曾彬峻，李文興

(桂林理工大學(xué)土木與建筑工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

0 引 言

在工程建筑物中，矩形鋼筋混凝土梁是一種很常見的受力構(gòu)件，所以探討此類構(gòu)件的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題具有一定的現(xiàn)實(shí)意義.建筑物中梁板結(jié)構(gòu)部分的造價(jià)占總結(jié)構(gòu)造價(jià)的50%左右，梁設(shè)計(jì)的合理與否對(duì)結(jié)構(gòu)工程造價(jià)的影響起到至關(guān)重要的作用.優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法有很多，包括拉格朗日乘子法、復(fù)形法、模糊優(yōu)化法、罰函數(shù)法等等.而近來很多研究者又采用各種優(yōu)化方法的改進(jìn)方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，譬如模糊動(dòng)態(tài)罰函數(shù)法、模糊罰函數(shù)遺傳算法等，但是最有效的方法還是罰函數(shù)法[1].應(yīng)用罰函數(shù)對(duì)鋼筋混凝土進(jìn)行優(yōu)化已有很多學(xué)者進(jìn)行過研究，基本都是基于單調(diào)的一種材料組合下進(jìn)行截面、經(jīng)濟(jì)效益的優(yōu)化，因此本文采用罰函數(shù)法，并結(jié)合MATLAB的優(yōu)化工具箱對(duì)多種材料組合進(jìn)行研究，先得出每一組的優(yōu)化結(jié)果，然后從所有實(shí)驗(yàn)組里選出最優(yōu)、最經(jīng)濟(jì)的設(shè)計(jì).

1 優(yōu)化設(shè)計(jì)原理

罰函數(shù)法針對(duì)約束函數(shù)構(gòu)造適當(dāng)?shù)闹虚g函數(shù)，并引入罰因子將約束條件引入到目標(biāo)函數(shù)中構(gòu)成無約束目標(biāo)函數(shù)，對(duì)于約束優(yōu)化問題，罰函數(shù)的一般形式為[2]：

(1)

式(1)中：φ[hv(x)]和ψ[gu(x)]分別為根據(jù)等式約束hv(x)和不等式約束gu(x)構(gòu)造的中間函數(shù)，恒為非負(fù).r1和r2為罰因子或罰參數(shù)，是大于零的實(shí)數(shù)，根據(jù)中間函數(shù)的特性，罰因子的值在迭代過程中會(huì)不斷變化.中間函數(shù)與罰因子的乘積稱為懲罰項(xiàng)，在設(shè)計(jì)變量取值接近邊界的過程中，罰因子與中間函數(shù)朝相反的方向變化，但在無限逼近的過程中懲罰項(xiàng)趨于零.當(dāng)約束條件未被滿足時(shí)，罰因子越大，罰函數(shù)的值也越大，不符合罰函數(shù)極小化的目的，所以罰函數(shù)內(nèi)包含了當(dāng)約束條件未被滿足時(shí)在目標(biāo)函數(shù)上所受的“懲罰”[3].

隨著罰因子的不斷調(diào)整，無約束最優(yōu)解會(huì)不斷的逼近有約束的最優(yōu)解，所以罰函數(shù)法其實(shí)是一種序列無約束極小化方法，簡稱“SUMT”法.SUMT的方法有很多，從原理上可以分為：外點(diǎn)法，內(nèi)點(diǎn)法和混合法.在本文中是采用混合罰函數(shù)法對(duì)鋼筋混凝土梁進(jìn)行最優(yōu)值求解.

