)的隨機響應面法的擴展，更易被接受，且其精度較文獻[6]高.

c. 文獻[6]中20樣本點得到的值比12樣本點的效果差(相對解析)，使得樣本點個數(shù)的選擇不明確.

d. 通過以上分析，對極限狀態(tài)方程不易確定結(jié)構(gòu)，非概率響應面法是一種理想的算法.

3 結(jié) 語

對于極限狀態(tài)方程沒有解析表達式的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出一種基于響應面法和改進一維優(yōu)化算法相結(jié)合的單循環(huán)迭代法-非概率響應面法，并給出了相應的計算步驟，同時，闡述了程序化的思路.通過一算例，將本文所提算法與解析法及文獻[6]方法進行比較，證明了本文所提方法計算結(jié)果準確、效率高.

參考文獻：

[1] 郭書祥, 張陵, 李穎. 結(jié)構(gòu)非概率可靠性指標的求解方法[J]. 計算力學學報, 2005, 22(2): 227-231.

[2] LUO Y J, Kang Z, Luo Z, et al. Continuum topology optimization with non-probabilistic reliability constraints based on multi-ellipsoid convex model[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2009, 39(3): 297-310.

[3] 羅陽軍, 亢戰(zhàn). 超橢球模型下結(jié)構(gòu)非概率可靠性指標的迭代算法[J]. 計算力學學報, 2008, 25(6): 747-752.

[4] 馬超, 呂震宙. 隱式極限狀態(tài)方程的非概率可靠性分析[J]. 機械強度, 2009, 31(1): 45-50.

[5] 江濤, 陳建軍, 張弛江. 區(qū)間模型非概率可靠性指標的仿射算法[J]. 機械強度, 2007, 29(2): 251-255.

[6] 江濤, 陳建軍, 張建國,等. 基于區(qū)間模型的響應面法[J]. 機械設(shè)計與研究, 2005, 21(6): 12-16.

[7] JIANG TAO, CHEN JIAN-JUN, XU YA-LAN. A semi-analytic method for calculating non-probabilistic reliability index based on interval models[J]. Applied Mathematical Modelling, 2007, 31(7): 1362-1370.

[8] CHEN XU-YONG, FAN JIAN-PING. Modified scheme based on semi-analytic approach for computing non-probabilistic reliability index[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 2010, 23(2): 115-123.

[9] FARAVELLI. Response surface approach for reliability analysis[J]. J Engng Mech ASCE, 1989, 115(12): 2763-2781.

[10] 蘇永華, 趙明華, 蔣德松,等. 響應面方法在邊坡穩(wěn)定可靠度分析中的應用[J]. 巖石力學與工程學報, 2006, 25(7): 1417-1424.

[11] 程進. 基于響應面法的幾何非線性結(jié)構(gòu)概率響應分析[J]. 同濟大學學報:自然科學版， 2006, 34(9): 1148-1151.