混合罰函數(shù)法[2]是把外點(diǎn)法和內(nèi)點(diǎn)法結(jié)合起來，不等式是約束采用內(nèi)點(diǎn)法，等式約束采用外點(diǎn)法.對(duì)于一半形式優(yōu)化問題：

min(max)f(x)=f(x1,x2,...,xn)，x∈Rn

(2)

滿足gu(x)≤(≥)0，u=1,2,...,L

hv(x)=0,v=1,2,...,M

混合罰函數(shù)的具體形式為：

(3)

混合罰函數(shù)法的迭代過程如下：

a.選擇初始迭代點(diǎn)x(0)，合適的初始罰因子及罰因子r(0)遞減速率c，且計(jì)數(shù)k=0；

b.對(duì)不等式約束按內(nèi)點(diǎn)法構(gòu)造中間函數(shù)，對(duì)等式約束按外點(diǎn)法構(gòu)造中間函數(shù)；

c.令k=k+1;r(k)=cr(k+1)進(jìn)行迭代;

d.判斷迭代是否滿足精度要求：|f(x(k))-l(x(k)),r(k)|<ε，k=1,2,...n，如果不等式成立且滿足迭代過程結(jié)束，以x(k)作為最優(yōu)解x*的最終近似值，否則轉(zhuǎn)到第(3)步繼續(xù)迭代.

2 鋼筋混凝土梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 模型建立

本文以單筋混凝土簡支梁為例，其計(jì)算簡圖如圖1所示：

圖1 優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算簡圖Fig.1 Optimal design diagram

2.2 變量設(shè)計(jì)

由于鋼筋混凝土的優(yōu)化設(shè)計(jì)是一個(gè)多變量的，多約束，非線性的優(yōu)化設(shè)計(jì)，所以等截面矩形梁本身的材料費(fèi)用取決于混凝土的造價(jià)和鋼筋的造價(jià)之和.混凝土的造價(jià)取決于截面的尺寸(即b和h)，而鋼筋的造價(jià)包括(架立筋，受力筋，箍筋)的造價(jià)，對(duì)于單筋梁時(shí)，架立筋是按照構(gòu)造配筋的，所以不會(huì)發(fā)生變化，箍筋也是按照構(gòu)造配筋的但是隨梁高變化，但是不太靈敏，所以鋼筋造價(jià)跟受力筋的面積As的變化相關(guān).

2.3 目標(biāo)函數(shù)

本文僅計(jì)入混凝土的造價(jià)，鋼筋的造價(jià)，混凝土的強(qiáng)度和鋼筋的強(qiáng)度，考慮到是等截面梁，所以目標(biāo)函數(shù)[4]假定為：

Z=bhZe+AsZs

(4)

式(4)中：Ze、Zs為混凝土受拉縱筋A(yù)s的單位造價(jià)，元/m3.

2.4 約束條件

2.4.1 正截面承載力要求[5]

(5)

fyAs=fcbx

(6)

式(5)中：M為彎矩設(shè)計(jì)值；fc為混凝土彎曲抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；B為梁的截面寬度；h為梁的截面高度；x為混凝土受壓區(qū)高度.

2.4.2 最小配筋率要求

Y2=As-ρminb(h-as)≥0

(7)

式(7)中：按規(guī)范規(guī)定取的縱向受拉鋼筋最小配筋率.

2.4.3 最大配筋率要求

Y3=ξ-ξb≤0

(8)

(9)

式(8)中：ξb表示鋼筋界限受壓區(qū)高度

2.4.4 斜截面承載力要求(構(gòu)造配筋)

Y4=V-0.7ftb(h-as)≤0

(10)

式(10)中：ft表示混凝土軸心受拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值.

2.4.5 梁的尺寸控制

Y5=b≥b0

(11)

Y6=h≥h0

(12)

式(11)中：b0和h0分別表示梁寬度和高度的下限值.

2.5 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

由(5)到(13)，X=[b,h,As]T及minf(x)=Z=bhZe+AsZs組成.

3 MATLAB的優(yōu)化求解

MATLAB優(yōu)化工具箱是面向最優(yōu)化問題求解的專用工具箱，具有強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算能力，含有一系列的優(yōu)化算法函數(shù)，對(duì)各種優(yōu)化問題提供了一個(gè)完整的解決方案，主要包括線性規(guī)劃、二次規(guī)劃、非線性規(guī)劃、最小二乘法問題、非線性方程求解、多目標(biāo)優(yōu)化、最小最大問題、以及半無限問題等等的優(yōu)化問題.在土木工程領(lǐng)域中，結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題大多數(shù)都是多變量、非線性約束的最優(yōu)化問題，因此使用MATLAB優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)進(jìn)行求解，其具體的數(shù)學(xué)模型可以用式(13)形式表示：

(13)

式(13)中：x,b,beq,lb和ub為向量；A和Aeq為矩陣；C(x)和Ceq(x)為函數(shù)向量，分別表示非線性不等式和非線性等式約束；f(x)為標(biāo)量函數(shù).

fmincon的具體調(diào)用的一般形式為：x=fmincon(fun,x0,A,b)，其中fun為目標(biāo)函數(shù)，x0為迭代初值.對(duì)于鋼筋混凝土梁的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的具體流程如圖2所示.

圖2 MATLAB優(yōu)化實(shí)現(xiàn)流程圖Fig.2 MATLAB realize optimization flow chart

4 實(shí)例分析

有一矩形截面簡支梁，跨度L=6 m,上面有均布荷載q=50 kN/m作用，其混凝土可選用C20—C40，鋼筋可以選用HRB335,HRB400.材料信息：混凝土單價(jià)(C20：400元/m3，C25：415元/m3，C30：430元/m3，C35：445元/m3，C40：460元/m3),鋼筋4 000 元/t.試求在滿足承載力要求及規(guī)范所規(guī)定的構(gòu)造要求的條件下，而造價(jià)最經(jīng)濟(jì)的設(shè)計(jì).

a. 最大彎矩和最大剪力計(jì)算

b. 罰函數(shù)的構(gòu)造

φ=(X,r)=450bh+4 000×7.85As-

結(jié)果輸出:運(yùn)用MATLAB優(yōu)化實(shí)現(xiàn)流程，通過10次材料參數(shù)的改變，得到各種組合下鋼筋混凝土梁的優(yōu)化結(jié)果如表1所示.

表1 各種組合下的優(yōu)化結(jié)果

5 結(jié) 語

a.本文采用了5種混凝土和2種鋼筋進(jìn)行了組合和比較，最后得出最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案.從表中可以看出選用C35和HRB400可以作為本設(shè)計(jì)的最經(jīng)濟(jì)方案.

b.優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果是否理想和迭代次數(shù)的多少，跟選擇的罰因子初值r0有關(guān).如果剛開始選擇了合適的罰因子，迭代次數(shù)會(huì)大大的減小.

c.從表中可以看出，對(duì)于同種混凝土如果適當(dāng)?shù)脑黾咏孛娉叽?，而減少鋼筋的用量可以減少結(jié)構(gòu)的造價(jià)如：C20,C25,C40；如果增加截面尺寸過大，反而會(huì)增加成本如：C30；如果想用減小截面尺寸來減少成本可以通過選用高強(qiáng)度鋼筋的方法如： C35.

d.本設(shè)計(jì)每個(gè)結(jié)果都是該組合的最優(yōu)結(jié)果，在約束條件下組合的縱筋最大配筋率為0.87%，在矩形截面梁常用配筋范圍0.6%～1.5%之間.

e.采用MATLAB優(yōu)化工具箱求解工程優(yōu)化問題，可以大大的減少工作量，提高優(yōu)化設(shè)計(jì)的精度，從而得到最經(jīng)濟(jì)，最有效的設(shè)計(jì)方案.

參考文獻(xiàn)：

[1] 孫靜. 罰函數(shù)法及在鋼筋混凝土梁優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J]. 山西建筑，2010，36(26):78-79.

[2] 李萬祥.工程優(yōu)化設(shè)計(jì)與MATLAB實(shí)現(xiàn)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2009.

[3] 蔡新，郭興文，張旭明. 工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[M]. 北京：中國水利水電出版社，2003.

[4] 張靖靜. 鋼筋混凝土受彎構(gòu)件正截面設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)分析[J]. 工業(yè)建筑，2005，35(2):100-102.

[5] 范良宜. 鋼筋混凝土矩形截面梁實(shí)用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[J]. 基建優(yōu)化，1998，19(3): 27-30.